Kapitola 1: Lineární časově invariantní obvody

Transkript

1 Kapitola 1: Lineární časově invariantní obvody Lineární obvod je speciální druh systému /27/. Speciální proto, že jeho základní prvek (jednobran) lze popsat pomocí dvou proměnných. V případě elektrického obvodu to je často napětí a proud *, u akustických obvodů je to tlak a rychlost. Tyto dvě veličiny jsou spolu u některých jednobranů svázány lineárním operátorem: u(t)=z(t){i(t)} i(t)=y(t){u(t)} /1.1/ U velké třídy ** obvodů uvažujeme operátor nezávislý na čase. Potom dostáváme: u(t)=z{i(t)} i(t)=y{u(t)} /1.2/ Protože operátor nezávisí na absolutním čase (shift-invariant), můžeme psát: u(t+a)=z{i(t+a)} i(t+b)=y{u(t+b)} /1.3/ Operátor se většinou zapisuje jako racionální funkce *** jedné proměnné (s, p). V konstrukcích běžně dostupné jednobrany jsou rezistor, kapacitor a sporadicky induktor. rezistor: kapacitor: induktor: Z=R Y=G=1/R /1.4/ Z=1/(pC)=S/p Y=pC /1.5/ Z=pL Y=1/(pL)=Γ/p /1.6/ Z tabulky je zřejmé, že pro základní jednobrany máme ustálené značení a to i pro reciproké hodnoty. + U jiných jednobranů spolu proměnné svázány nejsou. Takové jednobrany nemohou samostatně existovat. Vyskytují se ve dvojici, nazývané nulor. Zavádíme je uměle pro reprezentaci aktivních prvků a některých dvojbranů. Jsou to nulátor a norátor. Nulátor: U=0 I=0 /1.7/ Norátor: U je nezávislé I je nezávislé /1.8/ *) Nebo také amplituda přímé a odražené vlny **) Mezi lineární obvody patří také obvody parametrické, kde je operátor periodicky proměnný v čase ***) Operátor psaný formou funkce zavedl intuitivně O.Heaviside. Matematická precizace na základě integrální transformace (jednostranná Laplaceova transformace) vznikala ve 40. letech 20. století (Bromwich, Doetsch). Precizace na základě funkcionální analýzy (konvolutorní okruh) vznikala později (70. až 80. léta 20. stol.), (Mikusinski, Yoshida); V případě obvodů se soustředěnými parametry je to vždy racionální funkce. +) Používá se v teorii duálních obvodů.

2 Složitější jednobrany získáme spojováním jednoduchých jednobranů. Spojit dva jednobrany tak, abychom získali opět jednobran, můžeme sériově, nebo paralelně: sériově paralelně A+B A//B Z(A+B)= Z(A)+ Z(B) Y(A//B)= Y(A)+ Y(B) /1.9/ Obecněji je obvod neorientovaný graf, jehož hrany jsou dvojbrany. Pro proměnné v tomto grafu platí Kirchhoffovy zákony. (algebraický) součet proudů v uzlu je nulový (algebraický) součet napětí v uzavřené smyčce je nulový Σi(k,l)=0 pro k=konst, l tak, že (k,l) je hrana Σu(k,l)=0 pro k, l tak, že (a,b),(b,c)..(e,f),(f,a) /1.10/ Zpravidla jednomu uzlu přiřadíme nulové napětí. Říkáme mu potom referenční uzel, nebo zem. Pro popis velké třídy obvodů se používá admitanční matice *. Admitanční matici můžeme zkonstruovat z grafu obvodu pomocí následujícího algoritmu: Zvolíme referenční uzel Ignorujeme nulátory a norátory Očíslujeme zbývající uzly vzestupně 1..n Vytvoříme prázdnou matici Y dimenze N=n FOR i:=1..n FOR j=1..n IF i=j THEN Y(i,j)+= Σ(YG(i,k)) pro všechny hrany (i,k) ELSE Y(i,j)-=YG(i,j) Začlenění norátorů a nulátorů do matice znamená sečtení těch řádků či sloupců, mezi kterými byl norátor či nulátor. Tím dojde ke snížení řádu matice, ale také k tomu, že řádky a sloupce v matici již neodpovídají jednotlivým uzlům obvodu, ale skupinám uzlů. V počítačových algebraických systémech se problém řeší tím, že se utvoří dva pomocné vektory ** : Vektor řádkových uzlů a vektor sloupcových uzlů. *) Existují některé dvojbrany, pro které admitanční matice neexistuje. Je to například ideální transformátor. Pro reálný transformátor však matice existuje. /D6/ **) J. Bičák ve své knihovně SC-Syrup pro MAPLE postupuje odlišně. Nejprve vytvoří admitanční matici s uvažováním nulorů (s menším řádem) a následně začleňuje prvky do matice.

3 Admitanční matice obvodu vytvořeného z jednobranů, který neobsahuje nulory, je symetrická podle hlavní diagonály, tedy invariantní vůči transpozici. * Co to znamená? Pouze to, že budeme-li obvod mezi svorkami AB budit napětím a měřit napětí mezi svorkami CD, naměříme stejný přenos, jako když budeme obvod budit proudem do svorek C a D, zkratujeme svorky AB a změříme proud mezi nimi. Přinese nám prohození vstupu a výstupu u zesilovače nějaký užitek?. Patrně nikoliv. Zesilovače jsou v principu systémy unilaterární, proto je lze efektivně reprezentovat pomocí nulorových modelů.domníváme se, že jde o progresivní metodu, proto věnujeme následující stránky nulorovým modelům unilaterárních obvodů. Samozřejmě jsou dlouhou dobu známy nulorové modely úplného lineárního dvojbranu, ale jejich výhody se uplatní v jiných kmitočtových pásmech, než pásmech akustických. V následující tabulce jsou některé unilaterární dvojbrany uspořádané dle složitosti a s respektováním principu duality Unilaterární měnič napětí Unilaterární měnič proudu Unilaterární měnič napětí na proud Unilaterární měnič proudu na napětí *) Tato vlastnost se nazývá reciprocita. Existují i nereciproké pasivní obvody, v elektroakustice například kaskáda elektrostatického a elektrodynamického měniče.

4 Zajímavý je měnič napětí na proud. Reprezentuje v přiblížení pentodu, FET nebo Giacollettův model bipolárního transistoru. * Později uvidíme, že další výhodné vlastnosti má unilaterární model tranzistoru pro šumovou analýzu. Přibližný lineární model bipolárního tranzistoru pro nízké kmitočty obsahuje tři odpory, které lze snadno určit z Giacollettova modelu **, kde I c0 je klidový proud kolektoru, U a Earlyho napětí a β proudový zesilovací činitel. Model JFETu *** je analogický, kde I g je proud hradla; I o je saturační proud hradla; I d je proud drainu, I ds je saturační proud drainu, U p je prahové napětí, U t je efektivní tepelné napětí hradlové diody a K je konstanta /34/ (analogická k Earlymu napětí). *) Unilaterální nulorový model tranzistoru existuje též nelineární. /16/ **) Konstanta 40 v sobě zahrnuje teplotní napětí a vstřikovací účinnost. ***) Platí po saturaci proudu drainu (pro Uds řádu desetin až desítek voltů podle konstrukce)

5 Pro modelování elektronek můžeme použít také unilaterární model /31/ : K je konstanta (souvisí s perveancí), D je konstanta (průnik), Ia je anodový proud a Ig mřížkový proud. Mřížkový proud ve schématu je uvažován jen kladný (náběhový proud). V praxi se uplatňují další vlivy, charakteristika mřížkového proudu se udává graficky: Měřítko Ig je v 10-8 A Platí, že mřížkový proud lze snížit mírným podžhavením, proto se elektronky v prvním stupni zesilovače kondenzátorového mikrofonu podžhavují. (o 8 % i více, některé typy elektronek však podžhavení nesnesou) *) K modelování elektronek se používá tzv. obecná trioda, ve které se s vícemřížkovou elektronkou počítá jako s triodou s určitými D a K, viz./31/