Přímá a nepřímá úměrnost

Transkript

1 Přímá a ne - rovnice: y = k.x + c - graf: přímka - platí: čím víc, tím víc - př.: spotřeba benzínu motorovým vozidlem a vzdálenost, kterou vozidlo urazí při stejném výkonu ne k - rovnice: y c x - graf: hyperbola - platí: čím víc, tím méně - př.: doba potřebná k zorání určitého pozemku a počet traktorů se stejnými pluhy Řešené příklady: 1) Rozhodněte, mezi kterými veličinami platí vztah přímé úměrnosti, nebo nepřímé úměrnosti. Pokuste se vysledovat i podstatu jiné závislosti. a) Doba, po kterou svítí žárovka, a cena za spotřebovanou elektrickou energii. b) Obsah čtverce a délka jeho strany. jiná závislost, S = a c) Délka dráhy, kterou ujede auto v daném čase, a jeho rychlost. d) Objem krychle a délka její hrany. jiná závislost, V = a e) Rychlost cyklisty a čas potřebný k překonání dané vzdálenosti. ne f) Stáří člověka a jeho hmotnost. jiná závislost ) Pokladní vybrala za vstup na krytý plavecký stadión 944 Kč od 118 osob. Kolik vybere, bude-li stadión plně obsazen? (Kapacita je 190 osob.) 118 osob 944 Kč 190 osob. x Kč 190 x Jedná se o přímou úměrnost a platí: x Pokladní vybere 150 Kč. 1 ) Skupina instalatérů v počtu šesti členů je hotova s danou prací za dne. Za jak dlouho bude s touž prací hotovo sedm stejně výkonných instalatérů?

2 1 6 instalatérů. dne 7 instalatérů.. x dnů Jedná se o nepřímou úměrnost a platí 6 x x 7 Sedm instalatérů bude s prací hotovo za dny. Řešené příklady: Poměr 1) Obdélníkový pozemek má na plánu rozměry,4 cm a,6 cm. a) Zmenšete je v poměru : b) zvětšete je v poměru 5 : a),4 0,8 1, 6,6 1,,4 Zmenšené rozměry jsou 1, cm a 1,6 cm. 5 b),4 0, ,6 1, 5 6 Zvětšené rozměry jsou cm a 4 cm. ) Na mapě zhotovené v měřítku 1 : je vzdušná vzdálenost dvou měst,5 cm. Jaká je skutečná vzdušná vzdálenost těchto měst? Měřítko znamená: 1cm na mapě odpovídá cm ve skutečnosti. Tedy:, Skutečná vzdušná vzdálenost těchto měst je 875 m. ) Kláda délky 145 cm byla rozřezána na kusy, jejichž délky jsou v poměru 1 : 9 : 8. Vypočítejte délky jednotlivých kusů. 1 díl. 145 : ( ) = 5 1. kus: kus: kus: Délky jednotlivých kusů jsou 60 cm, 45 cm a 40 cm.

3 Další řešené příklady: 1) Čerpadlem o výkonu 5 l/s se nádrž naplní za 1 h 1 min. Za jakou dobu se nádrž naplní čerpadlem o výkonu 10 l/s? 5 l/s 1, h 10 l/s , : 10 = h (ne) Čerpadlem o výkonu 10 l/s se nádrž naplní za hodiny. ) Z nádrže vyteče 10 hl vody 4 rourami za 6 hodin. Kolik vody vyteče 5 rourami se stejným průměrem za 14 hodin? 6 hod.. 10 hl 4 roury hod 14.10:6=80 hl 5 rour :4=50 hl (x ) Pěti rourami vyteče za 14 hodin 50 hl vody. ) V sudu je 80 l vody. Voda sahá do výšky 45 cm. Kolik litrů vody bude v sudu, bude-li voda sahat do výšky 7 cm? 45 cm 80 l 7 cm 80.7:45= 18 l V sudu bude 18 litrů vody. 4) Měřítko mapy je 1 : Kolik kilometrů je dlouhá ve skutečnosti cesta, která je na mapě dlouhá 4,7 cm? 1 cm na mapě cm ve skutečnosti 4,7 cm cm = 4,7 km ve skutečnosti Ve skutečnosti je cesta dlouhá 4,7 km. 5) Zvuk se šíří rychlostí 0 m/s. Sestavte tabulku závislosti vzdálenosti, kterou zvuk urazí za daný čas (pro 1 až 10 s, po jedné sekundě). Napište rovnici příslušné závislosti. t (s) s (m) rovnice: s = 0. t 6) Mostní pilíř je zčásti zapuštěn do země, část je pod vodou a nad vodou vyčnívá 55 cm. Délka části nad vodou k délce části ve vodě je v poměru 1 :. Délka části nad vodou k délce části zapuštěné v zemi je v poměru 5 : 7. Určete délku pilíře. část ve vodě.. x 1: = 55:x 5:7 = 55:y část v zemi. y x =.55 = 110 y = 7.55 = 77 Délka pilíře: = 4 cm. 7) Tři dělníci vyhloubí příkop za 8 dní. Za jak dlouho vykoná tuto práci 6 dělníků? dělníci 8 dní 6 dělníků 8.:6 = 4 (ne) Šest dělníků vykoná tuto práci na 4 dny. 8) Z řepy uložené na hromadě se ztrácí denně 16 g cukru na každých 100kg řepy. a) Kolik kilogramů cukru se ztratilo z hromady 8 tun cukrové řepy, když byla odvezena až za 8 dní? b) Ztrátu cukru vyjádřete v korunách, jestliže 1 kg cukru stojí 18 Kč. a) 1 den: 100 kg řepy.. 16 g cukru 8 t = kg : 100 = g = 5,48 kg Za 8 dní se ztratilo 419,84 kg cukru. b) ,84 = 7557,1 Ztráta cukru činí asi 7557 Kč. 9) 10 dlaždičů mělo předláždit vozovku ulice za pracovních dní. Po čtyřech dnech byli pro urychlení práce doplněni o další dva stejně výkonné dlaždiče. a) Za kolik pracovních dnů dokončí nyní předláždění vozovky?

4 b) Kolik pracovních dnů celkem trvalo předláždění vozovky? a) 10 dlaždičů. 4 = 18 dní 1 dlaždičů : 1 = 15 Nyní dokončí předláždění vozovky za 15 dní. b) = 19 Předláždění vozovky trvalo celkem 19 dní. 1) Půl litru vody naplní hrnec do 6 1 jeho objemu. a) Kolik litrů vody je třeba k tomu, aby byl hrnec naplněn do svého objemu? b) Vypočítejte objem hrnce. 1 1 a) l... objemu 6 x l objemu jedná se o přímou úměrnost: 1 1 x = 6 Je potřeba litry vody. b) 1 l 6 1 objemu 1 x : 1 : 6 x l. 1 objem jedná se opět o přímou úměrnost: x = Hrnec má objem litry. 1 1 x : 1: 6 ) Pan Donát vozí nákladním autem cihly na stavbu zdravotního střediska. Kdyby jel denně třikrát, navozil by požadované množství cihel za 8 dní. Kolikrát denně by musel jet, aby byl s navážením cihel hotov o dny dříve? krát. 8 dní xkrát. 6 dní jedná se o nepřímou úměrnost, proto: x : = 8 : 6 x = 8.:6 = 4 Aby byl hotov o dny dříve, musel by jet 4krát. ) Výkony dvou bagrů jsou v poměru 5 : 4. Méně výkonný bagr vybagruje zeminu pro stavbu za 10 hodin. Jak dlouho by toto bagrování trvalo výkonnějšímu bagru? Jedná se o nepřímou úměrnost výkonnější bagr musí pracovat kratší dobu. Méně výkonný bagr odpovídá 4 dílkům. Z toho 1 díl je 10.4 = 40 Druhý bagr: 40:5 = 8 Výkonnější bagr bude pracovat 8 hodin. 4) Vzdušná vzdálenost mezi dvěma chatami na témže břehu jezera se rovná,7 km. Na mapě je tato vzdálenost vyjádřena úsečkou délky 6 mm. Určete měřítko mapy. Musíme si uvědomit, co znamená měřítko mapy: (1 cm na mapě odpovídá x cm ve skutečnosti). Dané rozměry tedy musíme vyjádřit v cm.

5 ,6 cm cm 1 cm cm Měřítko mapy je tedy 1 : ) V trojúhelníku ABC se velikost vnějšího úhlu při vrcholu C rovná 16. Velikost vnitřních úhlů α, β při vrcholech A, B jsou v poměru 5:9. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů α, β, γ v trojúhelníku ABC. α : β = 5 : 9 (5:9)β +β + 16 = 180 α = (5 : 9). β 5 β + β = 486 α = 45 β = 81 Velikosti vnitřních úhlů jsou 45,81 a 16. 6) Jirka se rozhodl, že výhru ze sázky ve Velké pardubické rozdělí mezi sebe a tři své mladší bratry podle věku v poměru : : 5 : 7. Každá částka byla vyplacena v celých korunách. Jedna z částek činila 679 Kč. a) Kolik korun dostal každý z bratrů? b) Jak velká byla Jirkova výhra? Musíme zjistit, kterému číslu v daném poměru odpovídá částka 679 Kč. Protože částka byla vyplacena v celých korunách, zjistíme kterým z čísel,, 5, 7 je číslo 679 dělitelné. Číslo 679 je dělitelné pouze 7, z toho zjistíme 1 díl: 679 : 7 = 97, pak dopočítáme dále:. 97 = = = 485 Jirka dostal 679 Kč, mladší bratři postupně 194 Kč, 91 Kč a 485 Kč. Celková výhra byla 1649 Kč.