Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
|
|
- František Kovář
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni
2 Motivace JPEG komprese Leny původní bitmapa % komprese Fourierovou bází
3 Motivace JPEG komprese Leny původní bitmapa 5% komprese Fourierovou bází
4 Motivace JPEG komprese Leny původní bitmapa % komprese Fourierovou bází
5 Motivace JPEG komprese Leny původní bitmapa 5% komprese Fourierovou bází
6 Motivace JPEG komprese Leny původní bitmapa 2% komprese Fourierovou bází
7 Motivace JPEG: Fourierova L2 ortogona lnı ba ze fjk (x, y) := eıω(jx+ky) Re f(x, y) Re f2(x, y) Re f2(x, y) Re f22(x, y) Re f3(x, y) Re f3(x, y) Re f32(x, y) Re f23(x, y) Ortogonalita (v L2 skala rnı m souc inu) = rychla komprese.4.2
8 Lena,,první dáma internetu Motivace Lena Sjööblom, playmate 972 Lena Söderberg, 997
9 Ortogonalita = kolmost Pythagorova věta: x,y R 2 : x y x 2 + y 2 = x + y 2 x + y x y x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + y y + 2x y= x 2 + y 2 + 2x y Vektory x a y jsou ortogonální (kolmé), pokud x y =.
10 Ortogonalita = kolmost Eukleidovský skalární součin, norma, ortogonalita, ortonormalita Bilineární forma (.,.) : R n R n R definovaná (x,y) := x y se nazývá Eukleidovský skalární součin. Ten indukuje Eukleidovskou normu x := (x,x). Vektory x,y R n \ {} jsou ortogonální (v Eukl. skalárním součinu), pokud (x,y) =, a jsou ortonormální (v Eukl. skalárním součinu), pokud navíc x = y =. Úhel mezi vektory x,y R n zobecníme takto cos α = (x,y) x y
11 Ortogonalita = kolmost Příklad: Najděte x (, 2). Hledáme x := (x,x 2 ) R 2 : (x, x 2 ) (, 2) = x + 2x 2 =. Řešením je x 2 := t R, x = 2t, tj. vektory na přímce se směrnicí ( 2, ) x ( 2, ). Příklad: Najděte x (, 2, 3). Hledáme x := (x,x 2,x 3 ) R 3 : (x, x 2, x 3 ) (, 2, 3) = x + 2x 2 + 3x 3 =. Řešením je x 3 := t R, x 2 := s R, x = 2s 3t, tj. vektory v rovině x {( 2s 3t, s, t) : s, t R} = {s( 2,, ) + t( 3,, ) : s,t R} = ( 2,, ), ( 3,, ).
12 Ortogonalita = kolmost Příklad: Najděte x: x (, 2, 3) a x (,, ). Hledáme x := (x,x 2,x 3 ) R 3 : (x,x 2,x 3 ) (, 2, 3) = x +2x 2 +3x 3 = a (x, x 2, x 3 ) (,, ) = x +x 2 +x 3 =, ( ) ( ) 2 3 r 2 :=r 2 r 2 3 = x 2 3 := t R, x 2 = 2t, x = 5t.
13 Ortogonální/ortonormální systém Ortogonální systémy Vektory v,...,v m R n \ {} tvoří ortogonální systém (bázi pro n = m), pokud (v i,v j ) = pro i j. Pokud navíc v i =, pak se jedná o ortonormální systém (bázi). Příklad: Kanonická báze R 2 tvoří ortonormální systém. Uvažujme kanonickou bázi prostoru R 2 Pak E := (e := (, ),e 2 := (, )). (e,e 2 ) = + = = (e 2,e ), e = =, e 2 = =.
14 Ortogonální systémy Příklad: Kanonická báze R n tvoří ortonormální systém. Uvažujme kanonickou bázi prostoru R n E := (e := (,,...,),e 2 := (,,,...,),...,e n := (,...,, )). Pak pro libovolné i,j {,...,n} platí, že e i = =, a pokud i j, pak (e i,e j ) = e i e j =. Příklad: Najděte ortogonální systém prostoru (,, ), (,, ). Vektory u := (,, ), u 2 := (,, ) tvoří bázi, ne však ortonormální, nebot (u,u 2 ) = (,, ) (,, ) =. Ortogonální bázi vytvoříme např. takto: v := u a v 2 := u 2 + αv tak, že v 2 v, tj. = (v 2,v ) = (u 2 + αv,v )= u 2 v + αv v, α = u 2 v = + + v v + + = 2, v 2 = (,, )+ (,, )= ( /2, /2, ). 2
15 Ortogonální systémy,,ortogonalizujte bázi E := (e := (,, ),e 2 := (,, ),e 3 := (,, )). Termín,,ortogonalizujte znamená nalézt ortogonální bázi F := (f,f 2,f 3 ) tak, že Ad. f := e = (,, ). Ad 2. f 2 := e 2 + αf : f 2 f, tj.. f e, 2. f 2 e,e 2, 3. f 3 e,e 2,e 3. = (f 2,f )= e 2 f + αf f = α = e 2 f (,, ) (,, ) = f f (,, ) (,, ) a tedy f 2 = (,, ) 3 (,, )= ( 2 3, 4 3, 2 3). Ad 3. f 3 := e 3 + βf + γf 2 : f 3 f a f 3 f 2, tj. = 3, = (f 3,f )= e 3 f + βf f = β = e 3 f (,, ) (,, ) = = f f (,, ) (,, ) 3, = (f 3,f 2 )= e 3 f 2 + γf 2 f 2 = γ = e ( 3 f 2 (,, ) 2 3 =, 4 3, 2 ( 3) f 2 f 2 2 3, 4 3, ) ( , 4 3, 3) 2 = 2, a tedy f 3 = (,, ) 3 (,, ) + 2 ( 2 3, 4 3, 2 3) = (,, ).
16 Ortogonální systémy Gram Schmidtův ortogonalizační/ortonormalizační algoritmus Mějme bázi E := (e,...,e n ) prostoru R n. Ortogonalizujme/ortonormalizujme ji. f := e, q := f f, f i := e i + i j= α ij f j, kde α ij = (e i,f j ) f j 2, q i := f i f i, pro i {2,...,n}. Výsledkem je ortog. báze F := (f,...,f n ), resp. ortonorm. báze Q := (q,...,q n ). Příklad: Ortonormalizujte E := (e := (, 2),e 2 := (, )). f := e = (, 2), q = α 2 = (e 2,f ) (, ) (, 2) = f 2 5 q 2 := 5 (, 2) (, 2) = 2)= (, 2), (, 5 = 3 5, f 2 := e 2 +α 2 f = (, ) 3 5 (, 2) = (2, ), 5 )= (2, ). (2, ) (2, 5
17 Ortogonální transformace Ortogonální matice Čtvercová matice Q R n n, která splňuje Q T Q = I, a tedy Q = Q T, se nazývá ortogonální. Její sloupce tvoří ortonormální systém. Příklad: Ověřte, že matice Q := (q,q 2 ) z předchozího příkladu je ortogonální. Q T Q = ( ) ( ) 2 2 = ( ) 5 = I
18 Ortogonální transformace Soustavy s ortogonální maticí Soustava s ortogonální matici Q R n n a pravou stranu b R n je snadno řešitelná Q x = b x = Q T b. Příklad: Vypočtěte souřadnice v := (, ) v ortonormální bázi Q := (q,q 2 ), kde q := 5 (, 2), q 2 := 5 (2, ). Hledáme α := (α,α 2 ) R 2 : α q + α 2 q 2 = v Q α = v, kde Q := ( ) je ortogonální matice. Řešením je α = Q T v, t.j. α = q v= 3 5, α 2 = q 2 v= 5. Fourierova (JPEG) báze je ortonormální rychlý výpočet souřadnic (komprese).
19 Ortogonální transformace Ortogonální transformace zachovává velikosti vektorů i úhly Uvažujme lineární zobrazení s ortogonální maticí Q R n n. Pro lib. x,y R n platí: normy (velikosti) vektorů jsou zachovány Q x = x T Q T Q x = x T x= x, hodnota skalárního součinu vektorů je zachována (Q x,q y) = x T Q T Q y= (x,y). Připomeňme, že úhel α mezi vektory x,y jsme definovali pomocí cosα = (x,y) x y, tedy ortogonální transformace zachovává úhly mezi vektory. Důsledek:,,Ortogonální transformace = rotace + zrcadlení Každou ortogonální matici lze rozložit na konečný součin Q = Q n Q, kde jednotlivé faktory jsou bud matice rovinné rotace, nebo matice zrcadlení.
20 Ortogonální transformace Příklad: Matice rovinné rotace je ortogonální y := Q x := ( ) cos α sinα x sinα cosα Q T Q = ( ) ( ) cos α sinα cos α sinα sin α cosα sinα cosα = ( cos 2 α + sin 2 α ) sin 2 α + cos 2 α = I.
21 Ortogonální transformace Příklad: Matice zrcadlení podle přímky (roviny) je ortogonální y := Q x := (I 2 n ) nt x, n 2 kde n je normála k přímce (rovině)..4.2 Q T Q = (I 2 n ) T nt (I 2 n nt n 2 n 2 ) = I 4 n nt n 2 + 4n n 2 {}}{ (n T n) n T n 4 = I.
22 Ortogonální transformace,,exploze zaokrouhlovací chyby v Gaussově eliminaci Proved me Gaussovu eliminaci (LU rozklad) na následující matici 2 (A I) := Nyní zaved me chybu. do prvku A. Chyba se při eliminaci takto zvětšuje:
23 Householderův eliminační krok Ortogonální transformace Pro vektor (část pivotovaného sloupce) v R n hledáme matici zrcadlení Q v tak, že v v v Q v v = např. n v :=, Q v := I 2 n v n T v n v. 2. v 2. v n Stabilní Gauss Householderova eliminace Místo Gaussových eliminačních kroků, které (bez permutací) vedou na dolní trojúhelníkovou matici, provádíme Householderovy zrcadlení Q 2 v Q v v:=(2,,) 2 T v:=(.34, ) 2 T.7 Dostáváme výpočetně náročnější, avšak stabilní variantu Gaussovy eliminace.
24 Ortogonální transformace Zaokrouhlovací chyba v Gauss Householderově eliminaci,,neexploduje. Proved me Gauss Householderovu eliminaci (QU rozklad) na následující matici A := Nyní zaved me chybu. do prvku A. Chyba se při eliminaci nezvětšuje:
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
VíceOd Pythagorovy věty k super-počítání
Od Pythagorovy věty k super-počítání MODAM,. dubna 5 Dalibor Lukáš Kat. aplikované matematiky, FEI& IT4Innovations VŠB TU Ostrava web: am.vsb.cz email: dalibor.lukas@vsb.cz Od Pythagorovy věty k super-počítání
Vícea diagnostika letadel
Pythagorova věty, vyšší matematika a diagnostika letadel ŠKOMAM 28, 6. ledna Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB-TU Ostrava web: http://homel.vsb.cz/ luk76 email: dalibor.lukas@vsb.cz
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava email: dalibor.lukas@vsb.cz hp://www.am.vsb.cz/lukas/la Tex byl vyvořen v rámci
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve vstupních datech. Tato
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 9. října 2013 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více1 Kvadratické formy. 2 Matice kvadratické formy. Definice Necht B je bilineární forma na V. Q B : V R. Q B (x) = B(x, x), x V
LA 11. cvičení matice bilineární formy, kvadratické formy Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,011 1 Kvadratické formy Definice 1.0.1 Necht B je bilineární forma na V. Kvadratickou formou příslušnou bilineární
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceSlajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více(u, v) u. v. cos φ =
LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel
Víceformou exkurzu přibližuje problematiku aplikace lineární algebry ve výpočetní tomografii.
1 Úvod Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry a geometrie, která je určena především pro posluchače druhého semestru programů matematika, aplikovaná matematika a informatika. Celá práce
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Více7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více3. Ortogonální transformace a QR rozklady
3. Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 10. října 2012 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceTajemství skalárního součinu
Tajemství skalárního součinu Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte katedra matematiky, FEL ČVUT Otevřené Elektronické Systémy 28. února 2013 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Tajemství
VíceZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceKatedra textilních materiálů Technická Universita Liberec,
Vektor a matice Jiří Militký Katedra tetilních materiálů echnická Universita Liberec, Matice 2 3 4 A 5 4 C 2 7 6 7 4 3 8 Matice je obdélníkové pole čísel (funkcí) a a2 a d n d2 d3 a2 a22 D d2 d22 d 23
VíceVektory a matice. Jiří Militký. Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec,
Vektor a matice Jiří Militký Katedra tetilních materiálů echnická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Matice A 1 2 3 5 4 1 6 7 4 1 4 C 2 7 3 8 Matice
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
Více