DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Mateatka úvěrů Vedoucí dploové práce: Mgr Eva Bohanesová, PhD Rok odevzdání: 2010 Vypracovala: Bc Jana Pokorná AME, II ročník

2 Prohlášení Prohlašuj, že jse dploovou prác zpracovala saostatně pod vedení paní Mgr Evy Bohanesové, PhD s použtí uvedené lteratury V Oloouc dne 8 dubna 2010

3 Poděkování Na toto ístě bych chtěla poděkovat předevší své vedoucí dploové práce paní Mgr Evě Bohanesové, PhD, že ěla se nou dostatek trpělvost, aby poohla dovést tuto prác ke zdárnéu konc Také bych ráda poděkovala své rodně a přátelů za to, že ě po celou dobu studa podporoval

4 Obsah Úvod 4 1 Úvěry 5 11 Podstata a členění úvěrů Bankovní a nebankovní úvěry Krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé úvěry Úvěry členěné podle způsobu jejch zajštění Úvěry členěné z hledska účelu 7 12 Úrok, úroková íra RPSN 20 2 Důchody Modelování RPSN v případě jedného dluhu 30 3 Splácení úvěrů Anutní etoda splácení Lneární etoda splácení Metoda postupného uořování dluhu Porovnání etod splácení úvěru 56 Závěr 58 Přílohy 59 Lteratura 60

5 Úvod Téate é dploové práce je ateatka úvěrů Úvěry jsou ez ld stále aktuální téate, o čež svědčí neustálý záje o úvěrové produkty Předěte úvěru bývá nejen nutnost fnancovat žvotně důležté věc, např bydlení, ale také nadstandardní záležtost, např drahé dary nebo dovolenou Dploová práce je zaěřena předevší na střednědobé a dlouhodobé úvěry a jejch splácení První kaptola je zaěřena na obecnou charakterstku úvěrů, kde se věnujee základníu členění úvěrů, ožnost zajštění úvěrů a účelovéu členění úvěrů Podrobně je zpracován předevší úvěr hypoteční, dále pak je uveden úvěr ze stavebního spoření, úvěr spotřebtelský, úvěr nvestční a úvěr překlenovací V této kaptole je také objasněn poje cena úvěru, kde je podrobně zpracována podkaptola o úrokové íře a typech úročení V závěru kaptoly je objasněn poje a defnce RPSN Druhá kaptola je věnovaná důchodů, kde se zaěřujee na některé specální typy systéů fnančních toků, které jsou důležté z hledska splácení úvěrů Saostatná podkaptola je pak věnovaná odelování RPSN v případě jedného dluhu Třetí, poslední kaptola je věnovaná předevší etodá splácení úvěru, kde je uvedena anutní etoda splácení, lneární etoda splácení a etoda postupného uořování dluhu V úvodu této kaptoly je popsán obecný návod, jak postupovat př sestavování splátkového kalendáře, a to pro každou z výše uvedených etod splácení U jednotlvých etod bude popsáno, jaký způsobe se určí výše splátky, případně výše úoru, př zachování délky doby splácení nebo př její prodloužení o jedno výplatní období Pro každý případ splácení bude sestavena hodnotová rovnce U jednotlvých etod je pak odvozen splátkový kalendář obecně poocí vzorců, stejně jako další potřebné vzorce pro praktcké použtí etody Celá práce je doplněna několka obrázky a předevší příklady 4

6 1 Úvěry Dříve než se dostanee k odelování jednotlvých etod splácení úvěrů, pozastavíe se nad tí, co je to úvěr a jaký způsobe lze úvěry člent V závěru této kaptoly se budee zabývat cenou úvěru 11 Podstata a členění úvěrů Úvěre rozuíe dočasně poskytnutý peněžní kaptál, ke kteréu věřtel přenechává dlužníkov hospodářské právo dsponovat se svěřený prostředky, prot závazku dlužníka vrátt zapůjčený kaptál pozděj a zaplatt věřtel úrok jako oděnu za zapůjčení Věřtel je tedy vystaven rzku, které spočívá v to, že dlužník nebude schopen splnt své závazky, tj vrátt peněžní prostředky v dohodnuté výš a v přede určené čase S úvěry se setkáváe na fnanční trhu, kde dochází ke střetu poptávky a nabídky peněz, tj úvěrů Poptávkou po úvěrech je poptávka po volných peněžních prostředcích, které poptávající potřebuje ke svý transakcí Nabídka volných peněžních prostředků je pak představována nabídkou úvěrů na toto trhu Úvěry ohou ít noho podob a každý z nch tvoří svou podstatou a svý specfcký podínka ndvduální produkt Úvěry lze člent podle různých krtérí Hlavní důvode, proč banka člení úvěry do následujících kategorí, je snadnější posuzování žádostí o úvěr a dverzfkace rzka 111 Bankovní a nebankovní úvěry Úvěry členíe na bankovní a nebankovní podle toho, zda úvěr poskytla bankovní nebo nebankovní společnost U obou typů společností je ožné najít výhody a nevýhody Bankovní úvěr, jak název napovídá, je poskytován bankou Je časově náročný na posouzení žádost o úvěr, jelkož banka usí vyhodnott požadavky klenta a úvěr u schvált Úvěry jsou pro n zpravdla nejvýznanější produkte, jelkož v rozvaze banky představují nejdůležtější položku ez aktvy a 5

7 generují nejvyšší část příjů banky Rozvaha je účetní výkaz o stavu ajetku, tj aktva, a fnančních zdrojů jeho krytí, tj pasva) Zároveň však představují největší část rzka, kteréu je banka vystavena Výhodou bankovního úvěru je slnější postavení banky na trhu V případě velkých bankovních úvěrů, které obvykle není schopna č ochotna poskytnout jedna banka, se na poskytnutí podílí konsorcu bank a vznká tak konsorcální úvěr Toto konsorcu ohou tvořt až desítky bank Nebankovní úvěr je poskytován společnost, které se specalzují pouze na poskytování úvěrů a zpravdla nevyžadují tolk forálních náležtostí jako banka Je pro ně charakterstcká flexblta a éně náročná byrokrace Možnost čerpání nebankovního úvěru je tak dostupná pro klenta, jehož žádost o úvěr byla bankou zaítnuta Tento typ úvěru však bývá hodnocen vysoký úrokový sazba Specální případe nebankovního úvěru je tzv úvěr obchodní, který vznká v důsledku dodavatelskoodběratelských vztahů Poznáka 1 Z hledska poskytovatele úvěru ohou úvěr poskytovat nejen bankovní a nebankovní společnost, ale také stát, resp státní fondy V toto případě luvíe o úvěrech veřejných Příklade ůže být např nízkoúročná půjčka na koup neovtost ze státního fondu rozvoje bydlení v rác prograu podpora ladých 112 Krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé úvěry Další krtére pro členění úvěrů je časové hledsko Úvěr považujee za krátkodobý, jestlže doba splatnost je enší než jeden rok Mez krátkodobé úvěry patří např kontokorentní úvěr, eskontní úvěr nebo úvěr lobardní Doba splatnost střednědobých úvěrů se obvykle pohybuje od jednoho roku do pět let a za dlouhodobý považujee úvěr, u kterého je doba splatnost delší než pět let Mez střednědobé a dlouhodobé úvěry patří např nvestční úvěr, hypoteční úvěr nebo úvěr ze stavebního spoření O krátkodobých úvěrech je blíže pojednáno v Příloze A 6

8 113 Úvěry členěné podle způsobu jejch zajštění Podle způsobu zajštění bankovního úvěru rozlšujee úvěry kryté a nekryté Nekrytý bankovní úvěr je úvěr, který banka poskytne na základě ohodnocení bonty klenta a nevyžaduje žádnou foru zajštění Na tento typ úvěru, který bývá obvykle krátkodobý, přstupuje banka pouze výječně a zpravdla á stanovený lt, do kterého nekrytý bankovní úvěr poskytne Krytý bankovní úvěr je úvěr, u kterého banka vyžaduje určtou foru zajštění Rozlšujee dvě fory zajštění, a to osobní a reálné Osobní zajštění á tř podoby: - Ručení je fora zajštění, kde jedna, popř více osob vystupuje jako ručtel V případě platební neschopnost klenta přechází veškeré závazky z poskytnutého úvěru na ručtele - Další způsobe zajštění je vnkulace vkladu, tzn že klent ručí vklady např na ternované účtu S těto peněz v průběhu splácení úvěru nesí být anpulováno - Se sěnečný zajštění se setkáe u eskontního úvěru Reálný zajštění rozuíe zástavu ovté nebo neovté věc Se zajštění ovté věc se setkáváe u lobardního úvěru, se zajštění neovté věc nejčastěj u hypotečního úvěru 114 Úvěry členěné z hledska účelu Každá banka př posuzování žádost o úvěr se zajíá, o jaký typ úvěru z hledska jeho účelu se jedná Tato kategore členění úvěru, stejně jako kategore časového hledska, úzce souvsí s dverzfkací úvěrového rzka Mez faktory, které úvěrové rzko snžují, patří nejen dokonalý schvalovací proces, pravdelné ontorování úvěrů, jejch řádné zajštění a pojštění, ale zejéna rozložení úvěrů do více oblastí Těto oblast chápee např různá odvětví 7

9 národního hospodářství nebo větší počet jednotlvých klentů s alý objee úvěrů V souvslost s títo členění dělíe úvěry na následující typy: hypoteční úvěr, úvěr ze stavebního spoření, spotřebtelský úvěr, nvestční úvěr, překlenovací úvěr Hypoteční úvěr je typcký dlouhodobý úvěr, jehož doba splatnost se pohybuje v rozezí pět až třcet let Patří ez úvěry bankovní, neboť ůže být poskytován specální hypoteční bankou nebo obchodní bankou, která á na poskytování hypotečního úvěru lcenc od centrální banky Je určen výhradně k nvestování do neovtost Předěte hypoteční slouvy ůže být koupě, výstavba nebo rekonstrukce neovtost Výjkou není an vypořádání spoluvlastnctví nebo koupě podílu na neovtost Tento typ úvěru je vždy zajštěn zástavní práve ke konkrétní neovtost, na kterou je úvěr čerpán, ve prospěch úvěrující banky Ze zastavené neovtost á banka právo uspokojt svoj pohledávku v případě, že dlužník řádně a včas nesplatí svůj závazek Hypoteční úvěr ůže být poskytnut fyzcký osobá za účele výše uvedené nvestce do bydlení, ale podnkající fyzcký nebo právncký osobá za účele stejné nvestce do provozovny podnkání Hypoteční úvěr je splácen konstantní ěsíční splátka Úrokové náklady na hypoteční úvěr jsou v porovnání s ostatní úvěry relatvně nízké To plyne z nízké rzkovost úvěru, neboť zástavní právo k neovtost představuje vel kvaltní způsob zajštění Př sjednávání konkrétních fnančních podínek hypotečního úvěru hraje velkou rol, k jakéu účelu á být úvěr použt Rozlšujee: 8

10 - hypoteční úvěr na bytové účely, - hypoteční úvěr na nebytové účely, - hypoteční úvěr podnkatelský, - hypoteční úvěr nepodnkatelský Nejvýhodnější fnanční podínky jsou spjaty s hypoteční úvěre nepodnkatelský, který je určen pro bytové účely Tento typ hypotečního úvěru je nepříý způsobe podporován státe ve forě daňové úlevy Zaplacené úroky z hypotečního úvěru jsou nezdantelnou částí základu daně z příju fyzckých osob až do ltu, který stanovuje příslušný zákon č 586/1992 Sb, o daních z příjů) Fnancování hypotečních úvěrů bankou je zajšťováno vydávání a prodeje zvláštního druhu dluhopsů, tzv hypotečních zástavních lstů, zkráceně HZL Jde o specfcké úvěrové zdroje, jž jsou fnanční prostředky veřejnost, která s HZL zakoupí Pro tento dluhops je typcké, že jeho jenovtá hodnota včetně úroků je plně nebo z část pokryta pohledávka z hypotečního úvěru a navíc je zajštěna zastavený neovtost, případně náhradní způsobe dle příslušného zákona č 190/2004 Sb, o dluhopsech) Obchodování s HZL je založeno na následující prncpu Klent s zakoupí tento dluhops za jeho jenovtou hodnotu na přede sjednanou dobu splatnost V průběhu splácení úvěru je klentov vyplácen úrok z HZL a příslušná jenovtá hodnota je u proplacena po uplynutí doby splatnost HZL patří ez vysoce kvaltní cenné papíry, neboť jsou zajštěny předevší: - hypoteční úvěre, za který ručí jeho příjece zástavní práve k neovtost, - kvaltou hospodaření etující banky, která á pro účely vydávání HZL povolení od centrální banky a která ručí za splnění závazků z etovaných dluhopsů 9

11 Od výše úrokových sazeb, které usí banka vyplácet svý věřtelů, se odvíjí výše úrokové sazby používané u hypotečních úvěrů Tzv úroková arže, tj rozdíl úrokových sazeb, nesí přesáhnout tř procentní body Cena HZL je závslá na ceně střednědobých a dlouhodobých zdrojů na kaptálových trzích, které jsou ovlvňovány zejéna poptávkou a nabídkou Další složkou ceny hypotečního úvěru jsou náklady banky spojené s jeho provoze Platí, že banky specalzované na hypoteční úvěry, např Hypoteční banka, as, dokáží snížt náklady téěř na polovnu oprot unverzální banká, vz [9] Svoj rol hraje také íra rzka spjatá s poskytování hypotečních úvěrů Čí větší rzko hrozí př splácení hypotečního úvěru, tí větší úroková sazba bude stanovena pro tyto úvěry, jelkož banka bude tvořt rezervy pro případ platební neschopnost klenta Úvěr ze stavebního spoření slouží k pokrytí potřeb př koup a realzac bydlení Dříve než se budee věnovat úvěru ze stavebního spoření, podíveje se, na jaké prncpu je založeno stavební spoření Stavební spoření poskytují zpravdla dceřnné společnost bank, tzv stavební spořtelny, nebo banky, které ají povolení od centrální banky Stavební spoření se řídí příslušný zákone č 96/1993 Sb, o stavební spoření a státní podpoře stavebního spoření) Jedná se o spoření účelové, které spočívá v to, že banka přjíá od klenta vklady, které se po dobu trvání stavebního spoření úročí Po sjednané lhůtě je klentov vyplacena naspořená částka a v případě, že je klente fyzcká osoba, je vyplacena také státní podpora Výše státní podpory je závslá na výš naspořené částky, která je přede sjednána v úvěrové slouvě, a je dána tabulkou Slouva o stavební spoření je sjednána na tzv cílovou částku Ta zahrnuje veškeré vklady klenta, úroky za ně přpsané, státní podporu, úroky ze státní podpory a úvěr U úroků z vkladů a ze státní podpory se daň zatí neuplatňuje, přestože je uváděna ve všeobecných obchodních podínkách Klent á ožnost po ukončení stavebního spoření požádat o úvěr, popř př splnění specfckých podínek ůže požádat jž v průběhu spoření o úvěr pře- 10

12 klenovací Poskytnutý úvěr je stejně jako stavební spoření přísně účelový Lze jej použít k výstavbě, koup nebo rekonstrukc bydlení Bývá zpravdla zajšten s výjkou enších úvěrů Ve slouvě o stavební spoření usí být uvedena úroková íra, za kterou bude úvěr poskytnut, stejně jako úroková íra, kterou se budou vklady úročt Rozdíl těchto dvou úrokových ěr ůže čnt nejvíce tř procentní body I zde se setkáváe s určtou forou státní podpory Zaplacené úroky z úvěru ze stavebního spoření jsou stejně jako u hypotečního úvěru nezdantelnou částí základu daně z příju fyzckých osob Spotřebtelský úvěr, někdy též úvěr spotřební, je rozšířený typ úvěru, který je určen pro fyzcké osoby Je ožné ho čerpat u bankovní nebankovní společnost, popř je nabízen zákazníků obchodní společnost př koup zboží Pokud spotřebtelský úvěr poskytuje banka, luvíe o příé spotřebtelské úvěru, pokud je poskytnut obchodní společností, luvíe o nepříé spotřebtelské úvěru Důvode jeho čerpání bývá nejčastěj nákup spotřebních předětů, proplacení zakoupených služeb, ale také pořízení č výstavba bytů a rodnných doů Výjku netvoří též dovolená nebo fnancování studa Doba splatnost, výše úvěru a úroku je zpravdla stanovena na základě osobních poěrů příjece úvěru Většnou se jejch výše pohybuje v desettsících, popř ve statsících, a doba splatnost zpravdla nepřekračuje lhůtu šest let Spotřebtelský úvěr tedy řadíe ez střednědobé až dlouhodobé úvěry Lze se také setkat se stuací, kdy je zakoupené zboží splaceno obchodní společnost do jednoho roku Náklady na úvěr jsou stanoveny na počátku a jsou spláceny v pravdelných ěsíčních anutních splátkách Banka á většnou stanovený fnanční lt, do kterého poskytuje úvěr bez zajštění U krytých úvěrů se setkáváe předevší s osobní zajštění, tj nejčastěj s ručení, popř s vnkulací vkladů Pro spotřebtelský úvěr je charakterstcké, že úvěrovaný předět neprodukuje příé zdroje ke splácení úvěru Prární zdroje k jeho splácení je běžný příje klenta Banka proto vyžaduje potvrzení zaěstnavatele o výš pracovního 11

13 příju Vyřízení tohoto úvěru obvykle není složté na adnstratvu Investční úvěr je typcký dlouhodobý úvěre, který poskytuje banka k výstavbě, rozšíření nebo odernzac výrobního zařízení podnku Doba splatnost tohoto úvěru se pohybuje v desítkách let Můžee se také setkat se střednědobou lhůtou splatnost, např v případě nvestce do cenných papírů Investční úvěr, který je určený k nvestování do výrobního zařízení podnku, je zpravdla náročný na vyřízení Banku je nutné nejprve seznát s nvestční záěre a předložt dokuenty, ve kterých jsou vyčíslené celkové náklady na nvestční akc, a současně dokuenty apující účel a cíle nvestování Zároveň je nutné prokázat bontu fry, a tedy její schopnost splácet dluh v budoucnu Předložená dokuentace pak slouží pro zajštění nvestčního projektu a na jeho základě je vypracován rozpočet Poocí rozpočtu nvestční akce jsou sledovány čerpané fnanční prostředky v průběhu stavby Rozpočet zároveň slouží bance jako podklad pro sjednání výše úvěru a úvěrových podínek Investční úvěr je ve většně případů splácen anutně a je zpravdla zajštěn předěte nvestce Investční úvěr, stejně jako ostatní dlouhodobé úvěry, představují pro banku větší rzko návratnost, což je spojeno s rzke lkvdty banky Z tohoto důvodu jsou poskytovány s axální obezřetností U fnančně náročných nvestčních akcí pak dávají banky přednost podílovéu úvěrování a slučují se do konsorca bank Překlenovací úvěr je specální type úvěru, jehož úkole je překlenout dobu, která je nutná pro splnění všech podínek do přdělení řádného úvěru S títo type úvěru se často setkáe u stavebního spoření Jeho výhodou je rychlé zprostředkování fnančních prostředků, avšak k jeho přdělení je nutné prokázat dostatečný příje, který zajstí jeho pravdelné splácení U stavebního spoření je totž nutné splácet úrok z překlenovacího úvěru a nadále spořt Nevýhodou je také poěrně vysoká úroková sazba a saotný schvalovací proces 12

14 12 Úrok, úroková íra V souvslost s úvěry luvíe také o jejch ceně, tj úroku, případně dalších nákladech Úrok je chápán odlšně ze strany veřtele a ze strany dlužníka Pro věřtele je úrok oděnou za dočasnou ztrátu kaptálu a za podstoupené rzko, že jeho kaptál nebude splacen v dohodnuté době a výš Pro dlužníka je úrok cenou za poskytnutý úvěr ve syslu pronáju peněžních prostředků Dlužník je oprávněn vypůjčený kaptál hned použít, ale usí jej v dohodnuté době vrátt zpět věřtel a za tento pronáje usí zaplatt Výš úroku vyjadřujee poocí úrokové íry, která je dána jako počet procent za určté úrokové období Úrokový období je doba, za kterou je přpsán úrok Ve fnančních výpočtech pracujee s úrokový období roční, výjkou však nejsou an úroková období področní, tj kratší než jeden rok Je-l úvěr splácen področně, např ěsíčně, pak je pro výpočet úroku zpravdla použta příslušná področní úroková íra Úrokovou íru jsou banky povnny udávat v procentech za rok Tuto roční úrokovou íru budee značt sybole a bude ít foru desetnného čísla U konkrétního fnančního produktu luvíe o úrokové íře jako o úrokové sazbě Následující tabulka uvádí sezna zkratek, které se používají pro úroková období roční področní Úrokové období Latnský název Zkratka rok per annu pa pololetí per seestre ps čtvrtletí per quartale pq ěsíc per ense p den per de pd Tabulka 1: Úroková období Je-l úrok přpsán na začátku úrokového období, luvíe o úročení předlhůtní S títo type úročení se ůžee setkat např u sěnek Je-l úrok přpsán na konc úrokového období, luvíe o úročení polhůtní S polhůtní type úročení se praktcky setkáe častěj než s úročení předlhůtní, např u hypotečního úvěru, spotřebtelského úvěru nebo kontokorentního úvěru 13

15 Dobu, po kterou je kaptál vypůjčen nebo uložen, nazýváe dobou splatnost Doba splatnost neusí být stejně dlouhá jako úrokové období U střednědobých a dlouhodobých úvěrů je až několkanásobně delší Podle doby splatnost lze rozlšt následující typy úročení: jednoduché polhůtní úročení, dskont, složené úročení, področní složené úročení, síšené úročení U jednoduchého polhůtního úročení je úrokový období jeden rok a doba splatnost nepřekročí jedno úrokové období Úrok u vypočítáe podle vztahu: u = P t, t 0, 1, kde P je vypůjčený nebo uložený kaptál, je úroková íra a t je doba vyjádřena v letech, po kterou je kaptál vypůjčen nebo uložen Po čase t se tedy peněžní částka P zúročí a dostanee částku S, tj budoucí částku peněžní částky P Platí tedy: S = P + u = P + P t = P 1 + t) 1) Tento vztah využíváe př úročení krátkodobých úvěrů, např kontokorentního úvěru nebo kredtní karty Dskont je typcký pro eskontní úvěr, jehož prncp s nyní stručně popše Sěnka představuje dlužncký závazek na částku uvedenou na sěnce, tj sěnečnou částku Jž př saotné vystavení sěnky je ve sěnečné částce zohledněn úrok jako cena za sěnečnou transakc Tento úrok je úroke předlhůtní 14

16 V případě, že ajtel sěnky potřebuje peníze ještě před dobou splatnost, á ožnost požádat banku o tzv eskont sěnky, který spočívá v odkupu sěnky bankou před date splatnost sěnky Banka tedy poskytuje ajtel sěnky úvěr zvaný eskontní Zvláštností eskontního úvěru je, že dluh je v případě potřeby vyáhán nejprve na sěnečné dlužníkov, nkol na ajtel sěnky, jeuž byly peníze zapůjčeny Cenou eskontního úvěru, neexstují-l jné náklady, je tzv dskont Dskont představuje úrok vypočítaný ze sěnečné částky za dobu ode dne eskontu sěnky včetně do jejího dne splatnost Saotný den splatnost se jž do doby, za kterou úrok ze sěnečné částky počítáe, nezapočítává Toto období nazýváe zbytková doba splatnost, popř doba do splatnost Př předčasné vyplacení sěnky je tedy sěnečná částka snížena o výš dskontu, který je odečten na začátku zbytkové doby splatnost Z tohoto důvodu je ožné dskont chápat jako úrok předlhůtní Dskont však zároveň přestavuje částečné odečtení úroku, který byl zahrnut do sěnečné částky př vystavení sěnky Časový ntervale, za který předlhůtní úrok odúročíe, je zbytková doba splatnost Výš dskontu D ze sěnečné částky S vypočítáe dle vztahu: D = S d t z, t z 0, 1, kde d je roční dskontní íra vyjádřena v desetnné čísle a t z je zbytková doba splatnost sěnky vyjádřena v letech Cenu sěnky S D po odečtení dskontu lze vyjádřt následující vztahe: S D = S D = S S d t z = S1 d t z ) 2) O sěnce je blíže pojednáno v Příloze A Příklad 1 Sěnka vystavená na částku ,- Kč s date splatnost byla eskontována v bance dne Jaká částka bude vyplacena ajtel sěnky, je-l dskontní sazba 6 % pa a jestlže s banka účtuje eskontní provz 0,2 % ze sěnečné částky? Banka pro výpočet zbytkové doby splatnost předpokládá konstantní počet dní v ěsíc, tj 30 dní, a konstantní počet dní v roce, tj 360 dní 15

17 Řešení: Nejprve určíe zbytkovou dobu splatnost Ta je dána jako podíl příslušného počtu dní v jednotlvých ěsících počte dní v roce: t z = = 4 12 Majtel sěnky bude proplacena částka S D, kterou vypočítáe dosazení do vztahu 2): S D = ) 4 1 0, 06 = ,- Kč, 12 snížená o eskontní provz, která je ve výš ,002 = 120,- Kč Majtel sěnky bude proplacena částka ,- Kč Mez úrokovou írou a dskontní írou d platí vztah, který je ožné odvodt z rovnc 1) a 2) za předpokladu t = t z a P = S D : S = P 1 + t), P = S1 dt) Sloučení těchto rovnc dostanee vztah dt 2 + dt t = 0, ze kterého je ožné jednotlvé proěnné vyjádřt: = d 1 dt, d =, t 0, 1 3) 1 + t Z tohoto vztahu je zřejé, že dskontní íra d je vždy enší než úroková íra Nyní se ještě pozastave u dskontu a polhůtního úroku Jejch přpsaná výše je obecně různá Uvažuje však následující případ Klent s půjčí od banky částku ve výš C na dobu splatnost jednoho roku, ze které hned zaplatí úrok ve výš dc, tj obdržel půjčku ve výš C1 d) a na konc prvního roku usí splatt částku C Úrok, který banka od klenta obdržela, dále renvestuje a obdrží tak úrok ve výš d 2 C, předpokládáe-l neěnnou dskontní íru Úrok z renvestce 16

18 rovněž renvestuje a obdrží tak úrok d 3 C Na základě těchto do nekonečna uvažovaných renvestc a za předpokladu neěnící se dskontní íry banka obdrží částku: dc + d 2 C + d 3 C + Vytknutí dc z tohoto výrazu dostanee geoetrckou řadu, kterou ůžee sečíst Na výsledný tvar pak aplkujee vztah 3) pro úrokovou a dskontní íru: dc + d 2 C + d 3 C + = dc1 + d + d 2 + ) = dc 1 d = C Dostal jse se k následujícíu závěru Celkový úrok získaný na toto dskontní prncpu je roven polhůtníu úroku Tedy efekt z nekonečného renvestování úroků z téhož kaptálu je stejný jako z polhůtního úročení Př součtu konečného počtu renvestovaných úroků dostanee výsledek vždy enší než roční polhůtní úrok z téhož počátečního kaptálu Proto lze tvrdt, že dskontní íra d je vždy enší než polhůtní úroková íra Tento vztah je popsán v [3] U složeného úročení uvažujee počáteční kaptál K 0, který je úročen po dobu n let Tato doba splatnost je tvořena více úrokový období, jejchž celkový počet je roven celéu číslu Nechť títo úrokový období je jeden rok Složené úročení je založeno na následující prncpu Na konc prvního roku je přpsán úrok z počátečního kaptálu K 0 Na konc druhého roku je počáteční kaptál K 0 společně s úroke za první rok znovu úročen Títo způsobe se přpsuje úrok na konc každého roku, to znaená, že v průběhu doby splatnost vznkají úroky z úroků Složený úročení tedy vypočítáe, jak se zění počáteční kaptál K 0 za dobu n let př neěnné úrokové íře Konečný kaptál značíe K n : K n = K o 1 + ) n Poznáka 2 Kaptál K 0 lze úročt po dobu více let též jednoduchý úročení Na rozdíl od složeného úročení však úročíe stále ze stejného základu K 0, takže za n let bycho obdržel částku K n: K n = K o 1 + n) 17

19 V porovnání s částkou K n ze složeného úročení je K n < K n, neboť platí: 1 + n < 1 + ) n, n > 1 Tento vztah je zřejý, vyjádříe-l výraz 1 + ) n poocí bnockého rozvoje: 1 + ) n = ) n 1 n ) n = 1 + n + z, ) ) n n 1 n n n 1 ) n 1 0 n, n kde z = nn 1) n n 1 + n, neboť n N a > 0 Platí tedy z > 0 Jná stuace ovše nastane př úročení kaptálu K 0 po dobu splatnost do jednoho roku: 1 + n > 1 + ) n, n < 1 Předpokládeje, že doba, po kterou je kaptál úročen, je dána jako n = 1, kde číslo rozděluje rok rovnoěrně, vz dále področní složené úročení Pro důkaz nerovnost: 1 + > 1 + ) 1, 1 < 1, 1 + ) > 1 +, 1 < 1 vyjádříe výraz 1 + ) poocí bnockého rozvoje: 1 + ) = ) ) 1 + ) = z, ) ) ) 1 0, ) kde z = 1) 2 )2 + + ) 1 + ), N a > 0 Platí tedy z > 0 Jednoduché úročení je tedy výhodnější v případě, kdy doba splatnost n < 1 Pro n = 1 jsou výrazy totožné 18

20 Na počáteční kaptál K 0 lze pohlížet jako na současnou hodnotu present value) P V budoucích peněz K n Částka K n pak představuje budoucí hodnotu future value) F V částky K 0 Mez současnou hodnotou P V a budoucí hodnotou F V tedy exstují následující vztahy: Budoucí hodnotu F V lze vyjádřt poocí současné hodnoty P V užtí úrokovacího faktoru 1 +, který uocníe počte úrokových období, přes která úročíe: F V = P V 1 + ) n Stejně tak současnou hodnotu P V lze vyjádřt poocí budoucí hodnoty F V užtí dskontního faktoru 1, který je opět uocněn počte úrokových 1+ období, přes která úročíe: P V = F V ) n Področní složené úročení je specální případe složeného úročení, kdy úrokové období je kratší než jeden rok, např ěsíční Jejch počet v rác jednoho roku je vyjádřen celý kladný čísle Úrok je tak přpsován častěj na konc každé -tny roku a je vypočítán na prncpu složeného úročení S títo type úročení se ůžee setkat zpravdla u každého střednědobého nebo dlouhodobého úvěru, který je splácen obvykle področně nejčastěj ěsíčně), např u hypotečního nebo spotřebtelského úvěru Področní složený úročení tedy vypočítáe, jak se zění počáteční kaptál K 0 za dobu n področních období př neěnné področní úrokové íře, který značíe K ) n Jedná se tedy o budoucí hodnotu počátečního kaptálu K 0 v případě področního přpsování úroků: K ) n = K o 1 + ) n 19

21 V toto případě á úrokovací faktor tvar 1 + Področní úroková íra tak odpovídá častějšíu přpsování úroků Následující tabulka popsuje, jaká čísla dosazujee za pro jednotlvé področní úrokové íry Tato čísla vychází z toho, že rok je rozdělen rovnoěrně na příslušné část Področní úroková období Frekvence úročení roční 1 pololetní 2 čtvrtletní 4 ěsíční 12 týdenní 52 denní 365 nebo 360 Tabulka 2: Nejčastější úroková období a odpovídající frekvence úročení Síšené úročení je kobnací složeného a jednoduchého úročení, u kterého budee předpokládat roční úrokové období Doba splatnost n zde není celé kladné číslo jako v předchozí případě, ale je dána vztahe n = n + l, kde n vyjadřuje celočíselný počet úrokových období ročních nebo področních tak, aby jejch počet dával též celý počet roků, a l je období, které je kratší než jedno úrokové období Síšený úročení tedy vypočítáe, jak se zění počáteční kaptál K 0 za dobu n + l, jestlže se vklad po dobu n úročí na prncpu složeného úročení a po dobu l se úročí na prncpu jednoduchého úročení př neěnné úrokové íře a roční úrokové období Budoucí hodnotu kaptálu K 0 značíe K n+l) n vypočítáe j dle vztahu: 13 RPSN K n+l) n = K o 1 + ) n 1 + l), n Z +, l 0, 1) V předchozí podkaptole jse se zabýval úroke, jako cenou úvěru Nyní poje cena úvěru upřesníe, neboť úrok není jedný náklad, který usí dlužník věřtel zaplatt K poskytnutí úvěru se zpravdla váží další náklady, jako jsou např adnstratvní poplatky za podání žádost o úvěr, za uzavření slouvy, za 20 a

22 spravování úvěru a jné Důležtou položkou ůže být též pojstné za pojštění rzka neschopnost splácet, pojštění rzka pro případ srt, popř jných rzk pojstných událostí Zkratkou RPSN rozuíe roční procentní sazbu nákladů Tato sazba se udává pouze jako roční a představuje procentuální vyjádření všech nákladů na úvěr, nkol jen úrokových Úroková íra je součástí RPSN Ukazatel RPSN tak svou konstrukcí uožňuje spotřebtel kvalfkované a objektvní porovnání jednotlvých úvěrů nabízených na trhu Říká, kolk skutečně zaplatíe nad ráec vypůjčené částky v přepočtu na rok RPSN ůže být podstatně vyšší než úroková sazba, a to zejéna u rzkových úvěrů, popř úvěrů poskytovaných nebankovní společnost V toto poslední případě ůže sazba RPSN překročt až sto procent Údaj o výš RPSN je ze zákona o spotřebtelské úvěru č 321/2001 Sb) povnné uvádět na každé slouvě o spotřebtelské úvěru Exstuje však několk výjek, kdy hodnota RPSN být uvedena neusí Jedná se o úvěry, na které se tento zákon nevztahuje výčet úvěrů je převzat z [10]): - slouva, ve které je poskytován spotřebtelský úvěr na koup, výstavbu, opravu nebo údržbu neovtost, - nájení slouva, která po uplynutí určté doby nezaručuje převod vlastnckého práva nebo práva obsahově obdobného vlastnckéu právu, - půjčka poskytnuta bez úroku nebo jakékol úplaty, - spotřebtelský úvěr na průběžné poskytování služeb, za které spotřebtel ůže platt v průběhu jejch poskytování forou splátek, - slouva, ve které je poskytován spotřebtelský úvěr na částky nžší než Kč nebo vyšší než Kč; je-l uzavřeno více sluv, ve kterých se sjednává spotřebtelský úvěr za stejný účele, považuje se pro tyto účely za jedný spotřebtelský úvěr souhrn všech těchto sluv, 21

23 - spotřebtelský úvěr, jehož splatnost nepřesahuje 3 ěsíce nebo je splatný nejvýše ve 4 splátkách ve lhůtě nepřesahující 12 ěsíců Poznáka 3 Ukazatel RPSN je defnován zákone o spotřebtelské úvěru, proto se povnnost uvádět jeho hodnotu na každé slouvě o úvěr vztahuje pouze na spotřebtelské úvěry Údaj o výš RPSN je však pro žadatele o úvěr praktcký a z tohoto důvodu se zpravdla počítá pro ostatní úvěry Zákon o spotřebtelské úvěru defnuje RPSN následující vztahe: k=1 A k 1 + ) t k = k =1 A k 1 + ) t k, 4) kde k je pořadové číslo půjčky téže osoby, k je číslo splátky, A k je výše půjčky čísla k, A k je výše splátky čísla k, je číslo poslední půjčky, je číslo poslední splátky, t k je nterval, vyjádřený v počtu roků nebo ve zlocích roku), ode dne půjčky č1 do dnů následných půjček č2 až č, t k je nterval, vyjádřený v počtu roků nebo ve zlocích roku), ode dne půjčky č1 do dnů splátek nebo úhrad poplatků č1 až č, je hledaná RPSN Defnce RPSN je založena na následující úvaze Banka poskytne úvěry A 1, A 2,, A téže osobě, kde každý úvěr je v jné výš a je poskytnut k jnéu datu Nechť datu přznání prvního úvěru je referenční date, tj date, ke kteréu budee vztahovat, resp dskontovat výš úvěrů A k, pro k = 2, 3,,, a všechny splátky jednotlvých úvěrů A 1, A 2,, A Syboly A k, pro k = 1, 2,,, obecně vyjadřují splátky jednotlvých úvěrů současně Platí tedy, že počet všech splátek je větší než počet poskytnutých úvěrů, tj k > k Vzhlede k tou, že jednotlvé úvěry ohou ít odlšnou frekvenc splácení a jsou poskytnuty k různéu datu, je zřejé, že délka doby ez dvěa po sobě jdoucí splátka je obecně různá pro každé dvě po sobě jdoucí splátky 22

24 Na levé straně vzorce je uveden součet výší jednotlvých úvěrů, přčež všechny úvěry jsou dskontovány k referenčníu datu Výraz 1 1+) t k tak představuje příslušný dskontní faktor uocněný dobou t k, přes kterou dskontujee částku úvěru A k, pro k = 2, 3,,, k datu přznání prvního úvěru Na pravé straně vzorce je uveden součet jednotlvých splátek, přčež tyto splátky jsou dskontovány ke stejnéu referenčníu datu Výraz 1 1+) t k pak představuje příslušný dskontní faktor uocněný dobou t k, přes kterou dkontujee splátky A k, pro k = 1, 2,,, k referenčníu datu Následující obrázek objasňuje vzorec defnovaného RPSN pro k = 3 a k = 15 Obrázek 1: Dskontování splátek Poznáka 4 Defnc RPSN dle vzorce 4) lze chápat také tak, že peněžní částky v rác spotřebtelského úvěru hrazené oběa sluvní strana, tj věřtele a dlužníke, ohou být poskytovány, resp spláceny, v různých dobách, neusí být všechny ve stejné výš a neusí být hrazeny ve stejných ntervalech, vz [4] 23

25 2 Důchody Splácení úvěru v pravdelných splátkách představuje určtý systé fnančních toků Tento systé spočívá v to, že z celkové poskytnuté částky peněžních prostředků se věřtel vrací jeho prostředky zpět forou: - pravdelných splátek, které jsou ve stále stejné výš a zahrnují v sobě navíc úrok, - plateb, které v sobě zahrnují konstantní splátku dluhu, a jsou navýšeny o úrok, jehož výše je závslá na skutečné výš dluhu, nebo - plateb, které v sobě zahrnují konstantní splátku dluhu, ale úrok být v platbě zahrnut neusí, nýbrž se v průběhu doby splácení kuuluje a je dále splácen stejný způsobe jako saotný dluh Tento vznklý nakuulovaný úrok za celou dobu splatnost dluhu je ožné rovněž rozpočítat a splácet saostatně forou pravdelných splátek tak, aby nedošlo k prodloužení doby splatnost Ve fnanční ateatce se tento popsaný systé splátek nazývá důchode Jedná se tedy o systé perodcky splácených, popř vyplácených plateb z určté suy nashroážděných fnančních prostředků Poznáka 5 S důchody se lze též setkat v oblast pojšťovnctví, kde se jedná např o vyplácení penze z penzjního pojštění, popř v oblast nvestc V bankovní oblast se s důchody setkáváe př splácení střednědobých a dlouhodobých úvěrů Proto dříve než se dostanee k jednotlvý etodá splácení úvěru, objasníe několk základních pojů z teore důchodů U důchodů předpokládáe výplaty a ve stále stejné výš a zajíá nás předevší jejch současná hodnota present value) P V Současná hodnota důchodu je rovna součtu všech budoucích plateb dskontovaných k referenčníu datu Referenční date je zpravdla datu přznání důchodu, resp úvěru, popř pořízení nvestce Stejně tak ůžee zjstt budoucí hodnotu future value) F V jako 24

26 součet budoucích hodnot všech výplat Z tohoto hledska lze do důchodů řadt též spořící produkty, kde pravdelný úložka a jejch úročení přspíváe k naspořené částce, tj budoucí hodnotě důchodu Systéy fnančních toků jsou popsovány tzv hodnotovou rovncí, tj rovncí, v níž jsou všechny fnanční částky vztaženy ke stejnéu časovéu okažku Z nch pak lze spočítat jednotlvé proěnné, tj konstantní výš splátky, úrokovou íru a dobu splatnost U důchodů se dále zavádí poje výplatní období, tj doba ez dvěa výplata Výplatní období ůže být stejně dlouhé nebo kratší než jedno úrokové období V případě střednědobých a dlouhodobých úvěrů se volí výplatní období shodné s úrokový období K pojenování výplat lze užít ozn anuta Důchody ůžee člent z několka hledsek: podle celkové doby, po kterou jsou platby vypláceny - důchod dočasný platby jsou vypláceny po dobu konečné délky), - důchod věčný platby jsou vypláceny stále), podle toho, kdy se začíná s platba - důchod bezprostřední s platba se začíná hned), - důchod odložený k první platbě dochází až po určté době odkladu), podle toho, v které část výplatního období jsou platby vypláceny - důchod předlhůtní platba je vyplácena počátke výplatního období), - důchod polhůtní platba je vyplácena na konc výplatního období), podle délky výplatního období - důchod roční výplatní období je jeden rok), - důchod področní výplatní období je kratší než jeden rok, nejčastěj jeden ěsíc) Podíveje se nyní na některé typy důchodů, se který se ve fnanční ateatce setkáe nejčastěj Jedná se o důchody, které ají praktcké využtí ve výše zíněných oblastech, tj př splácení úvěrů, placení pojstného, pravdelného vyplácení penze a v oblast nvestc 25

27 Důchod dočasný, bezprostřední, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popsuje např úvěr, který je splácen hned po dobu konečné délky n let, konce každého roku př neěnné úrokové íře Tuto stuac popsuje následující hodnotová rovnce: P V = a 1 + ) + a 1 + ) + + a ), n P V = a )n 5) Současnou hodnotu důchodu P V lze také vyjádřt poocí tzv zásobtele polhůtního a n, který á následující tvar: a n = )n Zásobtel je ožné nterpretovat jako současnou hodnotu jednotkového důchodu, tj důchodu s platba ve výš 1Kč, které jsou vypláceny konce každého roku po dobu n let př neěnné úrokové íře Hodnotová rovnce á pak následující sybolcký záps: P V = aa n Důchod dočasný, odložený, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popsuje např úvěr, který je splácen až po určté době odkladu k po dobu konečné délky n let konce každého roku př neěnné úrokové íře Sybole k je tedy označen počet ročních výplatních období, po které je první splátka odložena Uvažuje, že dluh D 0 se po dobu odkladu k úročí úrokovou írou D0 Současná hodnota důchodu k datu na konc doby odkladu je tedy dána vztahe P V 1+ D0 ) k V toto případě lze hodnotovou rovnc sestavt následující způsobe: 26

28 P V 1 + D0 ) k = a 1 + ) + a 1 + ) + + a ), n P V 1 + D0 ) k = a )n, ) k 1 P V = a )n 1 + D0 Současnou hodnotu důchodu P V lze vyjádřt poocí příslušného zásobtele k a n, který á následující tvar: k a n = ) k )n Tento zásobtel vyjadřuje současnou hodnotu jednotkového důchodu, jehož platby jsou vypláceny po příslušné době odkladu k konce každého roku po dobu n let př neěnné úrokové íře Hodnotová rovnce á pak stručný sybolcký záps: P V = ak a n Důchod dočasný, bezprostřední, polhůtní, področní Model tohoto důchodu popsuje např úvěr, který je splácen hned po dobu konečné délky n let konce každé -tny roku př neěnné področní úrokové íře Jedna -tna roku tedy představuje výplatní úrokové období Tuto stuac popsuje následující hodnotová rovnce: P V = P V = a 1 a 1 + ) + a a )2 1 +, )n ) n ) Současnou hodnotu důchodu lze také vyjádřt ve zkrácené zápsu poocí zásobtele polhůtního področního a n, který á následující tvar: a n = ) n 1 1+

29 Zásobtel je ožné nterpretovat jako současnou hodnotu důchodu s področ- 1 ní platba Kč, které jsou vypláceny konce každé -tny roku po dobu n let př neěnné področní úrokové íře Hodnotová rovnce á pak tento sybolcký záps: P V = aa n V prax se však př splácení úvěru setkáe nejčastěj s důchode dočasný, bezprostřední, polhůtní, ěsíční, kde = 12 Tuto stuac popsuje následující hodnotová rovnce: P V = 1 P V = a a 1 + ) + a a ) ) 12n 12 )12n, Model je používán př splácení hypotečního nebo spotřebtelského úvěru Důchod věčný, bezprostřední, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popsuje např úvěr, který je splácen hned konce každého roku př neěnné úrokové íře, ale doba splácení je nekonečně dlouhá Tento odel se pro splácení úvěrů v prax nepoužívá, neboť úvěr by se splácel do nekonečna, jak je vdět z následujících vztahů: P V = P V = a a 1 + ) + a 1 + ) +, 2 Přesto lze pro tento typ důchodu najít využtí - Konzola je věčný dluhops, jehož doba splatnost je nekonečně dlouhá Systé fnančních toků je popsán poocí věčného důchodu, vz [12] - Jednou z etod určení vntřní hodnoty ceny) akce je dvdendový dskontní odel Ten je založen na odelu věčného důchodu Vntřní hodnota akce je dána jako počáteční hodnota akce, vz [12], [13] 28

30 S věčný důchode se lze ve fnanční ateatce setkat ještě v následující případě Uvažuje dluh D 0, který bude splácen poocí odelu důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, ročního, tj uvažuje hodnotovou rovnc 5), kde současná hodnota PV je rovna výš dluhu D 0 Z této rovnce vyjádříe proěnnou n: n = ln1 D 0 a ) ln1 + ) 7) Z defnce logartu víe, že výraz, který je logartován, usí být kladný Ze vztahu pro výpočet délky doby splatnost 7), resp z čtatele tohoto vzorce, plyne tzv podínka splattelnost dluhu, která á následující tvar: a > D 0 Tato podínka říká, že výše splátky a usí být větší než úrok z počátečního dluhu Je-l tato podínka splněna, poto je dluh D 0 splacen za dobu konečné délky n let V opačné případě: a D 0 je výše splátky a přílš alá a dluh D 0 bycho tak nebyl schopn nkdy splatt Doba splatnost dluhu je nekonečně dlouhá a splátka úvěru D 0 bude představovat důchod věčný, bezprostřední, polhůtní, roční Platí tedy: S využtí vztahu 7) lze tvrdt: l ln 1 D ) 0 = a 0 a l n = + a 0 Př popsování jednotlvých etod splácení úvěrů se zaěříe na střednědobé a dlouhodobé úvěry, pro které budee obecně uvažovat odel důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního 29

31 21 Modelování RPSN v případě jedného dluhu Poocí teore důchodů lze naodelovat výš RPSN pro jedný úvěr Uvažuje odel důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, ročního, neboť sazba RPSN je udávána pouze jako roční Pro tento odel sestavíe hodnotovou rovnc, ve které budee uvažovat dluh ve výš D 0 Datu přznání dluhu označe Dat 0 Nechť tento dluh je splácen anuta a, které ohou být placeny nepravdelně vždy k určtéu datu ozn jako Dat 1, Dat 2,, Dat n Poznáka 6 Nepravdelný splácení zde rozuíe drobné odchylky od splátkového kalendáře Např předpokládá-l splátkový kalendář splátku k patnáctéu dn v ěsíc, pak ve skutečnost ůže dojít k úhradě buď o něco dříve, je-l patnáctý den v ěsíc sobota, nebo o něco pozděj, je-l patnáctý den v ěsíc neděle K těto odchylkách ůže též docházet vlve státních svátků Sestavená hodnotová rovnce pro takto popsaný důchod á pak následující tvar: D 0 = a 1 + ) Dat 1 Dat a 1 + ) Datn Dat Ve jenovatel exponentu, který je uocněn dskontní faktor, se udává počet dní v roce Je ožné ho vyjádřt čísly 360 jak jse zvoll), 365, 366 v případě přestupného roku) popř 365,25, vz [4] Nyní k takto sestavené hodnotové rovnc uvažuje náklady Sybole P 0 označe jednorázové náklady na úvěr, např poplatek za žádost o úvěr, a sybole p označe náklady, které jsou spláceny současně s anutou a, např poplatek za vedení účtu nebo pojstné Budee-l předpokládat, že jednorázové náklady P 0 jsou zaplaceny hned v den přznání úvěru, hodnotová rovnce á poto tvar: D 0 = a + p 1 + ) Dat 1 Dat a + p 1 + ) Datn Dat

32 Pro takto sestavenou hodnotovou rovnc pak představuje roční procentní sazba nákladů Její hodnotu odhadnee za poocí softwaru, např MS Excel funkce XIRR Je ožné též předpokládat, že jednorázové náklady P 0 jsou rozpočítány do nákladů splácených společně s anutou a V toto případě á hodnotová rovnce tvar: D 0 + P 0 = a + p 1 + ) Dat 1 Dat a + p 1 + ) Datn Dat Poznáka 7 Ve výše uvedených rovncích je ožné též uvažovat splátky a j, pro j = 1, 2,, n, v obecně různé výš Sazba RPSN je odhadována poocí softwaru, který je schopen pracovat s nekonstantní področní splátka Příklad 2 Uvažuje spotřebtelský úvěr ve výš ,- Kč, který bude splácen ěsíčně př úrokové íře 9 % pa po dobu splatnost šest let S úvěre jsou spojeny jednorázové náklady: - zpracování a vyhodnocení žádost o úvěr 1 600,- Kč a ěsíční náklady: - vedení účtu 80,- Kč, - pojstné 150,- Kč, vz [15] Určete výš RPSN za předpokladu, že jednorázové náklady jsou rozpočítány do ěsíčních nákladů Řešení: Předpokládeje, že úvěr bude splácen anutní etodou splácení Anutní etoda splácení a způsob určení výše ěsíční splátky vz dále) Vypočítaná výše ěsíční splátky ční 3 605,- Kč, výše poslední splátky 10,28 Kč Sazbu RPSN vypočítáe poocí prograu MS Excel a funkce XIRR Průběh výpočtu je popsán v Příloze B, RPSN - lst 1 Sazba RPSN ční 11,79 % Příklad 3 Uvažuje hypoteční úvěr ve výš ,- Kč, který bude splácen 31

33 ěsíčně př úrokové íře 6 % pa po dobu splatnost patnáct let S úvěre jsou spojeny jednorázové náklady: - zpracování a vyhodnocení žádost o úvěr 2 900,- Kč, - vydání příslbu úvěru 2 000,- Kč, - vyhodnocení rzk spojených s neovtou zástavbou 3 500,- Kč, - čerpání úvěru na návrh na vklad 1 500,- Kč a ěsíční náklady: - vedení účtu 150,- Kč, - pojstné 450,- Kč, vz [15] Určete výš RPSN za předpokladu, že jednorázové náklady jsou rozpočítány do ěsíčních nákladů Řešení: Předpokládeje, že úvěr bude splácen anutní etodou splácení Vypočítaná výše ěsíční splátky ční ,- Kč, výše poslední splátky 123,60 Kč Sazbu RPSN vypočítáe poocí prograu MS Excel a funkce XIRR Průběh výpočtu je popsán v Příloze B, RPSN - lst 2 Sazba RPSN ční 7,38 % Poznáka 8 V dalších příkladech se oezíe pouze na úrokové náklady 32

34 3 Splácení úvěrů V této kaptole se budee věnovat splácení středněbobých a dlouhodobých úvěrů, pro které je typcké složené úročení Tyto úvěry bývají spláceny v pravdelných področních zpravdla ěsíčních) splátkách a jejch výš považujee za současnou hodnotu důchodu Předpokládeje, že splátky úvěru jsou hrazeny bez doby odkladu konce každého výplatního období po dobu konečné délky Splácení úvěru tedy popsujee poocí důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního V následujících podkaptolách ukážee, jaký etoda lze dluh splácet Objasníe anutní etodu splácení, vz [1], lneární etodu splácení, vz [1] a etodu postupného uořování dluhu zkráceně PUD), vz [2] Průběh splácení dluhu budee u každé etody zapsovat do tabulky zvané splátkový kalendář nebo též uořovací plán Tato tabulka á obvykle pět sloupců, v nchž je uvedeno období j, pro j = 1, 2,, n, výše splátky a j, výše úroku U j a úoru M j v příslušné období a stav dluhu na konc j-tého období, pro j = 1, 2,, n Sybole n značíe počet let, po které je dluh splácen a sybole rozuíe počet -tn roku Počet řádků tabulky je dán počte období n, po které je dluh splácen Postup sestavení splátkového kalendáře Splátkový kalendář se vyplňuje následující způsobe Zvolíe s sloupec, u kterého ají všechny řádky stejnou hodnotu, a ten vyplníe Zvolený sloupec závsí na etodě, pro kterou splátkový kalendář sestavujee U anutní etody je přede znáá výše splátky a, která je pro všechna období ve stejné výš, u lneární etody a u etody PUD je přede znáá výše úoru M, která je rovněž pro všechna období konstantní Podle následujících vztahů je nutné dopočítat postupně pro jednotlvá období hodnoty ve zbývajících sloupcích Máe-l vyplněný sloupec pro výš splátky, pak dopočítáe nejprve výš úroku, poté úor a nakonec stav dluhu Výše úroku U j, pro j = 1, 2,, n, je rovna součnu stavu dluhu v předchozí období D j 1 a področní úrokové íry 33

35 Nechť sybol D 0 značí počáteční výš dluhu Pak platí: U j = D j 1, j = 1, 2,, n 8) Hodnota úoru M j, pro j = 1, 2,, n, je dána jako rozdíl ez splátkou a úroke v téže období: M j = a U j, j = 1, 2,, n 9) Stav dluhu v j-té období D j, pro j = 1, 2,, n, je dán jako rozdíl stavu dluhu v předcházející období a úoru v j-té období, pro j = 1, 2,, n: D j = D j 1 M j, j = 1, 2,, n 10) Znáe-l výš úoru M, pak pro každé období dopočítáe nejprve úrok podle vztahu 8), poté stav dluhu podle vztahu 10) a na konec celkovou výš splátky: a j = U j + M, j = 1, 2,, n 11) V poslední řádku splátkového kalendáře se uvádí souhrnné částky u výše splátky, úroku a úoru Součet úorů za všechna období usí dát výš poskytnutého úvěru D 0 Dle tohoto popsaného postupu se vyplňují splátkové kalendáře pro konkrétní příklady u lbovolné etody U jednotlvých etod s však ukážee, že každou hodnotu v tabulce je ožné vypočítat saostatně poocí vzorce Poznáka 9 Pro sestavení splátkových kalendářů budee vždy předpokládat, že výplatní období je shodné s úrokový období Nebude-l uvedeno jnak, jednotlvé výsledky budee zaokrouhlovat ateatcky na dvě desetnná ísta 31 Anutní etoda splácení U této etody uvažuje následující předpoklady Měje dluh ve výš D 0, který bude splácen bezprostředně polhůtní področní splátka a anuta), které jsou ve stále stejné výš Dluh D 0 je splácen po dobu n let, tj n období, př neěnné področní úrokové íře 34

36 Splátka v sobě zahrnuje úrok U j hodnota je v každé splátce jná: a = U j + M j, úor M j, pro j = 1, 2,, n, jejchž j = 1, 2,, n Velkost úroku U j, pro j = 1, 2,, n, která je dána vztahe 8), je závslá na velkost stavu dluhu Vlve postupně se zenšujícího dluhu se budou úroky neustále snžovat a úory M j, pro j = 1, 2,, n, se tak budou neustále zvyšovat Anutní etoda je založena na odelu důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního, který je popsán vztahe 6) Jednotlvé splátky jsou dskontovány k počátku, tj k datu přznání úvěru, a výše dluhu je vyjádřena jako součet těchto dskontovaných anut Proces dskontování splátek pro področní splácení úvěru objasňuje následující obrázek Obrázek 2: Dskontování splátek Př splácení úvěru anutní etodou vycházíe ze stuace, kdy výše področní splátky a je po dohodě s bankou stanovena přede na základě osobních poěrů klenta a tou je přzpůsobena doba splatnost n Alternatvní ožností je také stuace, kdy doba splatnost úvěru n je stanovena přede a k tou je vypočtena výše področní splátky a, vz [8] Určení délky doby splatnost n př znáé anutě a Předpokládeje nyní, že je dána výše področní splátky a Na základě vztahu 6) pak odvodíe vzorec pro výpočet celkové doby splatnost dluhu n: ) a n = ln1 D 0 ln1 + ) 12) 35

37 Doba splatnost, resp počet období, po které bude úvěr splácen, je přrozené číslo Proto je výsledek nutné zaokrouhlt Dobu splatnost zaokrouhlíe nejdříve nahoru, tj uvažujee horní celou část ozn n, neboť v poslední období se uskuteční splátka Vlve zaokrouhlení doby splatnost n nahoru bude dluh splácen anutou a po n 1 období a v poslední období n nastane nžší splátka, kterou ozn b Systé fnančních toků v rác dluhu D 0 je pak ožné popsat následující hodnotovou rovncí: D 0 = a 1 + ) + a 1 + )2 + + a 1 + ) n 1 + b 1 + ) n, ze které vypočítáe výš poslední splátky b: b = 1 D 0 a ) n ) n 13) V případě, že bycho vypočítanou dobu splatnost n zaokrouhll dolů, tj uvažoval bycho dolní celou část ozn n, bude úvěr po n období splácen stejnou anutou a Po této době však úvěr nebude zcela splacen Vlve zaokrouhlení se prodlouží doba splatnost a dluh tak bude splacen v období n +1 poslední, nžší splátkou b Hodnotová rovnce by v toto případě ěla tvar: D 0 = a 1 + ) + a 1 + )2 + + a 1 + ) n + b 1 + ) n +1 Prodloužená doba splatnost zde vznkla vlve jného značení a je tak pouze forální V toto případě tedy úvěr praktcky nepodraží, tj úrokové náklady na úvěr zůstanou stejné Výš poslední, nžší splátky b dopočítáe ze vztahu: b = 1 D 0 a ) n ) n +1 36

38 Příklad 4 Uvažuje dluh D 0 ve výš ,- Kč, který bude splácen ěsíčně př úrokové íře 7 % pa Předpokládeje, že výše ěsíční splátky a byla stanovena na 5 000,- Kč Úkole je sestavt splátkový kalendář dle postupu, který je popsaný na straně 33 Postup sestavení splátkového kalendáře) Řešení: Nejprve vypočítáe dobu splatnost 12n dle vztahu 12) a budee uvažovat hodnotu 12n, tj 12n = 207 Poté vypočítáe výš poslední splátky b dle vztahu 13), tj b = 4 983,75 Kč Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Anutní etoda splácení - lst 1 Úvěr bude splacen za sednáct let a tř ěsíce a celkové úrokové náklady na tento úvěr budou čnt ,75 Kč Vztah 12) je také důležtý z hledska ověření splattelnost dluhu, který jse se zabýval u důchodu věčného, bezprostředního, polhůtního, ročního Jelkož předpokládáe področní splácení úvěru, podínka splattelnost dluhu á následující tvar: a > D 0 14) Z toho plyne, že stanovená výše področní splátky a usí být větší než področní úrok z počátečního dluhu Příklad 5 Uvažuje dluh D 0 ve výš ,- Kč, který bude splácen ěsíčně splátkou a = 450,- Kč př úrokové íře 6% pa Úkole je ověřt podínku splattelnost dluhu Řešení: Podínka splattelnost dluhu dle vztahu 14) zde splněna není, neboť: , = 500,- Kč a výše ěsíční splátky a = 450,- Kč je tak enší než nální vypočítaná výše splátky 500,- Kč Tento úvěr je tedy nesplattelný a doba splatnost úvěru bude nekonečně dlouhá Naznače nyní, jaký způsobe bude částka dluhu narůstat Podíveje se na 37