Josef Pelikán, 1 / 51

Transkript

1 1 / 51

2 Náhodné rozmisťování bodů v rovině Josef Pelikán, CGG MFF UK Praha Seminář strojového učení a modelování, / 51

3 Jiří Matoušek ( ) 3 / 51

4 Náhodné rozložení bodů..? random 4 / 51

5 Náhodné rozložení bodů..? regular 5 / 51

6 Náhodné rozložení bodů..? CCDT 6 / 51

7 Řízení hustotou pravděpodobnosti 7 / 51

8 Řízení hustotou pravděpodobnosti 8 / 51

9 Příroda fyzikální zákony, sítnice oka,.. 9 / 51

10 Aplikace vzorkování pro Monte-Carlo kvadraturu rychlost, diskrepance, hustota tiskařství tupování ( stippling ), FM dithering hustota, spektrální vlastnosti, estetika simulace přírodních jevů (stromy, buňky,..), hry spektrální vlastnosti, estetika, hustota deterministické chování design, architektura estetika, efektivita výroby (opakování vzorů) generování sítí pro FEM diskrepance, hustota 10 / 51

11 Jak hodnotit rozložení bodů v rovině? rovnoměrnost pokrytí: diskrepance míra nahodilosti? estetika? Lloydův algoritmus Centroidal Voronoi skalární kvantizace / 51

12 Diskrepance míra rovnoměrnosti pokrytí domény sadou vzorků Monte-Carlo integrace Zaremba 1968 zavádí pojem diskrepance (ukotvené levé horní rohy obdélníků) [0,0] n n d (a, b) = ab N N-n D = max a, b [0,1] d (a, b) [a,b] [1,1] 12 / 51

13 Jiné formy diskrepance střední kvadratická hodnota místo maxima D 2 = d (a, b)2 da db Stroud 1971 navrhuje počítat přes všechny obdélníky n d (a, b, c, d ) = (a c)(b d ) N 13 / 51

14 Visualizace diskrepance random Dr-Cr 14 / 51

15 Shluky! jsou přirozené? Zákon řídkých jevů ( Law of Rare Events ) Poissonovo rozdělení s malou hodnotou m m = 0.5 c0 = 23 c1 = 8 c2 = 5 15 / 51

16 Spektrální charakteristiky hodnocení míry pravidelnosti přítomnost nežádoucích vzorů výskyt shluků spektrální analýza se objevuje při hodnocení kvality půltónování v tiskařství již Allebach 1977 detailní použití: Ulichney, Digital Halftoning, 1987 frekvenční spektrum Fourierova transformace periodogram již Schuster 1898 průměrování periodogramů Bartlett / 51

17 Fourierovské power spectrum množina N vzorků v rovině: N k k =1 S = {s } N k =1 = { [ xk, y k ] } funkce rozložení vzorků (definovaná na R2): N s( x, y) = δ( x x k, y y k ) k =1 17 / 51

18 Fourierovské power spectrum Fourierova transformace se dá zjednodušit na: N 2 π i ( f sk ) F( f )= e k =1 kde f je frekvenční vektor [fx, fy] Z2 a nakonec výkonové spektrum: 1 P( f ) = F( f ) = N 2 ( N 2 ) ( 1 cos(2 π f s k ) + N k=1 N k=1 2 ) sin (2 π f s k ) 18 / 51

19 Příklady spektrální analýzy Fourierova transformace semi-jittering 19 / 51

20 Příklady spektrální analýzy radiálně průměrované spektrum hodnocení radiální symetrie redukce nízkých frekvencí (chceme modrý šum ) 20 / 51

21 Pěkné spektrum vlastnosti modrého šumu (Ulichney 1987) Mitchell 21 / 51

22 Pěkné spektrum radiálně průměrované spektrum červený graf radiální rozptyl (izotropie spektra) 22 / 51

23 Jiné pěkné spektrum 23 / 51

24 Příliš velká pravidelnost 24 / 51

25 Pravidelný rastr + diskrepance + jednoduchost - pravidelnost - interference - nepokrývá doménu 25 / 51

26 Náhodné vzorkování + nepravidelnost + jednoduchost + lze řídit hustotou + pokrývá doménu - diskrepance (shluky) Nezávislé realizace vhodné náhodné veličiny 26 / 51

27 Jittering (roztřesení) + nepravidelnost + jednoduchost + diskrepance + pokrývá doménu - nelze snadno řídit hustotou Stratified sampling ve statistice.. 27 / 51

28 Jittering (roztřesení) Subintervaly mohou být libovolné (stejný obsah) 28 / 51

29 Semi-jittering + jednoduchost + diskrepance - částečná pravidelnost - nepokrývá doménu - nelze snadno řídit hustotou 29 / 51

30 Semi-jittering Amplitudy roztřesení mohou být i jiné 30 / 51

31 N věží ( N rooks ) + nepravidelnost + pokrývá doménu - trochu horší diskrepance (shluky) 31 / 51

32 N věží ( N rooks ) V každém řádku i sloupci právě jeden vzorek.. 32 / 51

33 Hammersley + výborná diskrepance + deterministické + velmi rychlý výpočet - nelze zahušťovat - špatné spektrum Na podobném principu je založena i Haltonova sekvence.. 33 / 51

34 Deterministické sekvence na podobném principu jsou založeny: Halton, Hammersley, Larcher-Pillichshammer pro prvočíslo b nechť je kladné přirozené číslo n vyjádřeno pomocí b-ární reprezentace: L 1 n = d k (n)b k k =0 pak je definováno číslo v intervalu [0,1): L 1 g b (n) = d k (n)b k 1 k =0 34 / 51

35 Halton, Hammersley slavná Haltonova sekvence (např. b1=2, b2=3): x (n) = [ g b (n), g b (n) ] 1 2 Hammersley sekvence (např. b=2): [ n x (n) =, g b (n) N ] 35 / 51

36 Larcher-Pillichshammer + výborná diskrepance + deterministické + velmi rychlý výpočet + lze randomizovat - nelze zahušťovat - špatné spektrum 36 / 51

37 Larcher-Pillichshammer místo dk(n) se používá lp k (n) = ( ) L d i (n) i=k mod 2 analogicky definujeme lp(n) = lp k (n)2 k 1 k.. a posloupnost vzorků [ n x (n) =, lp(n) N ] 37 / 51

38 Pravidelnosti ve spektru 38 / 51

39 Poissonovo diskové vzorkování + nepravidelnost + estetika + diskrepance + pokrývá doménu + lze řídit hustotou - pomalé - obtížné nastavení D Dva vzorky nesmějí být blíž než D 39 / 51

40 Poissonovo diskové vzorkování Algoritmus: vrhání šipky s kontrolou vzdálenosti ( dart-throwing with rejection ) D = / 51

41 Mitchellův algoritmus + jako Poisson-disk + inkrementální + nepotřebuje D - velmi pomalý! Algoritmus: N-tý vzorek vybírám z NK kandidátů, přijmu ten nejvzdálenější K > 5 (větší K.. kvalita) 41 / 51

42 Inkrementální ukázka Počet vzorků: 10, 40, 160, 640, 2560 K = / 51

43 Lloydův algoritmus + diskrepance + modrý šum + výborně pokrývá - pomalý! - pravidelnosti na konci konvergence! Algoritmus: generátor každé Voronoi buňky se posune do těžiště své buňky.. iterace 43 / 51

44 Lloyd postup výpočtu / 51

45 Pravidelnosti Lloyd (Centroidal Voronoi), N = 1024, iterations = / 51

46 Kapacitně omezené distribuce + diskrepance + modrý šum + výborně pokrývá + lze řídit distribucí - pomalý (ale je známo množství urychlení) Vychází z Centr. Voronoi: Aby nevznikaly pravidelnosti, zavádí se kapacitní omezení 46 / 51

47 CCPD 47 / 51

48 CCPD postup výpočtu / 51

49 Porovnání metod - diskrepance průměrování přes 100 pokusů 1024 vzorků v sadě, vhodné nastavení parametrů jednotlivých vzorkování (někdy i více variant) Stroudova diskrepance (všechny obdélníky, RMS) průměrná diskrepance ( 10-3) a std. odchylka ( 10-6) Lloydův algoritmus pro dobrý výsledek se musí zastavit před koncem konvergence (empiricky: generace 40) pro porovnání i výsledek z pokročilejšího stadia konvergence cca Centroidal Voronoi (generace 400) 49 / 51

50 Porovnání metod - diskrepance metoda Pravidelné Hammersley * Larcher-Pillichshammer * Náhodné Jittering Semi-jittering N věží Poissonův disk Mitchell Lloyd (g=40) Lloyd (g=400) CCPD diskrepance SD / 51

51 Literatura P. Shirley: Discrepancy as a Quality Measure for Sample Distributions, Eurographics 1991 J. Matoušek: Geometric Discrepancy An Illustrated Guide, Springer, 2000 A. Lagae, P. Dutré: A Comparison of Methods for Generating Poisson Disk Distribution, CGF 08 M. Balzer, T. Schlömer, O. Deussen: CapacityConstrained Point Distributions: A Variant of Lloyd's Method, SIGGRAPH 2009 D. P. Mitchell: Spectrally optimal sampling for distribution ray tracing, SIGGRAPH 1991 R. Ulichney: Digital Halftoning, MIT Press, / 51