3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

Transkript

1 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka charakter náhodného jevu, který musí před zkoumaným jevem nastat. Mluvíme pak o podmíněné pravděpodobnosti. Odvozené vztahy také dovolují počítat pravděpodobnost náhodných jevů jednodušeji pomocí rozkladu na dílčí případy Definice: Podmíněné jevy. Je-li S jevové pole a A, B S, > 0, jsou náhodné jevy, pak zúžení náhodného jevu A, podmínkou, že nastal jev B nazýváme podmíněným jevem a značíme jej A/B. O jevu B mluvíme jako o hypotéze Věta: Systém S B všech podmíněných náhodných jevů {A/B : A S } má strukturu jevového pole. Důkaz: Tvrzení snadno vyplývá s definice podmíněného náhodného jevu a z definice operací s náhodnými jevy Příklad: Volíme náhodně přirozená čísla mezi 1 a tak, že je každá volba stejně pravděpodobná. Náhodný jev A je výběr čísla dělitelného 5 a náhodný jev B je, že vybrané číslo je menší než 70. Podmíněný jev A/B je náhodný jev, že vybrané číslo je menší než 70 a je dělitelné 5. Vypočtěme jeho pravděpodobnost. Přirozených čísel menších než 70 je celkem 69 a dělitelných 5 je 13. Podle klasické definice pravděpodobnosti je tedy P (A/B) Počítejme nyní jinak. Všech čísel je, čísel menších než 70 je 69 a čísel dělitelných 5 a menších než 70 je 13. Je 69 13, a tedy P (A/B)

2 Nakresleme si situaci na obrázku Definice: Podmíněná pravděpodobnost. Nechť S je jevové pole s pravděpodobností P a B S je náhodný jev, pro který je > 0. Pak funkce P B definovaná na jevovém poli S B podmíněných náhodných jevů předpisem P B (A) P (A/B) má vlastnosti pravděpodobnosti. Nazýváme ji podmíněnou pravděpodobností Poznámka: Vzorec z definice velice často používáme k výpočtu pravděpodobnosti průniku náhodných jevů. Je P (A/B) Příklad: Ve žárovkách je 9 vadných. Náhodně dvě koupíme. Jaká je pravděpodobnost náhodného jevu A, kdy jsou obě vadné. Řešení: Budeme úlohu řešit nejprve pomocí klasické definice pravděpodobnosti. Protože jsou žárovky nerozlišitelné a nezáleží na pořadí výběru, jsou počty možných výběrů dány pomocí kombinačních čísel. ( 2 Všech možných dvojic ze sta je ( ) 9 vadných je Pravděpodobnost výběru vadné dvojice je tedy P 36 ) 4950 a počet dvojic , Úlohu můžeme řešit pomocí podmíněné pravděpodobnosti. K tomu, abychom vybrali dvě vadné, musíme vybrat poprvé vadnou, jev B. Potom je 9. Při výběru druhé, je pravděpodobnost výběru vadná 27

3 žárovky rovna P (A/B) Potom je pravděpodobnost výběru dvojice vadných žárovek rovna P (A/B) , Poznámka: Podmíněné pravděpodobnosti využijeme k zjišťování závislosti náhodných jevů na sobě. Je zřejmé, že pokud je jeden náhodný jev nezávislý na druhém, pak se jeho podmíněná pravděpodobnost nemůže lišit od původní hodnoty. Naopak, pokud se podmínka v hodnotě pravděpodobnosti projeví, musí se náhodné jevy navzájem ovlivňovat Definice: Závislost a nezávislost náhodných jevů. Nechť S je jevové pole s pravděpodobností P. Je-li náhodný jev B S, > 0, pak říkáme, že náhodný jev A S nezávisí na náhodném jevu B, jestliže je P (A/B). Poznámka: Ukažme si další vlastnosti nezávislých jevů. Je-li > 0 a náhodný jev A nezávisí na náhodném jev B, pak z podmínky nezávislosti postupně plyne: P (A/B). Platí tedy následující tvrzení. P (B/A) Věta: Pro náhodné jevy A a B z jevového pole S jsou tyto podmínky ekvivalentní: 1. Náhodný jev A nezávisí na náhodném jevu B, t.j. P (A/B). 2. Náhodný jev B nezávisí na náhodném jevu A, t.j. P (B/A). 3. Je.. Poznámka: Podmínka z uvedené věty ukazuje, že relace nezávislosti je symetrická. Pokud náhodný jev A nezávisí na náhodném jevu B, 28

4 pak náhodný jev B nezávisí na náhodném jevu A. To nás opravňuje k následující definici Definice: Nezávislost náhodných jevů. Jestliže pro náhodné jevy A a B je P (A/B), nebo P (B/A), pak říkáme, že jsou náhodné jevy A a B nezávislé. Pokud nejsou náhodné jevy nezávislé, pak říkáme, že jsou závislé Příklad: Stroj vyřezává součástky obdélníkového tvaru. Při proměření 200 součástek bylo zjistěno: - jen délka je mimo toleranci u 10 součástek; - jen šířka je mimo toleranci u 15 součástek; - jsou mimo toleranci oba rozměry u 43 součástek. Jsou náhodné jevy A překročení tolerance v délce a B překročení tolerance v šířce závislé či nezávislé. Řešení: Náhodný jev A nastane u 200 součástek v případech, náhodný jev B nastane v případech a náhodný jev A B v 43 případech. Je tedy , 265, 0, 29, P (A B) 0, Z podmínky pro nezávislost dostaneme:. 0, 265.0, 29 0, , 215. To znamená, že sledované náhodné jevy jsou závislé. Poznamenejme ještě, že podmíněné pravděpodobnosti jsou P (A/B) 0, 215 0, 29 0, , 265, P (B/A) 0, 215 0, , 29. 0,

5 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost. Poznámka: Podmíněnou pravděpodobnost používáme k výpočtu pravděpodobnosti složitějších jevů, které se realizují v několika různých možnostech. Pokud známe pravděpodobnosti těchto možnosti a pravděpodobnosti jevu v jednotlivých možnostech, pak lze snadno celkovou pravděpodobnost spočítat. Vzorec, který je z tohoto schematu odvozen se nazývá vzorec pro úplnou pravděpodobnost Věta: Vzorec pro úplnou pravděpodobnost. Nechť P je pravděpodobnost na jevovém poli S a systém náhodných jevů {B i S, 1 i n} splňuje tyto podmínky: a) náhodné jevy jsou po dvou disjunktní, tj. pro 1 i, j n, i j je B i B j V ; b) systém jevů je rozkladem jevového pole, t.j. B i U, pak pro náhodné jevy A S je ( ) P (A/B i ).P (B i ). i1 1 i n Důkaz: Z podmínky a) vyplývá, že pro každý jev A S pro i j je (A B i ) (A B j ) V a z podmínky b) plyne, že A (A B i ). Potom z vlastnosti 8 pravděpodobnosti z odst je P (A B i ) P (A/B i ).P (B i ), i1 i1 1 i n když na vyjádření pravděpodobností průniků použijeme vzorec z odst Příklad: Obchod má zboží od dvou výrobců: 1. výrobce dodává 30% a z toho je 80% první jakosti; 2. výrobce dodává 70% a z toho je 85% první jakosti. Určete pravděpododnost náhodného jevu A náhodně koupený výrobek je první jakosti. 30

6 Řešení: K výpočtu použijeme Bayesova vzorce, kde za hypotézy volíme výběr výrobce. Je-li B i, i 1, 2 koupě od i tého výrobce, pak je P (B 1 ) 0, 3 a P (B 2 ) 0, 7. Pokud víme, od kterého výrobce máme zakoupený výrobek, známe i požadovanou pravděpodobnost. Jsou to podmíněné pravděpodobnosti P (A/B 1 ) 0, 8 a P (A/B 2 ) 0, 85. Podle vzorce ( ) je P (A/B 1 ).P (B 1 ) + P (A/B 2 ).P (B 2 ) 0, 8.0, 3 + 0, 85.0, 7 0, , 595 0, 835. Poznámka: Všimneme si, že se pravděpodobnost koupě dobrého výrobku od 1. výrobce snížila z 0,3 na 0,24, když uvažujeme místo všech pouze dobré. U druhého je tomu naopak. Celková pravděpodobnost koupě dobrého výrobku leží mezi hodnotami pravděpodobností u jednotlivých výrobců. Poznámka: V případě výpočtu pravděpodobnosti pomocí vzorce pro úplnou pravděpodobnost můžeme také počítat podmíněnou pravděpodobnost, kde sledovaným náhodným jevem se stává hypotéza a podmínkou je původní jev. Vztah se nazývá Bayesův vzorec Věta: Bayesův vzorec. Za předpokladů, které jsou uvedeny ve větě 3.11, je ( ) P (B k /A) P (B k A) P (A/B k).p (B k ), 1 k n. P (A/B i ).P (B i ) i1 Poznámka: Všimneme si, že hledaná pravděpodobnost je podílem k tého sčítance a celého součtu Příklad: Pro zadání z příkladu 3.12 vypočtěte pravděpodobnosti toho, že zakoupený výrobek 1. jakosti je jednak od prvního a jednak od druhého výrobce. Řešení: Víme, že jsme koupili výrobek 1. jakosti, nastal náhodný jev A a zajímají nás pravděpodobnosti koupě u jednotlivých výrobců, 31

7 hypotézy B 1, B 2. Hledáme tedy pravděpodobnosti P (B 1 /A) a P (B 2 /A). Podle vzorců ( ), ( ) a z výsledků příkladu 3.12 plyne: a P (B 1 /A) P (A/B 1).P (B 1 ) P (B 2 /A) P (A/B 2).P (B 2 ) 0, 24 0, , 835 0, 595 0, ,