Polyomina a mnohoúhelníková zvířata. Jaroslav Zhouf

Transkript

1 Polyomina a mnohoúhelníková zvířata Jaroslav Zhouf - jednodílné útvary složené z jistého počtu buď jen shodných čtverců, nebo jen rovnostranných trojúhelníků, nebo jen pravidelných šestiúhelníků; dva trojúhelníky, čtverce, nebo šestiúhelníky mohou mít společnou stranu nebo jen bod; útvary jsou podmnožinami trojúhelníkové, nebo čtvercové, nebo šestiúhelníkové sítě Monomino - jediný útvar - jediný útvar Domino - problémy s dominem s nevyznačenými číselnými hodnotami - problémy s dominem s vyznačenými číselnými hodnotami 1. Lze pokrýt kostkami domina šachovnici 8 x 8 s odříznutými protilehlými políčky (viz obr.)?

2 2. Kolika způsoby lze pokrýt obdélník 2 x n kostkami domina, považujeme-li za různá pokrytí i ta, která jsou osově nebo středově souměrná? Proveďte experimentálně pro n = 1, 2, 3, 4,... Proveďte logickým odvozením. 3. Řešíme stejný úkol jako v úloze 2, zde ale uvažujeme jen ta pokrytí, která nejsou ani osově, ani středově souměrná. 4. Řešíme stejný úkol jako v úlohách 2 a 3 pro obdélníky 3 x 2n, 4 x n, Číslujeme jednotlivá pole domina žádným až šesti puntíky tak, že každá kostka obsahuje všechny dvojice puntíků s opakováním. Kolik různých kostek domina můžeme takto získat? 1. Kolik existuje různých tromin? Tromino 2. Lze pokrýt šachovnici 8 x 8 jednadvaceti I-trominy a jedním monominem? Návod: Použijte následující vybarvení šachovnice: 3. Lze pokrýt šachovnici 8 x 8 jednadvaceti L-trominy a jedním monominem?

3 4. Kolika způsoby lze pokrýt obdélník 3 x n kostkami I-tromina, považujemeli za různá pokrytí i ta, která jsou osově nebo středově souměrná? Proveďte experimentálně pro n = 1, 2, 3, 4,... Proveďte logickým odvozením. 5. Kolika způsoby lze pokrýt obdélník 3 x n kostkami L-tromina, považujemeli za různá pokrytí i ta, která jsou osově nebo středově souměrná? Proveďte experimentálně pro n = 1, 2, 3, 4,... Proveďte logickým odvozením. 6. Číslujeme jednotlivá pole tromina žádným až šesti puntíky jako u domina. Kolik různých tromin můžeme takto získat? Řešte zvlášť pro I-tromina, zvlášť pro L-tromina. 1. Kolik existuje různých tetromin? Tetromino 2. Je možné pokrýt šachovnici 8 x 8 jedině I-tetrominy, jedině L-tetrominy, jedině O-tetrominy, jedině S-tetrominy, jedině T-tetrominy? 3. Je možné pokrýt šachovnici 8 x 8 patnácti T-tetrominy a jednim O-tetrominem? Návod: Použijte klasické vybarvení šachovnice.

4 4. Je možné pokrýt šachovnici 8 x 8 patnácti L-tetrominy a jednim O-tetrominem? Návod: Použijte následující vybarvení šachovnice: 5. Je možné pokrýt šachovnici 8 x 8 jakoukoli kombinací I-tetromin a S-tetromin a jednim O-tetrominem? Návod: Použijte následující vybarvení šachovnice: 6. Lze pokrýt obdélník 2 x 10 či obdélník 4 x 5 pěti různými tetrominy? 1. Kolik existuje různých pentomin? Pentomino 2. Lze pokrýt šachovnici 8 x 8 všemi dvanácti pentominy (každé se použije právě jednou) a čtyřmi monominy? 3. Lze pokrýt šachovnici 8 x 8 všemi dvanácti pentominy (každé se použije právě jednou) a jedním O-tetrominem?

5 4. Lze pokrýt devětkrát větší útvar ve tvaru každého pentomina zbylými devíti malými pentominy tak, že se použije každé právě jednou? 5. Najděte nejmenší čtverečkovaný útvar, do kterého se vejde každé z dvanácti pentomin. 6. Lze pokrýt následující útvar všemi dvanácti pentominy tak, že se použije každé právě jednou? 1. Kolik existuje různých hexomin? Hexomino 2. Lze pokrýt obdélníky 3 x 70, 5 x 42, 6 x 35, 7 x 30, 10 x 21, 14 x 15 všemi 35 hexominy tak, že se použije každé pravě jednou? 1. Kolik existuje různých heptomin? Heptomino

6 n- omino 1. Existuje vzorec pro počet n-omin v závislosti na n? Prostorová polyomina 1. Kolik existuje prostorových monomin? 2. Kolik existuje prostorových domin? 3. Kolik existuje prostorových tromin? 4. Kolik existuje prostorových tetromin? 5. Kolik existuje prostorových pentomin? 6. Složte všechna prostorová pentomina do kvádru 3 x 4 x 5. Pseudopolyomina - rovinná polyomina mohou být napojena též jenom vrcholem - prostorová polyomina mohou být napojena též jen hranou, nebo jen vrcholem

7 1. Kolik existuje rovinných pseudomonomin? 2. Kolik existuje rovinných pseudodomin? 3. Kolik existuje rovinných pseudotromin? 4. Kolik existuje rovinných pseudotetromin? 5. Lze vyplnit obdélník 3 x 5 všemi pseudotrominy? 6. Lze vyplnit obdélník 4 x 22, 8 x 11 všemi pseudotetrominy? 7. Kolik existuje prostorových pseudomonomin? 8. Kolik existuje prostorových pseudodomin? 9. Kolik existuje prostorových pseudotromin? Trojúhelníková zvířata (polyamondy) - rovinné útvary složené z rovnostranných trojúhelníků podle stejných pravidel jako polyomina - podle počtu trojúhelníků jde o moniamond (TZ 1. řádu), diamond (TZ 2. řádu), triamond, tetriamond, pentiamond,

8 1. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 1. řádu (moniamondů)? 2. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 2. řádu (diamondů)? 3. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 3. řádu (triamondů)? 4. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 4. řádu (tetriamondů)? 5. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 5. řádu (pentiamondů)? 6. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 6. řádu (hexiamondů)? 7. Kolik existuje trojúhelníkových zvířat 7. řádu (heptiamondů)? 8. Vyplňte kosočtverec o straně 6 všemi dvanácti hexiamondy. Šestiúhelníková zvířata (polyhexy) - rovinné útvary složené z pravidelných šestiúhelníků podle stejných pravidel jako polyomina - podle počtu trojúhelníků jde o monohex (ŠZ 1. řádu), dihex (ŠZ 2. řádu), trihex, tetrahex, pentahex, hexahex, 1. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 1. řádu (monohexů)?

9 2. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 2. řádu (dihexů)? 3. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 3. řádu (trihexů)? 4. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 4. řádu (tetrahexů)? 5. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 5. řádu (pentahexů)? 6. Kolik existuje šestiúhelníkových zvířat 6. řádu (hexahexů)? 7. Je možné pokrýt šestiúhelníkový trojúhelník o straně 7 všemi tetrahexy?