CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256. Výsledek zapište jako číslo nebo zjednodušený výraz s proměnnou x. 2 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Vypočítejte vzdálenost obrazů čísel 4,2 a 5,8. Zapište v mm. 1 bod 3 V trojúhelníku ABC jsou dány strany b = 4 cm, c = 5 cm a obvod o = 12 cm. Vypočítejte velikost nejmenšího vnitřního úhlu trojúhelníku. Výsledek zapište ve stupních, zaokrouhlete na desetiny. 4 Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = 2 (x + 3) 2 + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. 5 Učitel přinesl na hodinu dva dřevěné modely kuželů, které byly vyrobeny ze stejného druhu dřeva. První model vážil 800 gramů. Druhý model měl dvojnásobný poloměr podstavy, ale poloviční výšku. Určete hmotnost druhého kuželu v gramech. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 V kolmém trojbokém hranolu tvoří podstavu pravoúhlý trojúhelník s přeponou o délce 10 dm a jednou odvěsnou o délce 6 dm. Objem hranolu je 960 dm Vypočítejte obsah podstavy. 6.2 Vypočítejte výšku hranolu. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jirka začal o prázdninách trénovat kliky. První měřený výkon z 1. července 2012 byl 24 kliků. Naplánoval si, že se každý den zlepší o 3 kliky. 2 Maturita z matematiky ZD

3 7 7.1 Kolik kliků musel podle plánu udělat 21. července 2012? 7.2 Kdy překročil poprvé hranici 100 kliků? (Uveďte datum.) max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Z plné 100hl nádrže A přečerpáváme kapalinu do nádrže B o objemu 150 hl, která na začátku měření času obsahuje 40 hl kapaliny. Každou minutu přeteče 5 hl kapaliny. max. 4 body Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži A na čase t (v min). 8.2 Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži B na čase t (v min). 8.3 Za kolik minut bude v obou nádržích stejný objem kapaliny? 8.4 Za kolik minut se vyprázdní nádrž A? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 9 10 V turnaji, ve kterém každý tým sehrál s každým po jednom utkání, mělo být podle rozpisu sehráno celkem 28 zápasů. Těsně před turnajem však jeden tým účast odřekl. Pořadatelé plánovali výtěžek za vstupenky po Kč za jeden zápas. Náklady na účast jednoho družstva činily Kč. 9 Kolik plánovaných zápasů muselo být zrušeno? 10 Vypočítejte plánovaný zisk pořadatelů (před odřeknutím startu jednoho týmu). 11 Je dána kvadratická rovnice x 2 5x 6 = 0 s neznámou x R. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Diskriminant dané rovnice je menší než Součet kořenů rovnice je roven číslu Součin kořenů rovnice je roven číslu Rovnice má právě jedno řešení. Maturita z matematiky ZD 3

4 12 Hyperbola, která je grafem funkce y = k x, prochází bodem Q [ 1 2 ; 4 5 ]. 2 body Kterým z následujících bodů tato hyperbola neprochází? A) K [ 1 2 ; 4 5 ] B) L [1; 0,4] C) M [2; 1 5 ] D) N [ 1 4 ; 6 5 ] E) P [ 1; 2 5 ] 2 body 13 Chceme sestrojit pravoúhlé trojúhelníky, ve kterých je délka přepony rovna součtu délek odvěsen. Kolik takových pravoúhlých trojúhelníků lze sestrojit? A) 0 B) 1 C) 2 D) 17 E) nekonečně mnoho 2 body 14 V rovině jsou dány body A [ 2; 4], B [4; 0]. Určete obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem B a je kolmá k přímce AB. Která z následujících rovnic (A F) je obecnou rovnicí přímky p? A) 2x + 3y + 8 = 0 B) 2x + 3y 8 = 0 C) 3x 2y 12 = 0 D) 3x 2y + 12 = 0 E) 2x 3y 8 = 0 max. 4 body 4 Maturita z matematiky ZD

5 15 Ke grafům funkcí na obrázcích přiřaďte zadání těchto funkcí rovnicí A F A) y = x + 2 B) y = x 2 C) y = 2x + 2 D) y = 2x 2 E) y = x + 2 F) y = x 2 KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256. Výsledek zapište jako číslo nebo zjednodušený výraz s proměnnou x. Podle zadání zapíšeme hledaný výraz s proměnnou x: (x + 256) (x 256) = x x = 512. Výsledek je nezávislý na hodnotě proměnné x. Řešení: Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Vypočítejte vzdálenost obrazů čísel 4,2 a 5,8. Zapište v mm. Vzdálenost čísel obrazů čísel 0 a 1 na číselné ose označíme jako jednotkovou vzdálenost. Vzdálenost mezi obrazy čísel 4,2 a 5,8 je rovna 5,8 + 4,2 = 10 jednotkových vzdáleností. V milimetrech je vzdálenost obrazů čísel rovna 10 5 mm = 50 mm. 1 bod Řešení: 50 mm 3 V trojúhelníku ABC jsou dány strany b = 4 cm, c = 5 cm a obvod o = 12 cm. Vypočítejte velikost nejmenšího vnitřního úhlu trojúhelníku. Výsledek zapište ve stupních, zaokrouhlete na desetiny. Nejdříve vypočítáme třetí stranu trojúhelníku: a = 12 (4 + 5) = 3 cm. Trojúhelník se stranami těchto délek (3 cm, 4 cm, 5 cm) je pravoúhlý. Můžeme se o tom přesvědčit dosazením do vzorce pro Pythagorovu větu a 2 + b 2 = c 2. Platí = 5 2. Nejmenší úhel α leží proti nejmenší straně a. Velikost úhlu vypočítáme např. pomocí funkce tangens, což je poměr délky protilehlé odvěsny a a přilehlé odvěsny b. 6 Maturita z matematiky ZD

7 a tg α = = 3 b 4 α = 36,9 Pokud si nevšimneme, že trojúhelník je pravoúhlý, řešíme využitím kosinové věty. Nejmenší vnitřní úhel měří 36,9. Řešení: 36,9 4 Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = 2 (x + 3) 2 + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. Výraz (x + 3) 2 je nezáporný (to znamená kladný nebo rovný nule). Nule se rovná jen pro x = 3. Pro ostatní hodnoty je kladný. Proto je výraz 2 (x + 3) 2 záporný nebo rovný nule. Maximální hodnota tohoto výrazu je rovna nule. K nule pak již jen přičteme číslo 7. Výraz f(x) = 2 (x + 3) má maximum rovné = 7. Výraz nabývá maximální hodnoty 7. Řešení: 7 5 Učitel přinesl na hodinu dva dřevěné modely kuželů, které byly vyrobeny ze stejného druhu dřeva. První model vážil 800 gramů. Druhý model měl dvojnásobný poloměr podstavy, ale poloviční výšku. Určete hmotnost druhého kuželu v gramech. První kužel s poloměrem r a výškou v má objem V 1 = 1 3 πr 2 v. Druhý kužel s dvojnásobným poloměrem a poloviční výškou má objem V 2 = 1 3 π (2r) 2 v 2 = 1 3 π 4r 2 v 2 = πr 2 v = 2 V 1. Bez využití proměnných lze vyvodit, že objem roste s druhou mocninou poloměru a s první mocninou výšky. Proto stačí vypočítat, kolikrát má druhý kužel větší objem než první takto: = 2. Protože se zdvojnásobí objem, zdvojnásobí se také hmotnost. Hmotnost druhého kuželu je gramů. Řešení: gramů Maturita z matematiky ZD 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 V kolmém trojbokém hranolu tvoří podstavu pravoúhlý trojúhelník s přeponou o délce 10 dm a jednou odvěsnou o délce 6 dm. Objem hranolu je 960 dm Vypočítejte obsah podstavy. max. 3 body Podle Pythagorovy věty vypočítáme délku druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku s přeponou c: a 2 + b 2 = c 2. Je-li a = 6 dm, c = 10 dm, pak platí b 2 = Z toho b 2 = , b = = 8 dm. Obsah podstavy vypočítáme jako součin délek odvěsen dělený dvěma: S = ab = 6 8 = 24 dm Obsah podstavy je 24 dm 2. Řešení: 24 dm Vypočítejte výšku hranolu. Pro výpočet výšky dosadíme do vzorce pro objem hranolu V = S P v. Platí 960 = 24 v. Výška v = 960 = 40 dm. Výška hranolu je 40 dm. 24 Řešení: 40 dm VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jirka začal o prázdninách trénovat kliky. První měřený výkon z 1. července 2012 byl 24 kliků. Naplánoval si, že se každý den zlepší o 3 kliky Kolik kliků musel podle plánu udělat 21. července 2012? max. 3 body Výkony v jednotlivých dnech tvoří aritmetickou posloupnost. První člen a 1 = 24, diference d = 3. Vypočítáme 21. člen podle vzorce: a n = a 1 + (n 1) d. a 21 = = 84 Jirka udělal 84 kliků. Řešení: 84 kliků 8 Maturita z matematiky ZD

9 7.2 Kdy překročil poprvé hranici 100 kliků? (Uveďte datum.) Údaj zjistíme řešením nerovnice a n > 100. Dosadíme do vzorce pro n-tý člen aritmetické posloupnosti a n = a 1 + (n 1) d (n 1) 3 > n 3 > 100 3n > 79 n > 26,3 Zaokrouhlíme nahoru na 27. Zkontrolujeme výpočtem 27. členu: a 27 = = 101, naopak 26. člen je roven 98, tedy menší než 100. Řešení: 27. července 2012 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Z plné 100hl nádrže A přečerpáváme kapalinu do nádrže B o objemu 150 hl, která na začátku měření času obsahuje 40 hl kapaliny. Každou minutu přeteče 5 hl kapaliny. max. 4 body Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži A na čase t (v min). Od 100 hl odečítáme každou minutu po 5 hl kapaliny. V čase t je v nádrži A (100 5t) hl kapaliny. V = 100 5t. Pro dobu čerpání platí 100 5t 0. Po úpravě t 20. Závislost vyjádříme rovnicí V = 100 5t pro t 0; 20. Řešení: V = 100 5t 8.2 Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži B na čase t (v min). K 40 hl kapaliny, které v nádrži jsou, přičítáme každou minutu po 5 hl kapaliny. V čase t je v nádrži B (40 + 5t) hl kapaliny. Závislost vyjádříme rovnicí V = t pro t 0; 20. Po 20 minutách bude nádrž A prázdná a v nádrži B bude 140 hl kapaliny. Řešení: V = t Maturita z matematiky ZD 9

10 8.3 Za kolik minut bude v obou nádržích stejný objem kapaliny? Řešíme rovnici 100 5t = t. 60 = 10t t = 6 Po 6 minutách bude v obou nádržích po 70 litrech. Řešení: 6 minut 8.4 Za kolik minut se vyprázdní nádrž A? Dobu vypočítáme t = 100 : 5 = 20 min. Řešení: 20 minut VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 9 10 V turnaji, ve kterém každý tým sehrál s každým po jednom utkání, mělo být podle rozpisu sehráno celkem 28 zápasů. Těsně před turnajem však jeden tým účast odřekl. Pořadatelé plánovali výtěžek za vstupenky po Kč za jeden zápas. Náklady na účast jednoho družstva činily Kč. 9 Kolik plánovaných zápasů muselo být zrušeno? Počet zápasů v turnaji s n týmy vypočítáme jako počet dvojčlenných kombinací z n prvků : n(n 1) K (2, n) =. 2 n(n 1) Řešíme rovnici = 28. Po úpravě na tvar n(n 1) = 56 můžeme kladné ře- 2 šení odhadnout jako součin dvou po sobě následujících přirozených čísel nebo řešit jako kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu. Řešení v oboru přirozených čísel vychází jediné: n = 8. Jestliže 1 tým z 8 týmů odřekl, muselo být zrušeno 7 utkání (má 7 soupeřů). Řešení: 7 utkání 10 Maturita z matematiky ZD

11 10 Vypočítejte plánovaný zisk pořadatelů (před odřeknutím startu jednoho týmu). Ze vstupenek plánovali získat = Kč, výdaje za týmy = Kč. Zisk = Kč. Řešení: Kč 11 Je dána kvadratická rovnice x 2 5x 6 = 0 s neznámou x R. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Diskriminant dané rovnice je menší než Součet kořenů rovnice je roven číslu Součin kořenů rovnice je roven číslu Rovnice má právě jedno řešení. Diskriminant D = 25 4 ( 6) = 49 je menší než 50. První tvrzení platí. Součet kořenů je v rovnici x 2 + px + q = 0 roven číslu p. V této rovnici p = 5. Druhé tvrzení platí. Součin kořenů je v rovnici x 2 + px + q = 0 roven číslu q. V této rovnici je q = 6. Třetí tvrzení neplatí. Rovnice má dva reálné kořeny, protože má kladný diskriminant. Čtvrté tvrzení neplatí. Řešení: ANO, ANO, NE, NE 12 Hyperbola, která je grafem funkce y = k x, prochází bodem Q [ 1 2 ; 4 5 ]. 2 body Kterým z následujících bodů tato hyperbola neprochází? A) K [ 1 ; ] B) L [1; 0,4] C) M [2; 1 5 ] D) N [ 1 4 ; 6 5 ] E) P [ 1; 2 5 ] Maturita z matematiky ZD 11

12 Pro koeficient nepřímé úměrnosti platí k = xy. Koeficient vypočítáme pomocí souřadnic bodu Q. k = 1 4 = 2. Pouze v alternativě D je součin jiný: 1 6 = Řešení: D 2 body 13 Chceme sestrojit pravoúhlé trojúhelníky, ve kterých je délka přepony rovna součtu délek odvěsen. Kolik takových pravoúhlých trojúhelníků lze sestrojit? A) 0 B) 1 C) 2 D) 17 E) nekonečně mnoho V trojúhelníku není splněna trojúhelníková nerovnost. V každém trojúhelníku je součet délek dvou stran větší než délka třetí strany. Žádný trojúhelník, který splňuje zadání, neexistuje. Řešení: A 2 body 14 V rovině jsou dány body A [ 2; 4], B [4; 0]. Určete obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem B a je kolmá k přímce AB. Která z následujících rovnic (A F) je obecnou rovnicí přímky p? A) 2x + 3y + 8 = 0 B) 2x + 3y 8 = 0 C) 3x 2y 12 = 0 D) 3x 2y + 12 = 0 E) 2x 3y 8 = 0 Za normálový vektor n přímky p lze zvolit vektor AB, který je k přímce p kolmý. Platí n = B A = (6; 4). Souřadnice normálového vektoru dosadíme do obecné rovnice přímky ax + by + c = 0. Dostaneme rovnici 6x 4y + c = 0. Pro určení koeficientu c dosadíme za proměnné souřadnice bodu B, kterým přímka prochází: c = 0. Vyřešíme rovnici: c = 24. Zapíšeme analytické vyjádření (obecnou rovnici) přímky p: 6x 4y 24 = 0. Vidíme, že tuto možnost v nabídce A E nemáme. Stačí však dělit obě strany rovnice číslem 2 a dostáváme možnost C: 3x 2y 12 = 0. Řešení: C 12 Maturita z matematiky ZD

13 max. 4 body 15 Ke grafům funkcí na obrázcích přiřaďte zadání těchto funkcí rovnicí A F A) y = x + 2 B) y = x 2 C) y = 2x + 2 D) y = 2x 2 E) y = x + 2 F) y = x 2 Maturita z matematiky ZD 13

14 15.1 Přímka je grafem lineární funkce, kterou zapíšeme ve tvaru y = kx + q. Koeficient q udává y-ovou souřadnici průsečíku přímky s osou y. Pro tento graf q = 2. Pro určení koeficientu k dosadíme za proměnné souřadnice průsečíku přímky s osou x. To je bod o souřadnicích x = 2, y = 0. Vychází rovnice 0 = k ( 2) + 2. Z toho k = 1. Výsledná rovnice k tomuto grafu je y = x + 2, což je možnost A. Pro rychlejší řešení stačí vybírat jen z nabídek, ve kterých je q = 2, což je A, E. Funkce je podle grafu rostoucí, proto musí mít koeficient k kladný. Tomu odpovídá možnost A. Řešení: A 15.2 Uvedeme jen rychlé řešení: V tomto případě je q = 2. Tomu odpovídají možnosti B, F. Funkce je podle grafu klesající, proto musí mít koeficient k záporný. Tomu odpovídá možnost F. Řešení: F 15.3 Uvedeme jen rychlé řešení: V tomto případě je q = 2. Tomu odpovídají možnosti B, F. Funkce je podle grafu rostoucí, proto musí mít koeficient k kladný. Tomu odpovídá možnost B. Řešení: B 15.4 Uvedeme jen rychlé řešení: V tomto případě je q = 2. Tomu odpovídají možnosti A, E. Funkce je podle grafu klesající, proto musí mít koeficient k záporný. Tomu odpovídá možnost E. Řešení: E KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky ZD

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů mm 1 bod 3 α 36, gramů dm dm 1 bod bod července V = 100 5t 1 bod 8.2 V = t 1 bod minut 1 bod minut 1 bod 9 7 utkání Kč ANO 11.2 ANO 11.3 NE 11.4 NE 12 D 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 15

16 13 A 2 body 14 C 2 body A 15.2 F 15.3 B 15.4 E max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky ZD

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod bod bod bod bod body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 17

18 13 2 body 14 2 body max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD