Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Transkript

1 Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo menší, případně větší? Thaletova kružnice Definice: Množina všech bodů (C) v rovině, z nichž je úsečka (A, B) vidět pod úhlem 90 o, se nazývá Thaletova kružnice. Tečna kružnice Definice: Tečna je přímka, která se dotýká křivky právě v jednom bodě. Elipsa Tečna kružnice je kolmá na některý její poloměr využijeme Thaletovu kružnici nad průměrem SR. Definice: Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od daných bodů (ohniska F 1, F 2 ) stejný (stálý, konstantní) součet vzdáleností 2a. Podmínky: F 1 F 2, F 1 F 2 < 2a F 1 M + MF 2 = 2a = XY o 1 hlavní osa souměrnosti elipsy; o 2 vedlejší osa souměrnosti elipsy; S = o 1 o 2 střed souměrnosti elipsy; A, B hlavní vrcholy; a = AS = SB velikost hlavní poloosy; C, D vedlejší vrcholy; b = CS = SD velikost vedlejší poloosy; e = F 1 S = SF 2 velikost výstřednosti (excentricity); F 1 SC charakteristický trojúhelník elipsy, platí F 1 S = e, SC = b, F 1 C = a?! proč? Mgr. František Červenka VŠB-TU Ostrava

2 Tečna elipsy Věta: Tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. F 1 T, F 2 T průvodiče; F 1 p 1 t; p 1 t = P 1, F 2 p 2 t; p 2 t = P 2, t : F 1 Q 1 Q 1 p 1 F 1 P 1 = P 1 Q 1, t : F 2 Q 2 Q 2 p 2 F 2 P 2 = P 2 Q 2, Q 1 rk 1 (F 2 ; r = 2a), Q 2 rk 2 (F 1 ; r = 2a), rk 1, rk 2 řídící kružnice; P 1, P 2 vk(s; r = a) vrcholová kružnice; Tečna elipsy z bodu R Tečna elipsy směrem s Hledáme body Q, které jsou obrazem ohnisek elipsy v osové souměrnosti určené tečnou. Hledáme body P paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečny a body Q. Mgr. František Červenka VŠB-TU Ostrava

3 Oskulační kružnice jsou pomocné kružnice, elipsy v okolí vrcholů. které ukazují průběh Rytzova konstrukce elipsy Vycházíme ze sdružených průměrů vzájemně se půlící úsečky, které jsou při afinním zobrazení elipsy na kružnici v této kružnici vzájemně kolmé. Proužkové konstrukce elipsy existují dvě: rozdílová na proužek papíru nanášíme rozdíl a b a součtová součet a + b, kde a, b jsou velikosti hlavní a vedlejší poloosy. Pokud známe velikost hlavní a a vedlejší b poloosy elipsy, můžeme pomocí nich sestrojit další body elipsy. Naopak známe-li umístění hlavních (vedlejších) vrcholů a jednoho obecného bodu elipsy, pak díky nim najdeme velikost vedlejší (hlavní) poloosy. najdeme střed S a vedlejší osu o 2 elipsy; sestrojíme kružnici k(m; a = AS ); k o 2 = II, II ; IIM o 1 = I; IM = b velikost vedlejší poloosy. Rozdílová proužková konstrukce: II průsečík ležící v opačné polorovině určené AB = o 1 než M. Součtová proužková konstrukce: II průsečík ležící ve stejné polorovině určené AB = o 1 jako M. Mgr. František Červenka VŠB-TU Ostrava

4 Hyperbola Definice: Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od daných bodů (ohniska F 1, F 2 ) stejný (stálý, konstantní) rozdíl vzdáleností 2a. Podmínky F 1 F 2, F 1 F 2 > 2a F 1 M MF 2 = 2a = XY o 1 hlavní osa souměrnosti hyperboly; o 2 vedlejší osa souměrnosti hyperboly; S = o 1 o 2 střed souměrnosti hyperboly; A, B hlavní vrcholy; a = AS = SB velikost hlavní poloosy; e = F 1 S = SF 2 velikost výstřednosti (excentricity); A p o 1 pomocná kolmice; k(s; e = F 1 S ) pomocná kružnice; p k = E 1, E 2, E 1 S = a 1, E 2 S = a 2, a 1, a 2 asymptoty; ASE 1 charakteristický trojúhelník hyperboly, platí AS = a, SE 1 = e, AE 1 = b obdoba vedlejší poloosy Tečna hyperboly Věta: Tečna hyperboly půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. F 1 T, F 2 T průvodiče; F 1 p 1 t; p 1 t = P 1, F 2 p 2 t; p 2 t = P 2, t : F 1 Q 1 Q 1 p 1 F 1 P 1 = P 1 Q 1, t : F 2 Q 2 Q 2 p 2 F 2 P 2 = P 2 Q 2, Q 1 rk 1 (F 2 ; r = 2a), Q 2 rk 2 (F 1 ; r = 2a), rk 1, rk 2 řídící kružnice; P 1, P 2 vk(s; r = a) vrcholová kružnice; Mgr. František Červenka VŠB-TU Ostrava

5 Parabola Definice: Parabola je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (ohnisko F ) stejnou vzdálenost jako od dané přímky (řídící d.) Podmínky F d F M = v(md) F o d, o osa souměrnosti hyperboly; V o vrchol, střed v(f d); Tečna paraboly Věta: Tečna paraboly půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. T r o r d, F T, r průvodiče; F p t pomocná kolmice; p t = P. t : F Q Q p F P = P Q, Q d, d řídící přímka; P vt o vt d, vt vrcholová tečna; T m o pomocná kolmice; T n t normála; t o = K, n o = L, m o = M, V je střed KM; F je střed KL; Mgr. František Červenka VŠB-TU Ostrava