Michal Zamboj. December 23, 2016

Transkript

1 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu jde hlavně o pochopení a odůvodnění manipulace s kuželosečkou s cílem její klasifikace, pro podrobné definice viz slidy z přednášky, nebo materiál od M. Holíkové. Obecně. Projektivní vlastnosti Kuželosečka a její matice - projektivní klasifikace: regulární/ singulární, reálná/ imaginární Rovnice kuželosečky c v CP 3 se dá zapsat ako množina bodů X se zástupcem x T = (x, x, x 0 ), pro které platí: a b d x x T Ax = (x, x, x 0 ) b c e x = ax + bx x + cx + dx x 0 + ex x 0 + fx 0 = 0 d e f x ( ) ( 0 ) ( ) b d a d a b označme dále A = A = A 3 = c e b e b c Matici A múžeme převádět současnými řádkovými a sloupcovými úpravami na diagonální matici A vzhledem k polární bázi kuželosečky (viz příklady). Tahle transformace nemění projektivní vlastnosti kuželosečky (mění však metrické vlastnosti!). a 0 0 x x T A x = (x, x, x 0 ) 0 c 0 x = a x + c x + f x 0 = f x 0 Je-li hodnost matice h(a) = h(a ) = 3, anebo det(a), det(a ) 0, tak je kuželosečka regulární, jinak je singulární. Ze signatury (nuly, +, ) matice A, dokážeme dále určit jestli je kuželosečka reálná, nebo imaginární. hodnost signatura R I rovnice projektivní typ h(a) = 3 (0, 3, 0) R bodů x + x + x 0 = 0 imaginární regulární KS h(a) = 3 (0,, ) R body x + x x 0 = 0 reálná regulární KS (el., par., hyp.) h(a) = (,, 0) R bodů x + x = 0 imaginární různoběžky h(a) = (,, ) R body x x = 0 reálné různoběžky h(a) = (,, 0) R body x = 0 reálná -násobná přímka Polární vlastnosti kuželosečky - singulární/ regulární body, pól, polára, tečna body P, Q polárněkonjugované vzhledem ke kuželosečce c: a b d q p T Aq = (p, p, p 0 ) b c e q = 0 d e f q 0

2 P je singulární, je-li polárně konjugován s každým bodem prostoru: a b d 0 p T A = (p, p, p 0 ) b c e = 0 d e f 0 Není-li bod singulární, potom je regulární. Množina bodů x T = (x, x, x 0 ) polárne konjugovaných s regulárním (!) bodem P (pólem) vzhledem ke kuželosečce c je polára: a b d x p T Ax = (p, p, p 0 ) b c e x = ap x + bp x + dp 0 x + bp x + cp x + ep 0 x + dp x 0 + ep x 0 + fp 0 x 0 d e f x 0 = x (ap + bp + dp 0 ) + x (bp + cp + ep 0 ) + x 0 (dp + ep + fp 0 ) = 0 T.j. souřadnice poláry jsou (ap + bp + dp 0 ; bp + cp + ep 0 ; dp + ep + fp 0 ). Polára regulárního bodu na kuželosečce se nazývá tečna a její pól je bod dotyku. Jednoduché tvrzení na ověření: Jestli má kuželosečka singulární bod, potom ním prochází polára libovolného regulárního bodu.. Afinní vlastnosti Afinní klasifikace - počet asymptotických směrů, středová/nestředová Polára nevlastního bodu U se zástupcem (u, u, 0) neležícího (!) na kuželosečce je její průměr: a b d x u T Ax = (u, u, 0) b c e x = x (au + bu ) + x (bu + cu ) + x 0 (du + eu ) = 0 d e f x 0 Střed nalezneme jako průsečík průměrů, které jsou poláry dvou nevlastních bodů (, 0, 0), (0,, 0). Bod (, 0, 0) nám dáva rovnici průměru: ax + bx + dx 0 = 0 Bod (0,, 0) nám dáva rovnici průměru: bx + cx + ex 0 = 0 Souřadnice středu tedy jsou (a, b, d) (b, c, e) = (det A, det A, det A 3 ). Je-li determinant det(a 3 ) = 0, tak střed je nevlastní. Má-li kuželosečka singulární bod, potom je tento bod jejím středem. Má-li kuželosečka vlastní střed, potom ji nazýváme středová, centrická, jinak je nestředová. Má-li kuželosečka reálný nevlastní bod = asymptotický směr A se zástupcem (a, a, 0), pak pro něj (po dosazení do rovnice kuželosečky) platí: ax + bx x + cx = 0 Protože (0, 0, 0) není bodem, tak alespoň jedna souřadnice x x 0 a můžeme ní obě strany rovnice zkrátit. BÚNO x 0 dostávame pak kvadratickou rovnici a x x + b x x + c = 0, která má dva reálné kořeny pro b ac > 0, jeden dvojnásobný kořen pro b ac = 0 a žádný reálný kořen pro b ac < 0. b ac lze taky dostat přímo z matice jako det(a 3 ) resp. stačí upravit matici A 3 na diagonální tvar a získáme tzv. vedlejší signaturu. Polára asymptotického směru kuželosečky se nazývá asymptota - tečna v nekonečnu.

3 hodnost signatura vedlejší signatura rovnice projektivní typ h(a) = 3 (0, 3, 0) (0,, 0) x + x + x 0 = 0 imaginární elipsa h(a) = 3 (0,, ) (0,, 0) x + x x 0 = 0 elipsa h(a) = 3 (0,, ) (0,, ) x x x 0 = 0 hyperbola h(a) = 3 (0,, ) (,, 0) x + x = 0 parabola h(a) = (,, 0) (0,, 0) x + x = 0 imaginární různoběžky h(a) = (,, 0) (,, 0) x + x 0 = 0 imaginární rovnoběžky h(a) = (,, ) (0,, ) x x = 0 reálné různoběžky h(a) = (,, ) (,, 0) x x 0 = 0 reálné rovnoběžky h(a) = (3, 0, 0) (, 0, 0) x x 0 = 0 vlastní a nevlastní přímka (není diag.) h(a) = (,, 0) (,, 0) x = 0 jedna dvojnásobná přímka h(a) = (,, 0) (, 0, 0) x 0 = 0 jedna dvojnásobná nevlastní přímka.3 Metrické vlastnosti Metrická klasifikace - hlavní směry, osy, vrcholy, ohniska a řídící přímka Dva vzájemně kolmé polárně sdružené směry u = (u, u, 0), v = (v, v, 0) (nevlastní body) nazýváme hlavními směry. Platí tedy: u T A a b d v v = (u, u, 0) b c e v = 0 a současně skalární součin u v = u T E v = 0 a taky libovolný λ násobek. d e f 0 Proto: u T λe λ 0 0 v v = (u, u, 0) 0 λ 0 v = 0 = u T A a b d v v = (u, u, 0) b c e v 0 0 λ 0 d e f 0 u T (A λe) v = 0 a hledáme vlastní čísla matice A. Taky je odsud vidět, že stačí hledat vlastní vektory matice A 3. Polára hlavního směru je osa kuželosečky. Průsečík kuželosečky s osou se nazývá vrchol kuželosečky. Ohniska F, F dopočítáme ze vztahů pro elipsu, hyperbolu, kde excentricita je e = F S, velikost hlavní (delší) poloosy je a = AS a velikost vedlejší poloosy je b = BS, kde S je střed kuželosečky. Ohniska zárověň leží na hlavní ose kuželosečky. elipsa: e = a b hyperbola: e = a + b Parabola má jedno ohnisko F ležící na ose, a řídící přímku d, kolmou na osu, pro libovolný bod X paraboly platí dx = F X. Další možnost je využít toho, že tečna je osou průvodičů paraboly F X a přímky procházející bodem X rovnoběžné s osou. Resp. ohniska a řídící útvary lze řešit transformací - posunutí středu (u paraboly vrcholu) do počátku a otočení do osového tvaru (resp. obráceně), t.j. zbavíme se smíšeného členu xy substitucí (otočení): 3

4 x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α vyjádříme x, y: x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α dosadíme do rovnice kuželosečky, ve které se vynuluje člen u x y požadovaný tvar po substituci. U paraboly z vrcholové rovnice y = px platí, že V F = V d = p. a zjistíme velikost α, po dosazení zpátky dostávame Příklady ) Klasifikujte kuželosečku c : x xy + y 4x 0y + 5 = 0 v R Projektivní klasifikace: Přepíšeme do homegenních souřadnic: x x x + x 4x x 0 0x x 0 + 5x 0 = 0. 7 Matice kuželosečky: A = det A = 44 regulární. Jestli je reálná nebo imaginární zjistíme z dalších výsledků. Druhá možnost je transformovat vzhledem ke polární bázi a zjistit signaturu = (0,,), t.j. je reálná. Afinní klasifikace: Asymptotické směry: det A 3 = 0 a kuželosečka má jeden dvojnásobný asymptotický směr. x =, x =, t.j. A = (,, 0). x x = ( b a ) = =, a Už ted je vidět, že kuželosečkou je parabola a nemá vlastní střed - nestředová, resp. střed je A. Stejný výsledek dostáváme použitím vzorečku pro střed S = (det A, det A, det A 3 ) = (,, 0). Asymptota paraboly je nevlastní přímka, resp. spočítat jako poláru asymptotického směru: 4

5 7 A T A = (,, 0) 5 = (0, 0, ) = (0, 0, ) t.j. x 0 = Metrická klasifikace: Hlavní směry ( jsou vlastní ) čísla matice A 3 : λ det A 3 = det = λ(λ ) = 0 λ = 0, λ = λ ( Pro λ ) = 0 dostáváme:, vlastní vektor je tedy (, ) t.j. směr (,, 0) = A ( Pro λ ) = dostáváme:, vlastní vektor je tedy (, ) t.j. směr (,, 0) = B Osa určená směrem A je právě nevlastní asymptota viz výpočet výš. Osa určená směrem B je: 7 B A T = (,, 0) 5 = (,, ) = (,, ) t.j. o : x + x + x 0 =

6 Průsečík osy a kuželosečky je: Pro x 0 = x = x a dosadíme do c : x x (x ) + (x ) 4x 0(x ) + 5 = 4x + 36 = 0 x = 3 V = ( 3,, ) Chceme-li dopočítat ohnisko F a řídící přímku, tak využijeme např. přímku - průvodič p : x x = 0, která protne kuželosečku c v bodě M: x x + x 4x 0x + 5 = 4x + 5 = 0 x = 5 5 4, M = ( 4, 5 4, ) spočítáme tečnu v bodě M: 7 ( 5 4, 5 4, ) 5 = ( 7, 5, 5 ) = ( 4, 0, 5)

7 Pro jednoduchost převedeme tečnu t M a průvodič p do R. Dopočítáme druhý průvodič jako přímku osově souměrnou s přímkou p o ose t M, stačí nám k tomu obraz O = [x, y ] bodu O = [0, 0]: x = = ; y = = 5 74 Bodem M a bodem O vedeme druhý průvodič ( 5 o q = [3, ] = F. 4, 5 4, ) ( 75 74, 5 74, ) = ( 3, 47, 5) q : 3x+47y 5 = 0. Průsečík ) Klasifikujte kuželosečku c : 4x 4xy + y x + y = 0 v R a určete poláru bodu [0, 0] vzhledem k c. Projektivní klasifikace: Přepíšeme do homogenních souřadnic: 4x 4x x + x x x 0 + x x 0 x 0 = 0 7

8 4 Matice kuželosečky: A = det A = 0 singulární. Transformujeme kuželosečku vzhledem k polární bázi: A = signatura je (,, ), t.j. kuželosečka je reálná. Singulární bod kuželosečky: 4 0 (p, p, p 0 ) = 0 (,, 0) 0 Afinní klasifikace: Její vedlejší signatura je (,, 0) a jde tedy o dvě reálné různoběžky. Vlastní střed kuželosečka nemá, je tedy nestředová. Asymptotický směr kuželosečky je dvojnásobný: 4x 4x x + x = (x x ) = 0 A = (,, 0) Metrická klasifikace: Hlavní směry: ( ) 4 λ det A 3 = det = λ(λ 5) = 0 λ = 0, λ = 5. λ ( Pro λ = 0) dostáváme: 4, vlastní vektor je tedy (, ) t.j. směr (,, 0) = A ( Pro λ = 5) dostáváme:, vlastní vektor je tedy (, ) t.j. směr (,, 0) = B 4 Protože A je nevlastním singulárním bodem kuželosečky, tak osou vzhledem k A je libovolná přímka kolmá na tento směr, např. o : x + x = 0. Osa určená směrem (,, 0) je: 4 B A T = (,, 0) = ( 4,, ) o : 4x + x + = 0 Polára p bodu O = (0, 0, ) je: 4 (0, 0, ) = (,, 4) x + x 4x 0 = 0 t.j. p : x + y 4 = 0. 8