X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Transkript

1 .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí vztahů mezi souřadnicemi. V celé kapitole budeme předpokládat, že v rovině je pevně zvolena kartézská soustava souřadnic (0;, ). Nechť jsou dán v rovině bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ]. Vzdálenost AB bodů A, B je dána vzorcem AB = (b 1 a 1 ) + (b a ) 6.. Parametrické vjádření přímk v rovině. Zvolme na přímce dva různé bod A, B. Bod A, B určují na přímce nenulový vektor u = AB. Rovnici X = A + tu, kde t R, kde X je libovolný bod přímk, nazveme parametrickou rovnicí přímk, kde A je bod přímk, t je parametr a u je směrový vektor přímk (viz obr. 6.1). ]A u B Obr. 6.1 X = A + tu Je-li t 0, ), je bod X bodem polopřímk AB. Je-li t (, 0, je bod X bodem polopřímk opačné k polopřímce AB. Je-li t 0, 1, je bod X bodem úsečk AB. Je-li t = 1, je bod X středem úsečk AB. Nechť je dán v rovině bod A = [a 1, a ] a vektor u = (u 1, u ). Potom přímka, která prochází bodem A a má směrový vektor u, má toto parametrické vjádření v souřadnicích: = a 1 + tu 1 = a + tu, t R, X = [, ] je libovolným bodem přímk. Přímku určenou bodem A a směrovým vektorem u budeme značit p(a, u). 6.. Neparametrické vjádření přímk v rovině. Směrnicová rovnice přímk(viz obr. 6.) má tvar = k + q, k, q R (6.1) Koeficient k se nazývá směrnice přímk. Jeho geometrický význam je dán vztahem k = tg ϕ, kde ϕ je směrový úhel přímk, tj. úhel, který přímka svírá s kladnou poloosou. Koeficient q je úsek, který přímka vtíná na ose, tj. -ová souřadnice průsečíku přímk s osou. Je-li v rovnici (6.1) q = 0, přímka prochází počátkem, je-li k = 0, přímka je rovnoběžná s osou. Rovnicí (6.1) nelze vjádřit přímku rovnoběžnou s osou. Přímka rovnoběžná s osou má rovnici = c, c R. 5

2 ^ 54 Kapitola 6 Přímka určená bodem A = [a 1, a ] a směrnicí k, má rovnici a = k( a 1 ), k R (6.) P ϕ O = k + q q Obr. 6. Přímka určená dvěma různými bod A = [a 1, a ], B = [b 1, b ], kde a 1 b 1, má rovnici O_ ` a = b a b 1 a 1 ( a 1 ) (6.) Dostaneme ji z rovnice (6.), vjádříme-li k = tg ϕ z pravoúhlého trojúhelníku na obr. 6.. b a A b 1 a 1 B a 1 b 1 b a Obr. 6. Obr. 6.4 Přímka vtínající na osách, úsek p, q má rovnici p + q q O p = 1, p, q R, p q 0 (viz obr. (6.4)). Této rovnici se říká úseková rovnice přímk. Všechn dosud uvedené tvar rovnice přímk v rovině jsou speciálním případem lineární rovnice o dvou neznámých a tvaru a + b + c = 0, (a, b) (0, 0) Tato rovnice se nazývá obecná rovnice přímk Vzdálenost bodu od přímk. Nechť je v rovině dána přímka p rovnicí a + b + c = 0, kde (a, b) (0, 0) a bod M = [m 1, m ]. Potom vzdálenost bodu M od přímk p je v = am 1 + bm + c a + b (6.4)

3 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině Odchlka α dvou přímek v rovině. Jsou-li p: = k 1 + q 1, q : = k + q dvě přímk, pak jejich odchlka α je dána vzorcem tg α = k 1 k 1 + k 1 k, k 1 k 1, α = π, je-li k 1 k = 1. (6.5) Kvadratické útvar v rovině (kuželosečk) jsou analtick popsán kvadratickou rovnicí. Jsou to: kružnice, elipsa, hperbola, parabola. V této kapitole budeme analtick vjadřovat jen kuželosečk, jejichž os leží na osách kartézské soustav souřadnic, nebo jsou s nimi rovnoběžné Kružnice. Kružnice je množina bodů, které mají od daného bodu, zvaného střed kružnice, stejnou nenulovou vzdálenost zvanou poloměr kružnice. Kružnice se středem S = [ 0, 0 ] a s poloměrem r má rovnici Je-li střed S = [0, 0], kružnice má rovnici ( 0 ) + ( 0 ) = r, r R + (6.6) + = r, r R + (6.7) Tečna ke kružnici s rovnicí (6.6) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) + ( 0 )( 1 0 ) = r Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě kružnice s rovnicí (6.7), má tečna rovnici = r 6.7. Elipsa. Elipsa je křivka (viz obr. 6.5), jejíž všechn bod mají konstantní součet vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska elips. Součet vzdáleností F 1 M + F M, kde M je libovolný bod elips, se označuje a ; zřejmě a R +, a > F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed elips. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená bodem S se nazývá vedlejší osa elips. Průsečík A 1, A elips s hlavní osou a průsečík B 1, B s vedlejší osou se nazývají vrchol elips. Úsečk SA 1 a SA, pro jejichž velikosti platí vztah SA 1 = SA = a, se nazývají hlavní poloos a úsečk SB 1 a SB, jejichž velikost se značí b, se nazývají vedlejší poloos. Pro velikost hlavní a vedlejší poloos platí vztah a > b. (Hlavní, resp. vedlejší poloosou se často nazývá též číslo a, resp. číslo b.) Číslu e = SF 1 = SF se říká ecentricita (výstřednost). Velikost hlavní poloos a, velikost vedlejší poloos b a ecentricita e splňují rovnici e = a b Elipsa se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.6 ), elipsa má rovnici ( 0 ) a + ( 0) b = 1, a > b > 0 (6.8) a + = 1, a > b > 0 (6.9) b

4 Sb c 56 Kapitola 6 F A b B 1 e a M F 1 A 1 [0, b] b a F e F 1 O = S [a, 0] B Poznámk: Obr. 6.5 Obr. 6.6 Z definice elips je zřejmé, že elipsa daná rovnicí (6.9) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Je-li v rovnici a + b = 1, a = b, a, b R+, pak tato rovnice popisuje kružnici s poloměrem a a středem v počátku. Tečna k elipse s rovnicí (6.8) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a + ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě elips s rovnicí (6.9), má tečna rovnici 1 a + 1 b = Hperbola. Hperbola je křivka (viz obr. 6.7), jejíž všechn bod mají konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od dvou různých pevně zvolených bodů. Tto bod se označují F 1, F a nazývají se ohniska hperbol. Absolutní hodnota rozdílu vzdáleností F 1 M F M, kde M je libovolný bod hperbol, se označuje a ; zřejmě a R +, a < F 1 F. Střed S úsečk F 1 F se nazývá střed hperbol. Přímka F 1 F se nazývá hlavní osa a kolmice k ní vedená středem S se nazývá vedlejší osa hperbol. Průsečík hperbol s její hlavní osou, bod A 1, A, se nazývají vrchol hperbol. Úsečk SA 1, SA jsou tzv. hlavní poloos; pro jejich délku platí vztah SA 1 = SA = a. (Často se hlavní poloosou nazývá též číslo a.) Vzdálenost e = SF 1 = SF se nazývá ecentricita (výstřednost) hperbol. Vedlejší poloos jsou úsečk SB 1, SB, kde bod B 1 a B jsou jediné bod na vedlejší ose hperbol, jejichž vzdálenost od bodů A 1 a A je rovna e. (I pod vedlejší poloosou se často rozumějí nejen úsečk SB 1, SB, ale i jejich velikost.) Velikost b vedlejší poloos splňuje rovnici e = a + b Jestliže a = b, hperbola se nazývá rovnoosá. Hperbola se středem S = [ 0, 0 ], s hlavní poloosou a, vedlejší poloosou b má rovnici Je-li střed S = [0, 0] (viz obr. 6.8 a), hperbola má rovnici ( 0 ) a ( 0) b = 1, a, b R + (6.10) a b = 1, a, b R+ (6.11)

5 e Œ Sd Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 57 B 1 F b A e B a A 1 F 1 M = b a b e F a F O=S 1 = b a Obr. 6.7 = b a b F 1 O=S a e = b a F Poznámk: Obr. 6.8 a Obr. 6.8 b Z definice hperbol je zřejmé, že hperbola daná rovnicí (6.11) má hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ). Hperbola, která má střed S = [0, 0], hlavní osu totožnou s osou (ohniska leží na ose ), hlavní poloosu b, vedlejší poloosu a, má rovnici a + = 1 (viz obr. 6.8 b). b Tečna k hperbole s rovnicí (6.10) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici ( 0 )( 1 0 ) a ( 0)( 1 0 ) b = 1 Je-li střed S = [0, 0], tj. v případě hperbol s rovnicí (6.11), má tečna rovnici 1 a 1 b = 1. Asmptot hperbol jsou přímk, které procházejí jejím středem a svírají s její hlavní osou úhel α, kde tg α = ± b. Asmptot hperbol s rovnicí (6.10) mají rovnice a 0 = ± b a ( 0) a asmptot hperbol s rovnicí (6.11) mají rovnice = ± b a Parabola. Parabola je křivka (viz obr. 6.9), jejíž každý bod je stejně vzdálen od daného bodu F, zvaného ohnisko parabol, a od dané přímk d, zvané řídící přímka parabol. Je-li ted M libovolný

6 58 Kapitola 6 Pf g bod parabol a P je jeho pravoúhlý průmět na řídící přímku, platí rovnost F M = P M. Vzdálenost ohniska F od řídící přímk se nazývá parametr parabol a značí se p ; je ted p R +. (Někd se parametrem parabol rozumí číslo p a číslo p se nazývá poloparametrem parabol.) Kolmice k řídící přímce procházející ohniskem F se nazývá osa parabol a její průsečík s parabolou, bod V, se nazývá vrchol parabol. Pro vrchol V platí vztah V F = p. M [0, p] p V p F p [ p, 0] O F d d [0, p] Obr. 6.9 Obr Parabola s vrcholem V = [ 0, 0 ] a s ohniskem F = [ p + 0, 0 ] má rovnici ( 0 ) = p( 0 ), p R + (6.1) [ p ] Je-li vrchol V = [0, 0] a ohnisko F =, 0 (viz obr. 6.10), parabola má rovnici = p, p R + (6.1) Poznámka: Parabola s vrcholem v počátku a s ohniskem ležícím na záporné poloose, resp. na kladné poloose, resp. na záporné poloose má rovnici = p, resp. = p, resp. = p, p R +. Tečna k parabole s rovnicí (6.1) a s bodem dotku T = [ 1, 1 ] má rovnici p( + 1 ) = 1 Tečnu k parabole s rovnicí (6.1) lze z této rovnice odvodit posunutím soustav souřadnic. Poznámk: Rovnice (6.6) až (6.11) se nazývají středové rovnice. Rovnice (6.1) a (6.1) se nazývají vrcholové rovnice. Rovnice (6.7), (6.9), (6.11), (6.1) se nazývají rovnice v základní poloze. Rovnice A + B + C + D + E = 0, kde A, B, C, D, E R a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat některou z kuželoseček daných rovnicemi (6.6) až (6.1), pokud lze tuto rovnici algebraickými úpravami převést na některý z uvedených tvarů. Rovnice A + B + C + D + E + F = 0, kde A, B, C, D, E, F R, C 0 a alespoň jedno z čísel A, B je nenulové, může vjadřovat kuželosečku, která nemá os (pro parabolu osu) rovnoběžné ani totožné s osami souřadnic. Všetřování kuželoseček v této poloze není v osnovách střední škol.

7 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 59 Vzájemnou polohu přímk a kuželosečk všetřujeme tak, že hledáme jejich společné bod řešením soustav jejich rovnic. Společné bod dvou kuželoseček hledáme řešením soustav jejich rovnic Řešené příklad. Ve všech následujících úlohách předpokládáme, že souřadnice bodů a vektorů jsou dán v kartézské soustavě souřadnic. 1. Vpočtěte výšku v a trojúhelníku ABC s vrchol A = [5, ], B = [1, 5], C = [, 1]. Řešení: Výšku v a vzorce (6.4) je vpočteme jako vzdálenost vrcholu A od přímk BC, jejíž rovnice podle 5 = 1 5 ( 1), tj. po úpravě = Pak podle vzorce (1.4) v a = = ( ) 5 = 5.. Napište rovnici přímk l tak, ab se souřadnými osami vtvořila trojúhelník o obsahu P = a procházela bodem A = [4, ]. Řešení: Je-li úseková rovnice přímk l, potom platí vztah P = pq = 6, p + q = 1 4 p q = 1. Druhou rovnici upravíme na tvar 4q p = pq, vpočteme z ní q = 1 (p + 6) a dosadíme do 4 první rovnice. Dostaneme kvadratickou rovnici p + 6p 4 = 0, z níž plne p 1, = 1 ± 1 + 8, a ted p 1 = 4, q 1 = nebo p =, q =. Úloze ted vhovují dvě přímk:. Určete průsečík M a odchlku přímek l 1 : 4 + = 1, tj = 0 ; l : + = 1, tj. + 6 = 0. a: 6 = 0, b: + = 0. Řešení: Souřadnice průsečíku M vhovují soustavě dvou lineárních rovnic 6 = 0, + = 0, z níž plne = 9, = 1, tj. M = [9, 1]. Odchlku α daných přímek určíme pomocí vzorce (6.5). Protože směrnice k a, k b jsou k a =, k b = 1, dostaneme tg α = k a k b 1 + k a k b = = 1, a ted α = přímek a, b

8 60 Kapitola 6 4. Napište rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 4, ] a má od počátku vzdálenost v = 5. Řešení: Ze zadání úloh plne, že hledanou přímku lze vjádřit rovnicí tvaru (6.1). Odtud a ze vzorce (6.4) pro vzdálenost přímk od bodu plne, že p, q musí splňovat rovnice 4k + q = 0, 5 = q k + 1. Z první rovnice dosadíme do druhé q = 4k + a po umocnění dostaneme kvadratickou rovnici 9k 4k + 16 = 0, která má jediné řešení k = Ted q = + = 5. Hledaná přímka má rovnici = 1 (4 + 5), neboli = 0. Poznámka. Všimneme-li si, že vzdálenost bodu A od počátku je rovna 5, potom můžeme okamžitě usoudit, že hledaná přímka musí být kolmá na přímku OA a musí mít ted podle vzorce (6.5) směrnici k = 4. Úsek q pak dostaneme dosazením souřadnic bodu A do rovnice = 4 + q. 5. Určete střed S a poloměr r kružnice Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.6) Odtud S = [1, ], r = 15. k : = 10. ( ) + ( + 6) = 10 ( ) + ( + 6) = 5 ( 1) + ( + ) 1 9 = 5 ( 1) + ( + ) = Určete rovnici kružnice k, která má střed v bodě S = [1, ] a dotýká se přímk p dané rovnicí 7 + = 0. Určete bod dotku. Řešení: Poloměr hledané kružnice je roven vzdálenosti bodu S od přímk p, takže podle vzorce (6.4) je r = 7 S + S = 10 = Kružnice k má ted rovnici ( 1) + ( ) =. Bod dotku T určíme třeba jako průsečík přímk p s přímkou l, která prochází bodem S a je kolmá na p. Ze vzorce (6.4) a podmínk kolmosti dvou přímek plne, že přímka l má rovnici = 1 ( 1), tj. po úpravě 7+0 = 0. Souřadnice bodu T ted získáme řešením soustav = 0, 7 + = 0. Této soustavě vhovují = 5, = 14 [ 5 a ted T = 5, 14 ]. 5 Poznámka: Souřadnice bodu T bchom mohli získat též řešením nelineární soustav rovnic: + 7 = 0, ( 1) + ( ) = Napište rovnice tečen kružnice = 0, které procházejí bodem P = [, 5]. Řešení: Rovnici kružnice uvedeme na tvar (6.6); dostaneme rovnici ( ) + ( 5) = 5

9 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 61 a ted střed kružnice S = [, 5] a poloměr r = 5. Snadno je vidět, že žádná tečna t nemůže být rovnoběžná s osou, a proto má rovnici tvaru = k + q. Protože vzdálenost středu S od tečn je rovna r = 5, z podmínk P t a ze vzorce (6.4) plne, že platí rovnice k + 5 q = 0, 5 = k 5 + q k + 1. Z první rovnice dosadíme q = k + 5 do druhé rovnice a po umocnění a úpravě dostaneme rovnici 0k = 5, z níž plne k 1, = ± 1, a ted q 1 = 6, q = 4. Úloha má ted dvě řešení t 1 : = + 6, tj. + 1 = 0; t : = + 4, tj. + 8 = 0. Poznámka: Tuto úlohu jsme mohli řešit též tak, že bchom nejprve našli bod dotku T = [ 0, 0 ], jehož souřadnice vhovují soustavě rovnic ( 0 ) + ( 0 5) = 5, ( )( 0 ) + (5 5)( 0 5) = 5. (První rovnice vjadřuje, že bod T je bodem dané kružnice, druhá, že bod P je bodem tečn kružnice.) Z druhé rovnice okamžitě plne 0 = 1, tj. 0 =, což po dosazení do první rovnice dává rovnici ( 0 5) = 4, z níž plne 01 = 7, 0 =. Bod P = [, 5], T 1 = [, 7] určují podle (6.) tečnu t 1 a bod P, T = [, ] určují tečnu t. 8. Určete střed S a poloos a, b elips Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.8): Výsledek: S = = 0. ( + ) + 4( ) = 1 (, + 1 ( + 4 ) ) = 9, ( + 1 ) 9 [ 1, ], a =, b =. + ( ) 9. Napište rovnici elips se středem v počátku, která má jedno ohnisko v bodě F 1 = [4, 0] a prochází bodem M = [, 1]. Řešení: Protože e = OF 1, je e = 4. Bod M je bodem elips, proto do rovnice (6.9) dosadíme souřadnice bodu M. Dále použijeme vztah e = a b, kde e = 4 ; odtud a = 16 + b a dostaneme rovnici 9 4 = b + 1 b = 1, tj. po úpravě b4 + 6b 16 = 0. Odtud b = (druhé řešení b = 8 nevhovuje) a a = 18. Elipsa se zadanými vlastnostmi má ted rovnici 18 + = = 0.

10 6 Kapitola Určete odchlku asmptot hperbol 6 8 = 0. Řešení: Nejprve danou rovnici uvedeme na tvar (6.10): ( 1) ( + 1) ( 1) = = 6, 6 a = 6, b = 1 =. ( + 1) 1 = 1, Protože směrnice asmptot hperbol jsou ± b a, jedna asmptota má směrnici k 1 = má směrnici k =. Jejich odchlka α je podle vzorce (6.5) dána vztahem tg α = =, a druhá a ted α = Najděte rovnici hperbol procházející bodem A = [1, ], mají-li její asmptot rovnice = ± 1. Řešení: Protože střed hperbol je totožný s průsečíkem jejích asmptot, hledaná hperbola má střed v počátku a má ted rovnici tvaru (6.11) a její asmptot mají směrnici ± b. Ze zadání a úloh proto plne, že a, b splňují rovnice 1 a ( ) b b = 1, a = 1. Z druhé rovnice dosadíme a = b do první rovnice a postupně dostaneme: Odtud b = (je b > 0 ) a a = 6. Hledaná hperbola má ted rovnici 144 4b 7 b = 1, 6 b 7 b = 1, b = = Hperbola má střed S = [ 15, 0], jedno ohnisko v počátku a na ose vtíná tětivu délk. Najděte rovnici přímk, na níž leží tětiva. Řešení: Protože střed a jedno ohnisko hperbol leží na ose, jednou osou hperbol je osa a druhá osa je rovnoběžná s osou. Odtud plne, že hperbola má rovnici tvaru ( + 15) a b = 1 a že tětiva, kterou hperbola vtíná na ose, je kolmá k ose a je půlena ohniskem ležícím v počátku soustav souřadnic. Hperbola proto prochází bodem A = [0, 16], což znamená, že musí platit rovnice (0 + 15) a 16 b = 1, tj. 5 a 56 b = 1. Protože z poloh ohniska a středu plne pro ecentricitu e = 15, musí platit rovnice 15 = a +b. Zbývá ted vřešit soustavu rovnic a + b = 5, 5 a 56 b = 1.

11 Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6 Dosadíme-li z první z těchto rovnic b = 5 a do druhé rovnice, dostaneme postupně 5 a 56 5 a = 1, a4 706a + 5 = 0, a = 5 ± 5 5 = 78 ± 7. Odtud plne a = 81, neboť musí být b = 5 a > 0, a dále b = 144. Hledaná rovnice je ( + 15) = Určete souřadnice vrcholu, parametr, souřadnice ohniska, osu a řídící přímku parabol Řešení: Rovnici převedeme na tvar (6.1): = 0. ( ) = ( 6). Odtud ihned plne: vrchol parabol V = [6, ], parametr p = 1, ohnisko F = [ 11, ]. Dále odtud vplývá, že osou parabol je přímka = a řídící přímkou přímka = 6, 5. Konečně odtud plne, že osu parabola protíná v bodě [4, 0] a osu v bodech [0, ± ]. 14. Určete q tak, ab přímka = 4 + q bla tečnou parabol Určete bod dotku. = +. Řešení: Souřadnice bodu dotku vhovují rovnici přímk i rovnici parabol, tj. rovnicím z nichž vloučením dostaneme rovnici = 4 + q, = +, 4 + q = +, tj q = 0. Protože přímka = 4 + q má být tečnou, tato kvadratická rovnice musí mít jediné řešení, tj. její diskriminant D = 6 4 (q ) musí být nulový. Musí ted být q = 1. Je-li tato podmínka splněna, kvadratická rovnice má řešení =, jemuž přísluší = 0. Přímka = se ted dotýká parabol v bodě T = [, 0]. 15. Určete vzdálenost d dvou rovnoběžek t, p, kde t je tečna parabol = 64 a p má rovnici = 0. Řešení: Přímka p má směrnici k p = 4 a ted tečna s ní rovnoběžná má rovnici = 4 + q. Úsek q určíme stejným postupem jako v předešlém příkladě; dostaneme q = 1, takže tečna má rovnici = 0. Vzdálenost d tečn a přímk p určíme jako vzdálenost libovolně zvoleného bodu X tečn od přímk p ; můžeme např. zvolit X = [ 9, 0] a podle vzorce (6.4) dostaneme d = = = Neřešené příklad. 1. Je dán trojúhelník ABC s vrchol A = [4, 6], B = [ 4, 0], C = [ 1, 4].

12 64 Kapitola 6 Najděte rovnice všech jeho stran. [ = 0 ; = 0 ; = 0] Najděte rovnici těžnice jdoucí vrcholem C. [7 + = 0] Najděte rovnici výšk spuštěné z vrcholu A. [ = 0] [ π ]. Určete odchlku přímek = 0, + 1 = Určete rovnici přímk, která prochází bodem A = [ 5, ] a je kolmá na přímku 4 + = 0. [ + 4 = 0] 4. Určete souřadnice středu S a poloměr r kružnice dané rovnicí = 0. [S = [; ], r = 5] 5. Napište rovnici kružnice, která prochází bodem K = [, 0] a dotýká [ se přímk = v bodě ( T = [1, ]. 7 ) ( + 4 ) ] = Určete rovnici tečn kružnice + = 65, která je kolmá k přímce + 9 = 0. [ + ± 1 5 = 0 ] 7. Určete středovou rovnici elips, která prochází bodem A = [ 4; ], má ohnisko F = [4; 0] [ ] a střed S = [0; 0] = 1 8. Je dána elipsa = 0. Určete souřadnice jejího středu, délk poloos a ecentricitu. [S = [, ] ; a = 5, b = ; e = 1] 9. Určete průsečík elips = 0 s přímkou + = 0. [ [ P 1 = [0, 1], P = 4 5, 1 ]] Určete střed, ohniska, délk poloos a rovnice asmptot hperbol = 0. [S = [, 0] ; a =, b = 1 ; F 1, = [ ± 5, 0] ; ± + = 0] 11. Napište rovnici tečn parabol = 0 rovnoběžné s přímkou = 0. [ = 0]