Nástroje teorie lineárních obvodů v elektronice. Means of linear-circuit theory in electronics

Transkript

1 1 Nástroje teorie lineárních obvodů v elektronice Means of linear-circuit theory in electronics Josef Punčochář This paper was written to provide an introduction to the basic concepts of modern active-circuit analysis - by means of basic properties of linear networks. These are: Ohm s law, Kirchhoff s voltage and current laws, superposition, two-port network conception, nullor conception and generalized nodal voltage conception. It is supposed that all know the first three laws as stated above. Some questions you will have to find in references, maybe. It is analyzed the concrete electronic circuit, as an example. The all analysis will have to provide the same results, of course. Znalost postupů z teorie lineárních obvodů může podstatnou měrou zvýšit produktivnost analýzy elektronických obvodů. Na příkladu jednoho konkrétního obvodu bude ukázána aplikace principu superpozice, přístup dvojbranový a nulorový a aplikace zobecněné metody uzlových napětí. Zákony Kirchhoffovy a Ohmův jsou (snad) samozřejmou výbavou každého elektrotechnika, stejně jako skutečnost, že každý obvod lze definovat parametry, L, a zdroji napětí a proudu. Je zřejmé, že všechny postupy analýzy stejného obvodu musí vést ke stejným závěrům, protože analýza, na rozdíl od syntézy, je úlohou jednoznačnou. 1. ZKOUMANÝ OBVOD Na obr. 1 je schéma syntetického induktoru (se sériovým odporem), který je v elektronice často používán 1,, 3, 4, 5,... Základní úvahy jsou jednoduché. Předpokládá se harmonické buzení, operační zesilovač OZ je v lineárním režimu. Je zapojen jako sledovač napětí, takže jeho přenos K je ideálně jednotkový. V reálném případě 5 ale platí, (1) OZ K () S= L e= Obr.1. Základní schéma syntetického induktoru L e = se sériovým odporem S = K = A/(A+1) (1)

2 kde A T /p je zjednodušený popis zesílení OZ; T je tranzitní kmitočet OZ ( p = j v ustáleném stavu) Na nízkých frekvencích je vstupní impedance uzlu (1) Z IN = / () určena pouze odpory, kapacita se neuplatňuje: Z IN (0) =. Na vysokých frekvencích způsobuje kapacita zkrat uzlů () a ; napětí U 3 uzlu je shodné s napětím U uzlu () a tedy platí ( pro K = 1), že U 3 = U =. Za této situace proud nabývá nulové hodnoty, tedy Z IN ( ). Takovému chování obvodu odpovídá model složený ze sériového odporu S = a nějaké indukčnosti L e - obr.1. Hodnotu L e ovšem musíme stanovit.. PINIP SUPEPOZIE Protože uvažujeme lineární obvod, je možné aplikovat princip superpozice. Každou veličinu můžeme určovat jako sumu (superpozici) účinků od jednotlivých zdrojů. Zdroje, které právě nezkoumáme, nahrazujeme jejich vnitřními odpory (IDEÁLNÍ ZDOJ NAPĚTÍ - ZKATEM; IDEÁLNÍ ZDOJ POUDU PŘEUŠÍME). Základní signálové schéma obvodu z obr. 1 je na obr. a. Výstupní napětí sledovače modelujeme ideálním zdrojem napětí K. Princip superpozice je pak rozkreslen na obr.b, c. Obr.. a) Model zapojení z obr.1; b) účinek zdroje napětí ; c) účinek zdroje napětí K (paralelně x) K K (a) (b) (c) Určíme-li proudy a (což není příliš obtížné), platí při zvolené konvenci šipek, že = - = U 1 p KU p p p Snadno určíme, že nyní je vstupní impedance U 1 p( p Z IN = / = ( p ) 1 pro K 1 j (4) 1 p( 1 a tomu skutečně odpovídá model na obr. 1, kde S = ; L e = (5)

3 3 3. DVOJBANOVÝ PŘÍSTUP Překresleme obvod z obr. 1 do formální podoby na obr. 3. Napětí U zde má ovšem jiný význam než je tomu ve výkladu předchozím. Je to nyní napětí výstupní brány (U, I ), vstupní brána je popisována veličinami (, ). Sestrojíme pro příklad impedanční matici (popis, model) obvodu: = Z 11 + Z 1 I U = Z 1 + Z I (6) (1) OZ K I I =-I () U 3 U Z Z = 1/(p) Obr. 3. Obvod upravený do dvojbranové podoby (U = Z I = -ZI ) Všechny prvky impedanční matice budeme zjišťovat ze stavů naprázdno. Při I = 0 je = /() a rovněž platí U = K - U 3 = K - 0,5 = (K-0,5). Nyní již snadno určíme (I = 0), že Z 11 = / = Z 1 = U / =(K-0,5) Při = 0 je (I 0) U 3 = -I = a tudíž U = K -U 3 =I (1-. Nyní opět snadno určíme, že Z 1 = /I = - Z = U /I = (1- Impedanční popis tedy je U U 1 I K K (, ) ( ) I 1 I1 pro K 0 = 1 (7) I Hodnoty +, - vedlejší diagonály svědčí o gyračních vlastnostech struktury. Hodnota hlavní diagonály impedanční matice popisuje sériový odpor S. Dosadíme-li za branové napětí U = Z I = -Z I (obr. 3) a dosadíme do rovnice (7), obdržíme po elementárních úpravách vztah

4 4 Z p ZIN U I 1 / 1 Z 1/ ( p) Z ( 1 1 p( 1 (8) což je shodné se vztahem (4). 4. NULOOVÁ ANALÝZA Nulorová analýza v metodě uzlových napětí je popsána podrobně v 7, 8, 9, 10, 1, 13. Nulorový model obvodu z obr.1 je na obr.4. 0 I + I - OZ I NULÁTO NOÁ- (1) I1 (a) (b) () Obr. 4. a) Nulorový model OZ; b) nulorový model obvodu z obr. 1 V prvním kroku sestavíme admitanční popis pasívní části obvodu (obvodu bez nulátorů a norátorů). V našem případě je jediný budicí proud ( ). 1. KOK. a 3. KOK G 0 -G 1 G -G, 0 p -p U = 0 3 -G-p G+p U 3 = 0 (9) 3 -G -p G+p U 3 0 Ve druhém kroku sečteme sloupce příslušné uzlům, které jsou propojeny nulátory. Tyto uzly mají díky nulátoru stejné napětí, zde = U =, (viz i vektor uzlových napětí). Propojení nulátorem na zem (referenční uzel) odpovídá škrtnutí odpovídajícího sloupce, příslušné uzlové napětí je totiž rovno nule. Ve třetím kroku sečteme řádky odpovídající uzlům, které jsou propojeny norátorem. Propojení k referenčnímu uzlu odpovídá škrtnutí řádku, zde proto škrtáme druhý řádek (a jeho popis vlastně ani nebylo nutné sestavovat). Vztah (9) tak představuje matematický model obvodu na obr.4b, tedy i model obvodu na obr. 1 s ideálním OZ. Determinant soustavy = G, determinant patřící ke sloupci, je 1, = (G + p) a pomocí Kramerova postupu snadno určíme, že vstupní impedance Z IN =, / = ( 1, /)/ = (G + p)/g = +p (10) Obdržíme tedy výsledek shodný s postupem předchozím. Není zde ovšem možné hodnotit vliv frekvenční závislosti přenosu K(j).

5 5 5. ZOBENĚNÁ METODA UZLOVÝH NAPĚTÍ Analýza obvodů zobecněnou metodou uzlových napětí je popsána např. v 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15. Admitanční popis operačního zesilovače se zesílením A a výstupním odporem o = 1/G o je dán maticí (11). (+) (-) (o) (+) (-) (o) -AG o AG o G o (11) V prvním kroku opět sestavíme admitanční popis pasívní části obvodu na obr. 1. Ve druhém kroku vyznačíme incidence vývodů OZ s uzly (1), () a a v místech incidencí (paralelní řazení pasívního a aktivního n-pólu) přičteme odpovídající prvky matice OZ (11): 1(+) (o)(-) 3 1(+) G+(0) 0+(0)+(0) -G (o) (-) 0+(-AG o )+(0) p+(g o )+(AG o )+(0)+(0) -p U = 0 (1) 3 -G -p G+p U 3 0 Vztah (1) je tak matematickým modelem obvodu na obr.1, s reálným operačním zesilovačem (A, G o ). Pokud bychom chtěli zahrnout i vstupní impedance OZ, stačí je zahrnout do pasívní části obvodu. Determinant soustavy je = G o G (1+A) + pg + pg ; determinant patřící ke sloupci je 1 = G o (1+A)(G+p) + pg a vstupní impedance je Z IN = / = ( 1 /)/ = G o (1+A)(G+p) + pg/g o G (1+A) + pg + pg = = G o = ( +p ).1/1+ p/(1+a) (13) Snadno nahlédneme, že tento vztah je identický se vztahem (4), protože 1-K = 1-A/(A+1) = 1/(A+1) Zanedbání výstupního odporu o ( o = 0, G o ) v popisované struktuře nepředstavuje dominantní chybu. Za diskusi ovšem stojí vliv frekvenční závislosti zesílení A(j). 6. DISKUSE VZTAHŮ (4), (8) a (13) Vyjmenované vztahy jsou identické. Pro T stačí uvažovat, že 1/(A+1) 1/A p/ T. Potom Z IN = ( +p ).1/1+ p / T (14)

6 6 Žádoucí zřejmě je, aby druhý součinitel (chybový člen) nabýval hodnoty 1. To bude platit pouze tehdy, bude-li (p=j) / T 1 tedy pro T / ( ) (15) Vztah (15) tak představuje významné vymezení vlastností struktury na obr. 1 vzhledem k vlastnostem reálného OZ. 7. ZÁVĚ Všechny správné postupy aplikované na stejný obvod musí vést ke stejným výsledkům. Obecné vlastnosti zesilovače (aktivních prvků) se jen obtížně modelují pomocí nulorů. Nulorové modely a postupy jsou vhodné pro řešení základních problémů v jejich ideální podobě. Naopak admitanční modely jsou pro zkoumání reálných struktur vhodné. Navíc se vyznačují velmi jednoduchým algoritmem - viz literatura. Demonstrační příklad dokazuje, že znalost základních principů teorie lineárních obvodů je významná, že umožňuje velmi rychlou analýzu obvodů. Literatura 1 PUNČOHÁŘ J.: Pásmová zádrž se syntetickou indukčností. Sdělovací technika č., 1980, str PUNČOHÁŘ J.: Maximální vstupní napětí pro zádrže. Sdělovací technika č.10, 1984, str PUNČOHÁŘ J.: Zapojení nízkofrekvenčního zesilovače s nastavitelnou frekvenční charakteristikou. Sdělovací technika č.9, 1984, str PUNČOHÁŘ J.: Pásmová zádrž s neideální indukčností. A-adio-Konstrukční elektronika č.5, 1997 str PUNČOHÁŘ J.: Operační zesilovače v elektronice. (4. doplněné vydání). BEN - technická literatura, Praha, ČAJKA,J.-KVASIL,J.: Teorie lineárních obvodů. SNTL, Praha DAVIES,A..: The Significance of Nullators, Norators and Nullors in Active- network Theory. The adio and Electronic Engineer, November 1967, p.p PUNČOHÁŘ, J.: Nullor Nodal Analysis as a esult of a Nodal Analysis With Ideal OP Amps. 1st SEMINA on fundamentals of electrotechnics and circuit theory (SPETO), GLIWIE - USTOŇ, , p.p PUNČOHÁŘ, J.: urrent onveyors in Linear ircuit Theory. nd SEMINA on fundamentals of electrotechnics and circuit theory (I - SPETO 99), GLIWIE - USTOŇ, , p.p PUNČOHÁŘ, J.: urrent-feedback (transimpedance) amplifiers in linear circuit theory. 8 th Scienti fic onference Theoretical Electrical Engineering and Electrical Measurement, September 0-, 1999, Technical University Košice, p.p PUNČOHÁŘ,J.: Zobecněná metoda uzlových napětí. Seminář teorie obvodů (STO-6), MODENÍ SMĚY VÝUKY ELEKTOTEHNIKY A ELEKTONIKY, Sborník prací celostátní konference. (Katedra elektrotechniky a elektroniky VA Brno), Brno , p.p PUNČOHÁŘ,J.: Admitanční a nulorové modely moderních zesilovacích struktur. (STO-7), MO- DENÍ SMĚY VÝUKY ELEKTOTEHNIKY A ELEKTONIKY, Sborník prací celostátní konference. (Katedra elektrotechniky a elektroniky FL a PVO VA Brno, Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky FEI VUT Brno), Brno , p.p PUNČOHÁŘ,J.: eálné a ideální operační zesilovače v metodě uzlových napětí. IV. sešit Katedry teoretické elektrotechniky, Ostrava, , str. 18-4

7 7 14 PUNČOHÁŘ,J.: Analýza Bridgmanovy-Brennerovy struktuy metodou uzlových napětí. VI. sešit Katedry teoretické elektrotechniky, Ostrava, , str PUNČOHÁŘ,J.: Zesilovač s proudovou zpětnou vazbou. VII. sešit Katedry teoretické elektrotechniky, Ostrava, , str