0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J

Transkript

1 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy A Princip iteračních metod: převést soustavu na systém x = T x + d s iterační maticí T x (i+) = T x (i) + d, vhodnou volbou iterační matice T a vektoru d dostáváme konkrétní iterační metodu STOP podmínka: x (i+) x (i) < ε, kde {,, 2} Rozklad matice soustavy A: A = D + L + U, kde D značí diagonální matici, L dolní trojúhelníkovou matici bez diagonály a U horní trojúhelníkovou matici bez diagonály: a, a,2 a,n 0 a 2,2 0 D =, L = a 2, 0 0, U = 0 0 a 2,n an,n 0 0 a n,n a n, a n,n Soustavu JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA řešíme rozkladem matice A = D + L + U Postupnými úpravami dostáváme iterační proces ve tvaru s iterační maticí T J (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D (L + U)x + D b x (i+) = D (L + U) x (i) + }{{}} D {{ b } T J d J Soustavu GAUSSOVA-SEIDELOVA ITERAČNÍ METODA řešíme rozkladem matice A = D + L + U Postupnými úpravami dostáváme iterační proces ve tvaru s iterační maticí T GS (D + L + U)x = b (D + L)x = Ux + b x = (D + L) Ux + (D + L) b x (i+) = (D + L) U x (i) + (D + L) b }{{}}{{} T GS d GS

2 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/2 Konvergence metod: A ryze řádkově diagonálně dominantní: a i,i > n a i,j i =,, n j= j i A - ryze řádkově diagonálně dominantní konvergence pro libovolnou počáteční aproximaci x (0) R n Pozn A ryze sloupcově diagonálně dominantní: a i,i > n a i,j j =,, n i= i j Iterační posloupnost x (i) konverguje k přesnému řešení systému lineárních rovnic, existuje-li norma matic souhlasná s normou vektorů tak, že T < Příklad Danou soustavu lineárních rovnic 3x + x 2 + x 3 = 2 2x + 4x 2 + x 3 = 4 x x 2 3x 3 = řešte Jacobiovou i Gaussovou-Seidelovou metodou Zvolte počáteční aproximaci x (0) = (0, 0, 0) T a ε = 000 Řešení Jacobiova metoda: i x i 3 i x (i) 3 i x (i) } {{ }} {{ }} {{ } x = 0808 x = x = Gaussova-Seidelova metoda: i x (i) 3 i x (i) 3 i x (i) } {{ }} {{ }} {{ } x = x = x =

3 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/3 Příklad 2 Danou soustavu lineárních rovnic 0x 5x 2 + 4x 3 = 3 x 0x 2 + 2x 3 = 5 x 8x 2 + 5x 3 = 3 řešte Jacobiovou i Gaussovou-Seidelovou metodou Zvolte počáteční aproximaci x (0) = (0, 0, 0) T a ε = 0 Řešení Matice soustavy A = není ryze řádkově ani sloupcově diagonálně dominantní, budeme uvažovat matici soustavy A = 2 0 a vektor pravé strany b = 5 Řešíme soustavu lineárních rovnic s vektorem řešení x = (x, y, z) T, kde x = x, y = x 3 a z = x 2 Nově vzniklá matice soustavy (z původní soustavy vznikla výměnou pproměnných x 2 a x 3 ) je již ryze řádkově diagonálně dominantní (0 > 4 + 5, 2 > + 0, 8 > + 5), dále řešíme iteračními metodami Jacobiova metoda: x (i+) x (i) y = 0 0 y z (i+) 5 0 z (i) 3 i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) } {{ }} {{ }} {{ } ˆx ˆx 043 ˆx x = ˆx 3 = 9434 x = ˆx 3 = 2000 x = ˆx 3 = 9643 ˆx ˆx ˆx

4 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/4 Gaussova-Seidelova metoda: x (i+) y (i+) = z (i+) x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) } {{ }} {{ }} {{ } ˆx 08 ˆx 0092 ˆx 0092 x = ˆx 3 = 9075 x = ˆx 3 = 9529 x = ˆx 3 = 9529 ˆx ˆx ˆx

5 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/5 Řešený příklad z praxe Stavební inženýr požaduje pro realizaci svého projektu m 3 písku, m 3 jemného štěrkopísku a m 3 hrubého štěrkopísku Těžební společnost má k těžbě tohoto materiálu k dispozici tři jámy s následujícím zastoupením: písek [%] hrubý štěrkopísek [%] jemný štěrkopísek [%] jáma č jáma č jáma č Kolik m 3 písku, jemného a hrubého štěrkopísku má být z každé jámy vytěženo, aby byly pokryty potřeby inženýra? Volte ε = 00 a řešte pomocí Jacobiovy i Gaussovy-Seidelovy metody Zdroj: [] + vlastní úprava Řešení Označme x, y a z množství materiálu, který má být (v tomto pořadí) vytěžen z první, druhé a třetí jámy Dostáváme tak soustavu lineárních rovnic x y z = x y z = x y z = 5700 Výpočet s maticí soustavy složené z přirozených čísel je pro nás pohodlnější, proto z ní vytkneme hodnotu 00 Dostáváme novou soustavu lineárních rovnic s maticí soustavy 52x + 20y + 25z = x + 50y + 5z = x + 30y + 55z = A = , kde x = x 00, y = y 00 a z = z 00 Řešení získaná pomocí Jacobiovy a Gassovy-Seidelovy metody bude z tohoto důvodu potřeba na konci výpočtu ještě vynásobit hodnotou 00 Matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní (52 > , 50 > , 55 > ), můžeme tedy pro libovolnou volbu počáteční aproximace odhadnout potřebné množství materiálu, které je třeba vytěžit z jam Volba počáteční aproximace: x (0) = (0, 0, 0) T Jacobiova metoda: x (i+) y (i+) z (i+) = x (i) y (i) z (i)

6 6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/6 i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) } {{}}{{}}{{} x = x = x = Množství vytěženého materiálu z první, druhé a třetí jámy je Gaussova-Seidelova metoda: 2 x = 00 x = x = 00 x = x = 00 x = x (i+) y (i+) z (i+) = x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) i x (i) y (i) z (i) } {{}}{{}}{{} x = x = x = Množství vytěženého materiálu z první, druhé a třetí jámy je x = 00 x = x = 00 x = x = 00 x = [] [verze: 27 X 207]