Od Stewartovy věty k Pythagorově větě

Transkript

1 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 017 Od Stewartovy věty k Pythagorově větě From Stewart s theorem to Pythagoras` theorem Jaroslav Beránek MESC: G10 Abstract The article is devoted to teaching mathematics to future teachers at elementary schools. It contains one not very familiar topic which can be used as the means for broadening and deepening mathematics teaching, and further as the motivation for individual study. First, there is given the formulation, the proof and several applications of Stewart s theorem while determining the lengths of the median, altitude and axis of the interior angle in a triangle. In the conclusion, there is shown that under certain conditions Stewart s theorem transforms into Apollonius theorem and finally to Pythagoras` theorem. Key words: Teaching of mathematics, triangle, Stewart s theorem. Abstrakt Příspěvek je věnován výuce matematiky budoucích učitelů prvního stupně základní školy. Obsahuje málo známé téma, které je možno použít jako zajímavý námět k rozšíření a zpestření výuky elementární geometrie, a dále jako motivaci k samostatnému studiu. Nejprve je uvedena formulace, důkaz a několik aplikací Stewartovy věty při určení délky těžnice, výšky a osy vnitřního úhlu v trojúhelníku. V závěru je ukázáno, že za jistých předpokladů lze ze Stewartovy věty obdržet větu Apolloniovu, a následně i větu Pythagorovu. Klíčová slova: Výuka matematiky, trojúhelník, Stewartova věta. 1. Úvod Důležitým činitelem ovlivňujícím kvalitu výuky matematiky na 1. stupni základní školy je kromě promyšleně stanoveného obsahu učiva a kvalitních učebnic rovněž kvalitní příprava učitelů. Fakulty připravující učitele pro uvedený stupeň školy musí budoucí učitele připravit nejen na odborně i metodicky správné vedení výuky matematiky, ale dát jim i jistý matematický nadhled. Proto je nutno hledat témata, která by výuku matematických disciplín těchto studentů zpestřila a rozvinula jejich znalosti a přitom nebyla příliš vzdálená od školské matematiky. Jako výhodné se např. v elementární geometrii jeví využití Stewartovy věty a některých jejích aplikací. Stewartova věta není dnes běžně známá a není ani součástí učebnic matematiky, přestože se jedná o jednoduché planimetrické tvrzení týkající se trojúhelníka. V další

2 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 017 části uvedeme její znění i důkaz (viz [1]). Připomeňme jen (viz []), že Matthew Stewart ( ) byl skotský matematik. Studoval na Univerzitě v Glasgowě, kde započala jeho dlouholetá spolupráce s matematikem Robertem Simsonem, se kterým společně v roce 179 publikovali dílo Apollonii Pergaei locorum planorum libri II. Nejvýznamnějším Stewartovým dílem je práce Some General Theorems of Considerable use in the Higher Parts of Mathematics, obsahující rovněž hlavní téma tohoto příspěvku, Stewartovu větu. Zabýval se rovněž astronomií, kde přispěl k řešení Keplerovy úlohy geometrickými metodami (1756).. Stewartova věta a její využití Stewartova věta (viz [1]) vyjadřuje vztah mezi délkami dvou stran trojúhelníku, délkou příčky ohraničené společným vrcholem těchto dvou stran a libovolným vnitřním bodem strany třetí a délkami úseků, které tato příčka na třetí straně vytíná. Nechť ABC je libovolný trojúhelník, nechť X je libovolný vnitřní bod strany AB. Využijeme označení podle obrázku 1, tedy AC = b, BC = a, CX = x, AX = p, BX = q. Podle Stewartovy věty platí: Věta 1: a p + b q = (p + q)(pq + x ). Obrázek 1. Stewartova věta-označení. Důkaz: (viz [1]) Využijeme označení podle obrázku 1, nechť dále značí velikost úhlu AXC. Podle kosinové věty pro trojúhelníky AXC a BXC platí: b = p + x px cos, a = q + x qx cos (180 ). První rovnici vynásobíme q, druhou p a obě rovnice sečteme. Dostaneme b q + a p = p q + q p + x (p + q) pqx cos pqx cos (180 ). Protože platí známý vztah cos (180 ) = cos, máme po dosazení b q + a p = p q + q p + x (p + q). Odtud již Stewartova věta plyne snadnou úpravou. Dříve než uvedeme využití Stewartovy věty pro některé speciální případy, dokážeme jedno pomocné tvrzení. Také toto tvrzení se v učebnicích matematiky základních a středních škol vyskytuje poměrně málo, většinou bez důkazu. Proto pro úplnost bude uvedeno nyní. Lemma: Každá z os vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka rozděluje protější stranu v poměru délek přilehlých stran, tj. při označení podle obrázku (kde CX je osa vnitřního úhlu při vrcholu C), platí p : q = b : a.

3 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 017 Obrázek. Důkaz pomocného tvrzení-označení. Důkaz: Nechť platí označení podle obrázku. Podle sinové věty pro trojúhelníky ACX a BCX platí (sin = sin, protože = 180 ): b p a q, sin sin sin(180 ) sin Z těchto vztahů vyjádříme p, q a dosadíme do hledaného poměru: b sin p sin b, q a a sin sin (180 ) protože sin 0 a sin (180 ) = sin 0. Pomocné tvrzení tedy platí. a) Určení délky těžnice trojúhelníku Nechť úsečka CX je těžnicí trojúhelníka ABC v označení podle obrázku 1, platí tedy p = q = c. Její délku místo x označíme tc. Dosadíme do Stewartovy věty a upravíme (úpravy uvádíme zkráceně): a c + b c c c c = ( + )( (a + b c c ) = c ( + t c ), c + tc ), ( a b ) c t c =. Délky zbývajících dvou těžnic dostaneme snadno cyklickou záměnou. b) Určení délky osy vnitřního úhlu trojúhelníku Nechť úsečka CX je osou vnitřního úhlu ACB trojúhelníka ABC v označení podle obrázku (její délku místo x označíme o c ), rozděluje tedy tento úhel na dva shodné úhly, které označíme. Pro úseky p, q na straně AB platí podle pomocného tvrzení vztah p b Tento vztah spolu se vztahem p + q = c tvoří soustavu rovnic o neznámých p, q q a kterou vyřešíme. Řešením obdržíme vztahy pro výpočet p, q v závislosti na délkách stran trojúhelníka ABC. Platí bc ac p, q Tyto vztahy dosadíme do Stewartovy věty a p + b q = (p + q)(pq + x ) a upravíme. Uvedeme pouze dosazení a výsledný vztah. Obdržíme a bc + b ac = ( bc a b + ac a b )( bc ac + o c ), odkud plyne

4 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 017 o c ab( a b c )(a b c ) a b Délky zbývajících dvou os dostaneme opět snadno cyklickou záměnou. c) Určení velikosti výšky v trojúhelníku Nechť platí označení podle obrázku, kde příčka CX je výškou trojúhelníka ABC, přímky CX a AB jsou na sebe kolmé. Velikost výšky označíme v c, p + q = c. Podle kosinové věty v trojúhelníku ABC platí a = b + c bc cos.. V pravoúhlém trojúhelníku AXC platí cos = b p. Po dosazení za cos do předchozího vztahu a úpravě b c a dostaneme p Ze vztahu q = c p obdržíme úpravou c Dosadíme za p, q do Stewartovy věty a upravíme: a c b q c ( a b c ) ( a b c ) vc c Délky zbývajících dvou výšek dostaneme opět cyklickou záměnou. d) Speciální případy Uvažujme nyní znění Stewartovy věty v jejím základním tvaru a p + b q = (p + q)(pq + x ). V případě, že příčka CX je těžnicí trojúhelníku ABC, platí p = q. Po dosazení a úpravě přejde Stewartova věta do tvaru (označení podle obrázku 1) a + b = (p + x ). Tento vztah bývá uváděn jako tzv. Apolloniova věta nazvaná podle starověkého učence Apollonia z Pergy, od kterého pochází její slovní geometrická formulace (pro libovolný trojúhelník): Součet čtverců nad libovolnými dvěma stranami trojúhelníka je roven dvojnásobku součtu čtverců nad polovinou třetí strany a nad těžnicí na tuto třetí stranu. Je-li navíc trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu C (v označení podle obrázku 1) a příčka CX je jeho těžnicí, platí p = q = x, bod X je střed přepony AB, tedy střed kružnice opsané trojúhelníku ABC (Thaletova kružnice). Dosadíme do Apolloniovy věty p = x a po snadné úpravě s využitím c = p obdržíme Pythagorovu větu a + b = c. Zajímavé je, že jsme neobdrželi Pythagorovu větu jako speciální případ kosinové věty, jak bývá v učebnicích běžně uváděno, ale jako speciální případ Stewartovy věty. 3. Závěr V příspěvku byla uvedena Stewartova věta a její využití na výpočet některých prvků v trojúhelníku, dále věta Apolloniova a věta Pythagorova, které jsou jejími speciálními případy. Cílem nebylo uvedení původních matematických výsledků. Záměrem bylo ukázat studentům učitelství pro 1. stupeň ZŠ nepříliš složité téma pro ně téměř neznámé, na kterém lze mj. zopakovat řada základních geometrických pojmů (včetně procvičení úpravy algebraických výrazů). Pro studenty se zájmem o matematiku může toto téma hrát i roli motivační pro další studium matematiky.

5 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 017 Literatura [1] CALDA, E. Stewartova věta a příčky v trojúhelníku. In. Rozhledy matematickofyzikální, ročník 86 (011), č., s ISSN [] Matthew Stewart (mathematician). Dostupné z Citováno dne [3] Apollonius` theorem. Dostupné z Citováno dne Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta MU, Poříčí 7, Brno, Česká republika beranek@ped.muni.cz