Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Martina Smolinková Datum 11. 1. 2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika Tematický okruh Tělesa Téma Povrch a objem těles jehlan, kužel, koule ve slovních úlohách Metodický list/anotace Slouží k procvičení aplikace vzorců pro povrch a objem těles ve slovních úlohách Typ DUMu Pracovní list Jazyk čeština Očekávaný výstup Žák zvládne rozhodnout o zvolení správného vzorce, dosazení, případnou úpravu jednotek, dodržení postupu při řešení slovní úlohy Speciální vzdělávací žádné potřeby Cílová skupina Žák 9. ročníku Stupeň a typ Základní vzdělávání druhý stupeň vzdělávání Typická věková 15 16 let skupina
Jehlan - těleso s jednou podstavou, ta může mít tvar trojúhelníka, čtyřúhelníka a jiných mnohoúhelníků - plášť je tvořen trojúhelníky se společným vrcholem, jejich počet odpovídá podstavě - zaměříme se na pravidelný čtyřboký jehlan jeho podstavou je čtverec Síť jehlanu vt vs a : a a a 2 a vs POVRCH JEHLANU S = Sp + Spl S = S + 4S S = a 2 + 4 * a v s 2 V = 1 3 Sp * v t V = 1 3 a2 * v t OBJEM JEHLANU S Sp Spl vt vs povrch tělesa obsah podstavy obsah pláště výška tělesa stěnová výška vs 2 = vt 2 + ( a 2 )2
Př: Vypočítej spotřebu plechu na výrobu otevřené násypky ve tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o rozměru podstavy 5 cm a výšce tělesa 8 cm. 8 cm vs : 2,5 cm 5 cm a = 5 cm vt = 8 cm Spl =? cm 2 BEZ PODSTAVY! 5 cm Spl = 4 * a v s 2 Spl = 4 * 5 8,4 2 Spl = 84 cm 2 vs 2 = vt 2 + ( a 2 )2 vs 2 = 8 2 + 2,5 2 vs 2 = 64 + 6,25 vs = 70,25 vs = asi 8,4 cm Bude potřeba 84 cm 2 plechu. Př: Vypočítej objem násypky z předchozí úlohy. V = 1 3 a2 * vt V = 1 3 52 * 8 V = 1 3 * 200 V = asi 66,7 cm 3 Objem násypky je přibližně 66,7 cm 3.
Kužel - těleso s jednou podstavou a tou je kruh v s r r POVRCH KUŽELE S = Sp + Spl S = πr 2 + πrs S = πr(r + s) V = 1 3 πr2 v s 2 = v 2 + r 2 OBJEM KUŽELE S Sp Spl V r 2r = d s povrch kužele obsah podstavy obsah pláště objem kužele poloměr podstavy průměr podstavy strana kužele
Př: Hradní věž tvaru kužele potřebuje novou krytinu. Průměr věže je 3 m, výška střechy je 2,5 m. Urči, kolik celých m 2 krytiny bude potřeba. 2,5 s r 1,5 m d = 3 m r = 1,5 m v = 2,5 m S =? m 2 BEZ PODSTAVY! S = πrs s 2 = v 2 + r 2 S = 3,14 * 1,5 * 2,9 s 2 = 2,5 2 + 1,5 2 S = asi 13,7 m 2 s 2 = 6,25 + 2,25 s = 8,5 s = asi 2,9 m Bude potřeba 14 m 2 krytiny. Př: Kornoutek na zmrzlinu má tvaru kužele. Průměr kornoutku je 5 cm, výška 14 cm. Kolik ml zmrzliny si koupíme, když víme, že prostor kornoutu přesahuje 50 ml zmrzliny? (zaokrouhli na desítky ml) 2,5 cm 14 cm d = 5 cm r = 2,5 cm v = 14 cm mimo kornout 50 ml celkem? ml zmrzliny V = 1 3 πr2 v V = 1 3 3,14*2,52 *14 V = asi 91,6 cm 3 Koupíme si přibližně 140 ml zmrzliny. 91,6 + 50 = 141,6 cm 3 (ml)
Koule S = 4πr 2 POVRCH KOULE V = 4 3 πr3 OBJEM KOULE Další užitečný vztah pro tělesa: m = V * ρ m hmotnost ρ hustota V objem Př: Urči, kolik m 2 plochy poskytuje reklamní balon tvaru koule o průměru 140 cm. Zaokrouhli na celé m 2. d = 140 cm r = 70 cm = 0,7 m S =? m 2 S = 4πr 2 S = 4 * 3,14 * 0,7 2 S = asi 6,2 m 2 Plocha reklamního balonu je přibližně 6 m 2. Př: Urči hmotnost skleněné koule o průměru 5 cm, je-li hustota skla asi 2 500 kg/m 3. d = 5 cm r = 2,5 cm = 0,025 m ρ = 2 500 kg/m 3 m =? kg m = V * ρ m = 0,00262 * 2 500 m = 6,55 kg V = 4 3 πr3 V = 4 * 3,14 * 0,0253 3 V = asi 0,00262 m 3 Hmotnost koule je 6,55 kg.
JEHLAN 1) Střecha věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu potřebuje opravit. Urči spotřebu materiálu, je-li: (zaokrouhluj na 1 desetinné místo) A a = 3 m B a = 4 m vt = 3 m vt = 3 m 2) Urči spotřebu materiálu na výrobu přístřešku tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu i s podstavou. Přidej A 20% navíc B 15% navíc a = 4,4 m a = 5,2 m vt = 2,1 m vt = 2,2 m Konečný výsledek zaokrouhli na jednotky m 2. 3) Urči v litrech objem násypky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu: A a = 1,8 m B a = 2,1 m vt = 150 cm vt = 130 cm 4) Urči hmotnost betonového prvku v zahradě. Prvek má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu. A a = 40 cm B a = 35 cm vt = 80 cm ρbeton = 1 800 kg/m 3 vt = 50 cm
KUŽEL 1) Kolik papíru je potřeba na výrobu klaunovské čepice tvaru kužele? A d = 15 cm B d = 18 cm vt = 45 cm vt = 52 cm Výsledek zaokrouhli na desetiny m 2. 2) Je potřeba dvakrát natřít 8 kuželů. Kolik kg barvy potřebujeme, jestliže 1 kg barvy vystačí na 6 m 2 plochy? A d = 1 m B d = 1,2 m vt = 80 cm vt = 90 cm 3) Kolik ml je porce zmrzliny, jestliže A mimo kornoutek přečnívá 45% zmrzliny? B mimo kornoutek přečnívá 35% zmrzliny? d = 5 cm d = 5 cm vt = 1,2 dm vt = 1,4 dm Výsledek zaokrouhli na jednotky ml. 4) Urči objem násypky tvaru kužele. A d = 16 cm B d = 12 cm vt = 10 cm vt = 15 cm Výsledek uveď v jednotkách ml. 5) Kolik m 3 písku je na hromadě tvaru kužele? A d = 2,4 m B d = 3,2 m vt = 150 cm vt = 140 cm Výsledek zaokrouhli na 1 desetinné místo.
KOULE 1) Kolik m 2 papíru se spotřebovalo na stínítko tvaru koule? A d = 110 cm B d = 80 cm Výsledek zaokrouhli na 1 desetinné místo. 2) Vypočítej, kolik m 2 zabírá reklama, jestliže z kulové plochy zabírá A 65 % B 72% d = 150 cm d = 180 cm Výsledek zaokrouhli na 1 desetinné místo. 3) Kolik litrů vody je v akváriu tvaru koule? A d = 50 cm B d = 30 cm Výsledek zaokrouhli na jednotky litru. 4) Kolik hl vody je ve vodojemu tvaru koule, je-li zaplněný A ze čtyř pětin objemu? B z pěti šestin objemu? r = 180 cm r = 210 cm Výsledek zaokrouhli na jednotky hektolitru. 5) Urči hmotnost koule. A d = 16 cm B d = 24 cm ρocel = 7 850 kg/m 3 ρkorek = 200 kg/m 3 Výsledek zaokrouhli na desetiny kilogramu.
Výsledky: JEHLAN 1A) vs = 3,4 m, S = 20,4 m 1B) vs= 3,6 m, S = 28,8 m 2 2A) 65 m 2 2B) 72 m 2 3A) 1 600 l 3B) 1 900 l 4A) 77 kg 4B) 36 kg KUŽEL 1A) 0,8 m 2 1B) 1,3 m 2 2A) 1 kužel 0,628 m 2 8 kuželů dvakrát 10 m 2 Potřebujeme 2 kg barvy. 2B) 1 kužel 1,017 m 2 8 kuželů dvakrát 16,3 m 2 Potřebujeme 3 kg barvy. 3A) asi 143 ml 3B) asi 141 ml 4A) 670 ml 4B) 565 ml 5A) 2,3 m 3 5B) 3,8 m 3 KOULE 1A) 3,8 m 2 1B) 2 m 2 2A) 4,6 m 2 2B) 7,3 m 2 3A) 65 l 3B) 14 l 4A) 195 hl 4B) 323 hl 5A) 16,8 kg 5B) 1,4 kg