ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE PRAHA 2014 Bc. Magda BENDOVÁ 1

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ZHODNOCENÍ ETAPOVÝCH MĚŘENÍ POSUNŮ A PŘETVOŘENÍ NOSNÝCH KONSTRUKCÍ KATEDRÁLY SV. VÍTA NA PRAŽSKÉM HRADĚ Vedoucí práce: Doc. Ing. Jaromír PROCHÁZKA, CSc. Katedra speciální geodézie leden 2014 Bc. Magda BENDOVÁ 2

Abstrakt ABSTRAKT Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů v katedrále sv. Víta, vyhodnocením přesnosti měřených veličin, výpočtem a zhodnocením přesnosti náklonů. Součástí vyhodnocení je zkoumání vlivu času a teploty na náklony. KLÍČOVÁ SLOVA Katedrála sv. Víta Svislý posun Vodorovný náklon Etapové měření Přesnost Přesná nivelace Trigonometrická metoda ABSTRACT This thesis describes monitoring of horizontal tilts and vertical displacements in St. Vitus Cathedral, assessing the accuracy of measured values, calculation and evaluation of the accuracy of the displacements. Part of evaluation is to examine the influence of time and temperature on tilt. KEYWORDS St. Vitus Cathedral vertical displacements horizontal tilts stage measurement precision precise levelling trigonometrical method

Prohlášení PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že diplomovou práci na téma Zhodnocení etapových měření posunů a přetvoření nosných konstrukcí katedrály sv. Víta na Pražském hradě jsem vypracovala samostatně pouze za odborného vedení vedoucího práce pana doc. Ing. Jaromíra Procházky, CSc. a s použitím podkladů uvedených v seznamu použité literatury. V Praze dne Bc. Magda Bendová

Poděkování PODĚKOVÁNÍ Chtěla bych poděkovat vedoucímu práce Doc. Ing. Jaromíru Procházkovi, CSc. za jeho odborné vedení, poskytnutí cenných rad a připomínek v průběhu zpracování této práce a hlavně za jeho trpělivost a čas, který mi věnoval.

Obsah OBSAH 1. Úvod... 8 2. Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha... 9 2.1 Historie katedrály sv. Víta... 9 3. Cíle diplomové práce... 12 4. Trigonometrické měření... 13 4.1 Použitá metoda... 13 4.2 Přístroje a pomůcky použité při měření... 14 4.3 Stanoviska a měřené body... 16 4.4 Zhodnocení přesnosti měřených veličin... 18 4.4.1 Apriorní přesnost vodorovných směrů - etapy 20 až 28... 18 4.4.2 Apriorní přesnost vodorovných směrů - etapy 29 a 30... 20 4.4.3 Apriorní přesnost vodorovných úhlů - etapy 20 až 28... 21 4.4.4 Apriorní přesnost vodorovných úhlů - etapy 29 a 30... 22 4.4.5 Apriorní přesnost zenitových úhlů - etapy 20 až 28... 23 4.4.6 Apriorní přesnost zenitových úhlů - etapy 29 a 30... 23 4.4.7 Přesnosti při měření vodorovných úhlů... 24 4.4.8 Přesnosti při měření zenitových úhlů... 25 4.4.9 Aposteriorní přesnosti vodorovných úhlů... 25 4.4.10 Aposteriorní přesnosti zenitových úhlů... 26 4.5 Výpočet posunů... 27 4.5.1. Výpočet náklonů... 28 4.5.2 Výpočet změn rozpětí... 29 4.5.3 Výpočet změn převýšení... 31 4.6 Přesnosti veličin určujících posuny... 33 4.6.1 Přesnost náklonů... 33 4.6.2 Přesnost změn rozpětí... 35 4.6.3 Přesnost změn převýšení... 39 4.7 Vyhodnocení posunů... 45 4.7.1 Vyhodnocení náklonů... 45 4.7.2 Vyhodnocení změn rozpětí... 47 4.7.3 Vyhodnocení změn převýšení... 49 5 Přesná nivelace... 53 5.1 Použitá metoda... 53

Obsah 5.1.1 Chyba z nekolmosti patky nivelační latě... 54 5.1.2 Chyba z nevodorovnosti záměrné přímky... 55 5.2 Přístroje a pomůcky použité při měření... 56 5.3 Měřené body... 56 5.4 Zhodnocení přesnosti měřených veličin... 57 5.4.1 Apriorní přesnost měřeného převýšení... 57 5.4.2 Rozbor přesnosti při měření převýšení... 59 5.4.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení... 59 5.5 Výpočet převýšení určeného přesnou nivelací... 61 5.5.1 Změny výšek pozorovaných bodů... 64 5.5.2 Změna převýšení mezi proti sobě ležícími body na sloupech severní a jižní strany... 65 5.5.3 Změna převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu na severní a jiní stěně... 67 5.6 Přesnosti veličin určujících převýšení... 68 5.6.1 Přesnost určení změny výšek pozorovaných bodů... 68 5.6.2 Přesnost určení změny převýšení mezi proti sobě ležícími body... 70 5.6.3 Přesnost určení změny převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu... 72 5.7 Vyhodnocení převýšení určeného pomocí přesné nivelace... 73 5.7.1 Vyhodnocení změny výšek pozorovaných bodů... 74 5.7.2 Vyhodnocení změny převýšení mezi proti sobě ležícími body... 75 5.7.3 Vyhodnocení změny převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu... 76 6 Závislost posunů na čase a teplotě... 78 6.1 Závislost náklonů na čase a teplotě... 80 6.2 Závislost změn rozpětí na čase a teplotě... 82 6.3 Závislost změn převýšení na čase a teplotě... 83 7 Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace... 87 7.1 Porovnání převýšení mezi body jednotlivých řezů... 87 7.2 Porovnání převýšení mezi body 1. a 4. řezu... 91 8 Závěr... 94 Použité zdroje... 97 Seznam příloh... 99 7

Úvod 1. ÚVOD Katedrála svatého Víta patří mezi naše nejvýznamnější památky. Proto bylo při objevení trhlin v její klenbě rozhodnuto o sledování náklonů pilířů ve čtyřech řezech hlavní lodi katedrály a jejich sedání. V roce 2004 bylo pozorování doplněno i o sledování dvou pilířů v příčné lodi chrámu. Vyhodnocování chování konstrukce chrámu je prováděno dlouhodobě již od roku 2000, kdy byla v červnu zaměřena základní. Je potřeba odlišovat posuny vratné (nejčastěji způsobené vlivem rozdílů teploty, osluněním, popř. i větrem) a trvalé (způsobené např. vlivem stlačení podloží, provozem, či změnou hladiny spodní vody apod.) Sledování posunů bylo prováděno nejprve čtyřikrát ročně, po určení vlivu teplotních změn se přešlo na dvě etapy za rok (jaro a podzim) za pokud možno stejných atmosférických podmínek a v současnosti již pouze na jednu etapu ročně s cílem stanovit či vyloučit trvalé posuny. Přesnost určení posunů byla statikem zvolena tak, aby mohla být změna o 1mm považována za prokázanou. Tomuto požadavku byla přizpůsobena volba metod měření. Pro měření vodorovných posunů byla zvolena metoda trigonometrického měření a pro svislé posuny metoda přesné nivelace. Umístění pozorovaných bodů bylo provedeno podle požadavků statika a v kooperaci s památkáři. Body v dolní části katedrály jsou umísťovány do předvrtaných zděří pouze po dobu měření. Měření v katedrále probíhá stále totožným způsobem a za použití stejných přístrojů a pomůcek. To vede k praktické eliminaci systematických chyb, takže na výpočet výsledných posunů nemají vliv. Od 29. etapy probíhá měření na Pražském hradě, včetně katedrály sv. Víta, pod vedením jiného měřiče a za použití jiného přístroje pro trigonometrickou metodu. 8

Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha 2. KATEDRÁLA SV. Víta, Václava a Vojtěcha Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha je nejvýraznější stavební i duchovní památkou Prahy. Jako národní památce nejvyššího stupně se jí dostává nejvyšší ochrany z hlediska památkové péče. 2.1 HISTORIE KATEDRÁLY SV. VÍTA Při příležitosti jmenování prvního pražského arcibiskupa Arnošta z Pardubic, položil 21. listopadu roku 1344 král Jan Lucemburský se svými syny základní kámen katedrály. Prvním stavitelem byl francouzský stavitel Matyáš z Arrasu Dalším stavitelem byl Petr Parléř. Očekávalo se, že se bude držet projektu Matyáše z Arrasu. Na místo toho vznikala velice dekorativní katedrála s novým způsobem klenby. Roku 1370 byla katedrála hotova po triforium. Prvním, kdo byl v ještě nedokončené katedrále pohřben, byl Karel IV. Vysvěcena byla stavba 1. října 1385. Roku 1396 zahájil Parléř stavbu velké věže. Stavbu po něm převzali jeho synové Jan a Václav. V roce 1419 však byla stavba důsledkem husitských válek přerušena. Radikální husité začali chrám sv. Víta drancovat. Došlo k poškození téměř všech oltářů, obrazů, soch. K dalšímu obydlení pražského hradu došlo až roku 1485, a to Vladislavem Jagellonským. On dal popud k prvnímu pokusu o dostavbu svatovítské katedrály. Byl povolán stavitel z jižního Německa Benedikt Ried. Roku 1541 katedrála vyhořela. Opravy trvaly až do roku 1586, hlavní roli při ní hráli Bonifác Wohlmut a Hans Tirol Další pohromou, která katedrálu postihla, byla obrazoborecká akce, kterou v roce 1620 zorganizoval Abraham Skultety. Během ní byla katedrály vypleněna, zničeny obrazy a sochy, poškozeny oltáře, náhrobky. Po bitvě na Bílé hoře vrátil císař chrám katolíkům. V následujících letech probíhaly opravy chrámu. Roku 1673 se císař Leopold I. pokusil o dostavbu katedrály. Dalším architektem, který se podílel z pověření císařovny Marie Terezie na stavbě katedrály, byl Nicola Pacassiny. Jeho práce na hradě skončily roku 1775. 9

Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha S myšlenkou na dostavbu katedrály v 19. století přišel jako první pražský kněz Václav Michal Pešina. Roku 1832 začal pro svoji ideu získávat další stoupence. O devět let později byla podána žádost o povolení spolku na dostavbu katedrály. Ferdinand V. dal souhlas až v červenci 1844, předsedou byl zvolen F. Thun Hohenstein. Arcibiskup Schwarzenberg vydal pastýřský list, kterým nabádal věřící, aby přispěli na dostavbu katedrály. Díky této sbírce získal spolek dostatek peněz pro své účely. Josef Kranner byl roku 1861 jmenován stavitelem a architektem chrámu. Kranner až do své smrti pracoval na restaurátorských pracích ve staré části katedrály. OBRÁZEK 2.1: MATYÁŠ Z ARASU, PETR PARLÉŘ A JOSEF KRANER, [5] Dalším stavitelem byl Josef Mocker. Pracovat na katedrále začal v říjnu 1872 a dokončil restaurátorské práce ve staré části. Chrám byl slavnostně otevřen a vysvěcen arcibiskupem Schwarzenbergem dne 30. srpna 1873 k oslavě 900. výročí založení pražského biskupství. Základní kámen k nové části katedrály byl položen 1. října 1873. Mocker přišel s vlastním projektem na dostavbu katedrály. Navrhl gotické trojlodí se dvěma věžemi v průčelí. Stavět začal roku 1876 a již roku 1885 stála katedrála do výše galerie, v roce 1892 byly dostavěny obě zamýšlené věže a v roce 1898 byl západní štít kompletně dokončen. Dne 16. ledna 1899 Mocker umírá. Dalším jmenovaným stavitelem byl Kamil Hilbert. Jako první se tento mladý architekt pustil do rekonstrukce velké věže, dále se věnoval oknu Petra Parléře, které bylo doposud prázdné. K jeho osazení došlo roku 1907. K restaurování Svatováclavské kaple došlo v roce 1910. Kamilu Hilbertovi se zde 10

Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha podařilo odkrýt zbytky původní rotundy a část baziliky, zároveň také odkryl hrob svatého Václava. Dalo by se říci, že roku 1923 je stavba katedrály konečně hotova. Přesto ale zůstává katedrála rozdělena na dvě části. Stará část byla od nové části oddělena Parléřovou zdí. Ze strany chóru ke zdi přiléhala Wohlmutova renesanční kruchta. Parléřova zeď byla roku 1926 zbořena a kruchta přemístěna k severnímu rameni příčné lodi. Následně byl doděláván interiér a úprava královské hrobky. Dne 12. května 1929 byl chrám biskupem Janem Sedlákem vysvěcen. Dne 28. září roku 1929 byl chrám biskupem dr. Antonínem Podlahou konečně odevzdán veřejnosti. Stalo se tak u příležitosti tisíciletého výročí smrti sv. Václava. [1], [2], [3], [4] 11

Cíle diplomové práce 3. CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE Cílem mé diplomové práce je zhodnocení posledních deseti etap měření posunů a přetvoření katedrály sv. Víta na Pražském hradě. Práce volně navazuje na mou bakalářskou práci, v níž jsem se zabývala náklony opěrných pilířů druhého řezu a jejich návazností na náklony hlavní věže katedrály vlivem oslunění. Ve své diplomové práci se zabývám vodorovnými i svislými posuny. Nejprve bude z převzatých zápisníků měření jednotlivých etap vyhodnocena dosažená přesnost. Pomocí výběrové směrodatné odchylky bude posouzena přesnost měření a následně rozhodnuto o průkaznosti změn ve vodorovných či svislých posunech. Při překročení mezní hodnoty bude posun pokládán za prokázaný, pokud hodnota posunu mezní hodnotu nepřekročí, nelze posun prokázat, ale ani vyloučit. U trigonometrického měření bude vyhodnocena i závislost na změně teploty a času pomocí vyrovnání zprostředkujících měření metodou nejmenších čtverců. Závěrem své práce budu porovnávat změny převýšení určené nivelací a trigonometrií. OBRÁZEK 3.1: KATEDRÁLA SV. VÍTA NA PRAŽSKÉM HRADĚ [5] 12

Trigonometrické měření 4. TRIGONOMETRICKÉ MĚŘENÍ Etapové měření náklonů a roztažnosti opěrných pilířů v katedrále sv. Víta zajišťuje katedra speciální geodézie FSv ČVUT již od černa 2000 pomocí trigonometrické metody. Jak bylo řečeno v úvodu, měření nejprve probíhalo čtyřikrát ročně a následně se po stanovení teplotních vlivů na svislé a vodorovné posuny (tzv. vratné posuny) přešlo na systém měření 2 krát ročně a v současnosti probíhá měření již pouze jednou za rok. 4.1 POUŽITÁ METODA Pro daný účel byla použita modifikovaná metoda trigonometrického měření. V etapách 20 až 28 bylo měřeno totální stanicí Leica TC 1800 ve dvou skupinách s dvojím cílením. Skupiny 29 a 30 byly již měřeny totální stanicí Trimble S6 HD, a to ve čtyřech skupinách. Na pozorované body bylo měřeno v pořadí dolní a horní bod na levém pilíři a následně dolní a horní bod na pravém pilíři. Délky byly měřeny pouze v nulté etapě, která byla zaměřena 19. 6. 2000. V dalších etapách jsou délky považovány za konstantní. Díky centraci ve stále stejném směru ve všech etapách dochází, při použití stejného přístroje, ke stále stejné systematické chybě. Pro náhodnou složku chyby v centraci můžeme uvažovat směrodatnou odchylku cca 0,3 mm. Ing. Urban provedl srovnání centrace obou přístrojů použitých při měření v katedrále pomocí centrování na milimetrový papír. Rozdíl v centraci obou použitých přístrojů při natočení okuláru centrovače stejným směrem a výměně přístrojů v trojnožce nepřesáhl 0,3 mm a nebyl tedy pro hodnocení posunů uvažován. Chrám svatého Víta je hojně turisticky navštěvován, a proto lze provádět měření pouze v pozdních odpoledních hodinách. To bohužel znamená zhoršenou viditelnost a je potřeba body během měření uměle osvětlovat. Osobně jsem se účastnila měření 28. etapy dne 17. 10. 2011, toto měření probíhalo přibližně od 17 do 21 hodiny. 13

Trigonometrické měření 4.2 PŘÍSTROJE A POMŮCKY POUŽITÉ PŘI MĚŘENÍ Trigonometrické měření bylo v katedrále sv. Víta prováděno v etapách 20 až 28 totální stanicí Leica TC 1800 s výrobním číslem 413982. Centrace byla prováděna pomocí optického centrovače, který byl v každé etapě umístěn stejným způsobem. Natočení centrovače ve směru osy chrámu zaručuje eliminaci systematických chyb v centraci v jednotlivých etapách. Totální stanice byla horizontována pomocí elektronické libely. Stativ firmy Leica byl kvůli kluzké podlaze uvnitř chrámu umísťován do dřevěného kříže. Měření bylo potřeba provádět s lomeným okulárem, jelikož záměry na horní body jsou velice poměrně příkré. Přesnost této totální stanice je výrobcem uváděna 0,3 mgon podle ISO 17123-3 pro vodorovné směry. Jedná se tedy o přesnost směru měřeného ve dvou polohách dalekohledu. Pro normální měření délek (DIST) je udávána přesnost 1mm + 2ppm podle ISO 17123-4 a rychlost měření je 3s [6]. OBRÁZEK 4.1: LEICA TC 1800, V. Č. 413982 Etapa 29 a 30 byla zaměřena totální stanicí Trimble S6 HP. Způsob centrování byl zachován stejný jako u stanice Leica. Opět byl použit dřevěný kříž na upevnění stativu a lomený okulár. Výrobcem udávaná přesnost tohoto přístroje je pro vodorovné úhly 0,3mgon. 14

Trigonometrické měření OBRÁZEK 4.2: TRIMBLE S6 HP [7] Obě použité totální stanice vypisují naměřené hodnoty na 0,1 mgon. Při měření v katedrále sv. Víta byly hodnoty nejen registrovány, ale i zapisovány do zápisníků. Díky tomu bylo možno na místě naměřené veličiny kontrolovat - počítat přesnosti při měření. Během měření byla zjišťována teplota u jednotlivých bodů pomocí bezkontaktního teploměru Amir 7811. Jeho přesnost je výrobcem udána v rozmezí ±1 C [8]. Laser, kterým je tento teploměr vybaven, umožňuje odečítání teploty z jakéhokoliv místa. OBRÁZEK 4.3: TEPLOMĚR AMIR 7811 15

Trigonometrické měření 4.3 STANOVISKA A MĚŘENÉ BODY Umístění stanovisek v katedrále svatého Víta je patrné z obrázku 4.4. Stanoviska jsou stabilizována mosaznými válečky o průměru 6 až 8 mm zapuštěnými v mramorové podlaze chrámu. Uprostřed válečku je dírka velikosti 1 mm. Stanoviska byla zvolena s ohledem na přibližně stejnou délku a strmost záměr na jednotlivé pozorované body. OBRÁZEK 4.4: ROZLOŽENÍ ŘEZŮ A STANOVISEK V KATEDRÁLE SV. VÍTA [9] Řez číslo 1 a 4 je měřen ze stanoviska S1, řez číslo 2 ze stanoviska S3. Řez číslo 3 v podélné lodi chrámu je ve mnou sledovaných etapách určován ze stanoviska S7. Řezy příčné lodi jsou zaměřeny se stanoviska S5 (resp. S6) pro řez číslo 5 (resp. 6). 16

Trigonometrické měření OBRÁZEK 4.5: JEDNO ZE STANOVISEK V CHRÁMU SV. VÍTA (S ČÁSTÍ DŘEVĚNÉHO KŘÍŽE) Na jednotlivých pilířích jsou umístěny vždy dva pozorované body. Horní body jsou trvale signalizovány v úrovni triforia. Dolní bod se nalézá přibližně ve výšce dvou metrů nad zemí. Dolní body jsou osazovány do vyvrtaných zděří vždy jen na dobu měření. Cílové znaky jsou tvořeny modrožlutými kruhovými terčíky o průměru 20mm, žlutý střed má průměr 5mm. Pro správné cílení je obvykle potřeba na body během měření svítit. OBRÁZEK 4.6: ZDÍŘKA A TERČÍK DOLNÍHO BODU Terčíky dolních bodů jsou ze zadní strany opatřeny číslem, aby bylo zajištěno, že bude vždy na pilíř umístěn stejný terčík. Je potřeba dbát na těsné zašroubování do zdířky. Značení terčíků je patrné na obrázku 4.7. Pozorované body jsou číslovány dvojcifernými čísly, kde první cifra označuje číslo řezu a druhá umístění bodu. Lichá čísla jsou na levých pilířích při pohledu od vchodu a sudá na pravé straně. Nižší čísla se nalézají v dolní části a vyšší v horní části pilíře. V dolní části pilířů se tedy nalézají body s čísly X1 (vlevo) a X2 (vpravo), kde X značí číslo řezu. Rozložení bodů je patrné na obrázku 4.4. 17

Trigonometrické měření OBRÁZEK 4.7: VELIKOST A OZNAČENÍ TERČÍKŮ (ZADNÍ STRANA) 4.4 ZHODNOCENÍ PŘESNOSTI MĚŘENÝCH VELIČIN V této kapitole budou popsány rozbory přesnosti pro měřené veličiny tedy pro vodorovné a zenitové úhly. Etapy 20 až 28 byly měřeny Leicou TC 1800, jejíž směrodatná odchylka vodorovného směru zaměřeného ve dvou polohách s jedním cílením je výrobcem udávána hodnotou. Další dvě etapy tedy 29 a 30 byly zaměřeny totální stanicí Trimble S6 HP, pro kterou udává výrobce směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného ve dvou polohách s jedním cílením jako. Rozbory přesnosti pro etapy 20 až 28 byly detailně popsány v [10], a proto v této kapitole budou uváděny pouze výchozí a konečné vyčíslené vzorce. 4.4.1 APRIORNÍ PŘESNOST VODOROVNÝCH SMĚRŮ - ETAPY 20 AŽ 28 Vycházíme ze směrodatné odchylky vodorovného směru zaměřeného ve dvou polohách s jedním cílením, která je. Vodorovné směry byly měřeny ve dvou skupinách s dvojím cílením. Vychází se tedy z počátečního vzorce pro jednu skupinu s dvojím cílením (4.1): 18

Trigonometrické měření (4.1) Postupem uvedeným v [10] dojdeme ke směrodatné odchylce takto měřeného směru. (4.2) Směrodatnou odchylku vodorovného směru, který je již opraven o počáteční čtení, zjišťujeme ze vzorce (4.3). č (4.3) Úpravou pomocí zákona hromadění skutečných chyb a přes přechod na směrodatné odchylky dostáváme konečný výraz pro směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného v jedné skupině s dvojím cílením opraveného o počáteční čtení. (4.4) Konečný směr je definován jako průměr směrů měřených ve dvou skupinách s dvojím cílením redukovaných o počáteční čtení. (4.5) Hodnota směrodatné odchylky výsledného redukovaného směru získaného ze dvou skupin s dvojím cílením je tedy podle vyčísleného vzorce (4.6) 0,21 mgon. (4.6) 19

Trigonometrické měření 4.4.2 APRIORNÍ PŘESNOST VODOROVNÝCH SMĚRŮ - ETAPY 29 A 30 Opět se vychází ze směrodatné odchylky vodorovného směru zaměřeného ve dvou polohách s jedním cílením, která je pro Trimble S6 HP udávaná jako. Vodorovné směry byly měřeny ve čtyřech skupinách s jedním cílením. Nejprve je potřeba zredukovat měřený vodorovný směr o počáteční čtení, podle vzorce (4.7). č, (4.7) kde je směr redukovaný o počáteční čtení. je vodorovný směr měřený v jedné skupině s jedním cílením, č je hodnota opravy o počáteční čtení. Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb (4.8) a po přechodu na směrodatné odchylky (4.9) s předpokladem, že č, získáme konečný výraz pro směrodatnou odchylku směru měřeného v jedné skupině s jedním cílením, který je redukován o počáteční čtení (4.10). č (4.8) č (4.9) (4.10) Výsledný směr je určen jako průměr směrů, měřených ve čtyřech skupinách s jedním cílením redukovaných o počáteční čtení, vzorec (4.11). Opět se aplikuje zákon hromadění skutečných chyb a přejde se na směrodatné odchylky. (4.11) (4.12) 20

Trigonometrické měření (4.13) Za podmínky, že, získáváme konečný výraz (4.14), ze kterého po vyčíslení získáváme směrodatnou odchylku pro redukovaný směr získaný jako průměr ze čtyř skupin s jedním cílením. (4.14) 4.4.3 APRIORNÍ PŘESNOST VODOROVNÝCH ÚHLŮ - ETAPY 20 AŽ 28 Vodorovné úhly byly vypočteny jako rozdíl dvou vodorovných směrů. Jako první bylo potřeba vyčíslit směrodatnou odchylku vodorovného směru, který byl měřen ve dvou skupinách ( ). (4.15) (4.16) Směrodatná odchylka úhlu je určena pomocí směrodatné odchylky směru určené vzorcem (4.16) jako rozdíl dvou směrů měřených ve dvou skupinách. (4.17) (4.18) Hodnota směrodatné odchylky úhlu získaného jako rozdíl dvou směrů měřených ve dvou skupinách s dvojím cílením je tedy 0,21 mgon. 21

Trigonometrické měření 4.4.4 APRIORNÍ PŘESNOST VODOROVNÝCH ÚHLŮ - ETAPY 29 A 30 Vodorovné úhly byly opět vypočteny jako rozdíl dvou vodorovných směrů. Ty byly určeny průměrem ze čtyř skupin s jedním cílením. Proto je potřeba nejprve vyčíslit směrodatnou odchylku směru určeného ze čtyř skupin. (4.19) (4.20) (4.21) Platí-li podmínka, že, dostaneme rovnici (4.22). (4.22) Ze směrodatné odchylky, zjištěné v (4.22), vypočteme směrodatnou odchylku úhlu určeného jako rozdíl směrů. (4.23) (4.24) (4.25) (4.26) Z výrazů (4.18) a (4.26) je patrné, že vodorovné úhly byly ve všech etapách měřeny se shodnou směrodatnou odchylkou a nemusí tedy být v dalších výpočtech rozlišovány. 22

Trigonometrické měření 4.4.5 APRIORNÍ PŘESNOST ZENITOVÝCH ÚHLŮ - ETAPY 20 AŽ 28 Jak je uvedeno v [10], byly zenitové úhly měřeny přístrojem Leica TC 1800. Směrodatná odchylka zenitového úhlu měřeného ve dvou polohách (v jedné skupině) s jedním cílením je výrobcem udávána jako. Obdobně jako vodorovné úhly byly i zenitové úhly měřeny v jedné skupině s dvojím cílením (4.27). (4.27) (4.28) Výsledný zenitový úhel byl určen průměrem ze dvou skupin s dvojím cílením, výraz (4.29). A po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb a převodem na směrodatné odchylky dostaneme výraz (4.32). (4.29) (4.30) (4.31) (4.32) 4.4.6 APRIORNÍ PŘESNOST ZENITOVÝCH ÚHLŮ - ETAPY 29 A 30 Zenitové úhly v etapě 29 a 30 byly měřeny přístrojem Trimble 6S HP. Pro tento přístroj je směrodatná odchylka zenitového úhlu měřeného ve dvou polohách s jedním cílením výrobcem udávána jako. Zenitové úhly v těchto etapách byly určeny jako průměr ze čtyř skupin s jedním cílením. 23

Trigonometrické měření (4.33) (4.34) (4.35) (4.36) Na výrazech (4.32) a (4.36) je vidět, že směrodatné odchylky zenitových úhlů se v jednotlivých etapách neliší. V následujících výpočtech tedy nejsou tedy etapy rozlišovány. 4.4.7 PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ VODOROVNÝCH ÚHLŮ Rozbor přesnosti při měření pro vodorovné směry etap 20 až 28 byl kontrolován pomocí porovnání mezního rozdílu s absolutní hodnotou rozdílu mezi redukovanými směry měřenými v jedné skupině s dvojím cílením. Hodnota mezního rozdílu je podle [10]. V některých etapách byl mezní rozdíl překročen. Tyto etapy byly měřeny v podzimních měsících, kdy je viditelnost v katedrále horší a dosažená přesnost měření je touto skutečností ovlivněna; viz příloha C.1.1. Pro etapy 29 a 30 byl rozbor přesnosti při měření počítán podle mezní hodnoty vypočtené jako, (4.37) kde je pro čtyři skupiny rovno hodnotě 1,94. Po dosazení do rovnice (4.37) získáváme hodnotu, která je porovnávána s odchylkami od průměru jednotlivých skupin. Tabulky porovnání pro etapy 29 a 30 jsou uvedeny v přílohách C.1.2. 24

Trigonometrické měření 4.4.8 PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ ZENITOVÝCH ÚHLŮ Zenitové úhly ( 20 až 28) byly testovány pomocí rozdílu zenitového úhlu v jedné a druhé skupině, který byl porovnán s mezním rozdílem podle výrazu (4.38)., (4.38) kde a je rovno hodnotě 2. Po dosazení a vyčíslení získáme mezní rozdíl pro zenitové úhly. Z důvodu zhoršené viditelnosti a tím nutnosti osvětlování bodů v katedrále došlo u některých bodů k překročení mezního rozdílu. Přehledné tabulky jsou uvedeny v příloze C.1.3. Pro zenitové úhly v etapách 29 a 30 bylo testování při měření obdobné jako u vodorovných směrů. Tedy podle mezní hodnoty. Tabulky přesností při měření jsou uvedeny také v příloze C.1.4. 4.4.9 APOSTERIORNÍ PŘESNOSTI VODOROVNÝCH ÚHLŮ Po měření byly vypočteny směrodatné odchylky řádkového průměru a následně kvadratický průměr směrodatných řádkových průměrů sφ. Podle [10] byly použity vzorce (4.39). (4.40) 25

Trigonometrické měření Tab. 4.1 Kvadratické průměry směrodatných odchylek řádkových průměrů a výběrové směrodatné odchylky pro jednotlivé řezy [mgon]. řez 1 řez 2 řez 3 řez 4 řez 5 řez 6 s φ s φ0 s φ s φ0 s φ s φ0 s φ s φ0 s φ s φ0 s φ s φ0 20 0,08 0,07 0,17 0,14 0,11 0,11 0,16 0,09 0,02 0,02 0,06 0,06 21 0,13 0,12 0,19 0,15 0,05 0,06 0,11 0,13 0,09 0,09 0,13 0,11 22 0,14 0,14 0,19 0,20 0,13 0,18 0,20 0,12 0,10 0,11 0,10 0,09 23 0,09 0,13 0,09 0,11 0,20 0,19 0,06 0,03 0,13 0,14 0,04 0,05 24 0,27 0,28 0,08 0,08 0,11 0,12 0,42 0,21 0,07 0,10 0,09 0,09 25 0,05 0,06 0,07 0,06 0,19 0,26 0,14 0,16 0,11 0,14 0,09 0,12 26 0,04 0,05 0,12 0,08 0,19 0,15 0,31 0,21 0,17 0,16 0,08 0,10 27 0,04 0,05 0,10 0,14 0,10 0,10 0,20 0,08 0,16 0,13 0,14 0,11 28 0,16 0,20 0,18 0,17 0,09 0,12 0,19 0,13 0,33 0,24 0,07 0,05 29 0,04 0,17 0,06 0,26 0,11 0,45 0,06 0,26 0,07 0,29 0,05 0,21 30 0,02 0,07 0,07 0,27 0,02 0,06 0,04 0,14 0,02 0,08 0,02 0,07 0,14 0,16 0,19 0,15 0,15 0,11 Kvadratickým průměrem směrodatných odchylek zkoumaných etap byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka pro jednotlivé řezy. Jejich hodnota nepřesahuje u žádného z řezů směrodatnou odchylku vodorovného úhlu 0,21 mgon. Můžeme tedy apriorní přesnost vodorovných úhlů považovat za dodrženou. 4.4.10 APOSTERIORNÍ PŘESNOSTI ZENITOVÝCH ÚHLŮ Výpočet směrodatné odchylky zenitového úhlu, který byl měřen ve dvou skupinách s dvojím cílením, tedy pro zenitové úhly v etapách 20 až 28, je prováděn podle vzorce (4.41)., (4.41) kde je rozdíl mezi první a druhou polohou zenitového úhlu, je počet skupin a je počet měřených úhlů. Pro zenitové úhly v etapách 29 a 30, které byly měřeny ve čtyřech skupinách s jedním cílením, byl pro výpočet směrodatné odchylky použit výraz (4.42). 26

Trigonometrické měření, (4.42) kde je oprava od průměru zenitového úhlu, je počet skupin a je počet měřených směrů. V tabulce 4.2 jsou uvedeny výběrové směrodatné odchylky jednotlivých řezů a jejich kvadratické průměry. Tab. 4.2 Kvadratické průměry směrodatných odchylek zenitového úhlu a výběrové směrodatné odchylky pro jednotlivé řezy [mgon]. řez 1 řez 2 řez 3 řez 4 řez 5 řez 6 s ξ s ξ s ξ s ξ s ξ s ξ 20 0,11 0,13 0,24 0,12 0,11 0,15 21 0,15 0,21 0,20 0,20 0,11 0,14 22 0,10 0,19 0,09 0,20 0,12 0,21 23 0,06 0,19 0,11 0,10 0,14 0,16 24 0,17 0,15 0,18 0,14 0,07 0,07 25 0,20 0,16 0,06 0,11 0,02 0,07 26 0,18 0,20 0,05 0,23 0,17 0,11 27 0,12 0,15 0,12 0,12 0,14 0,06 28 0,17 0,09 0,10 0,13 0,18 0,14 29 0,11 0,14 0,27 0,22 0,23 0,22 30 0,06 0,14 0,10 0,09 0,07 0,09 0,14 0,16 0,15 0,16 0,14 0,14 Po porovnání celkových výběrových směrodatných odchylek jednotlivých řezů se základní směrodatnou odchylkou zenitového úhlu je patrné, že řezy 2 a 4 tuto odchylku nepatrně překračují. 4.5 VÝPOČET POSUNŮ Z měřených veličin byly vypočteny náklony, převýšení a změny rozpětí mezi jednotlivými pilíři katedrály sv. Víta. Předmětem této diplomové práce je zhodnocení 20. až 30. etapy. Dvacátá je ve všech výpočtech považována za základní. Délky vstupující do výpočtů byly měřeny pouze v nulté etapě, která proběhla v červnu 2000. 27

Trigonometrické měření Tab. 4.3.: Vodorovné délky na body jednotlivých řezů řez 1 řez 2 řez 3 Stanovisko S1 Stanovisko S3 Stanovisko S7 bod d [m] bod d [m] bod d [m] 12 4060 21 26,05230 31 28,90600 14 40,49260 23 26,04710 33 29,38081 11 40,47270 22 26,00760 32 28,83400 13 40,45830 24 26,01640 34 29,31525 řez 4 řez 5 řez 6 Stanovisko S1 Stanovisko S5 Stanovisko S6 bod d [m] bod d [m] bod d [m] 41 36,32450 51 20,76900 61 29,43950 43 36,39940 53 20,81050 63 29,52500 42 36,18270 52 20,91000 62 30,23800 44 36,15650 54 20,99250 64 30,39750 4.5.1. VÝPOČET NÁKLONŮ Výpočet vodorovné vzdálenosti (odklonu) mezi body v dolní a horní části jednotlivých řezů byl odvozen z trojúhelníku, jehož vrcholy jsou tvořeny stanoviskem a zaměřovanými body. Z měřených hodnot je patrné, že je horní bod na levém pilíři oproti dolnímu orientován jinak, než je tomu na pilíři vpravo. Pro výpočet příčné vzdálenosti q platí vzorec (4.43). (4.43) Úhel ω dosahuje maximální hodnoty 0,9 gon (řez 3, levý pilíř), a proto můžeme tento vzorec zjednodušit na tvar (4.44). (4.44), Vzhledem ke konfiguraci bodů platí pro pilíř vlevo od stanoviska vzorec (4.45) a pro pilíř vpravo (4.46). (4.45) (4.46) 28

Trigonometrické měření Konečná hodnota náklonu je následně vypočtena jako rozdíl odklonu v dílčí etapě a ve 20. etapě podle (4.47). (4.47) V tabulce 4.4 jsou uvedeny výsledné hodnoty náklonů v jednotlivých řezech. Kladná hodnota u výsledného náklonu značí náklon od osy chrámu, záporné znaménko náklonu pak odklon k ose. Tab. 4.4 Hodnoty náklonů pozorovaných pilířů v katedrále sv. Víta; teplota vzduchu při měření. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body náklon [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-13 0,81 0,17 0,79-0,06 1,03-0,31 0,87-0,26 1,76 1,54 12-14 0,84 0,15 1,56 0,60 1,68 0,63 1,33-0,16 1,71 1,28 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-23 -0,65-0,40-0,87-0,64-1,44-0,19-1,22-0,39-1,50-0,83 22-24 -0,73-0,43-2,13-0,24-1,21-0,56-1,31-0,57-2,81-1,51 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 -0,21-0,28-0,02-0,35-0,30-0,18-0,21-0,38-0,37 0,23 32-34 -0,65-0,36-1,29-0,03-1,18-0,69-0,89-0,67-1,22-0,17 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-43 0,05 0,17-0,45-0,44-0,14 0,11-0,01 0,09 0,19 42-44 -0,35-0,37-0,99-0,26-0,56-0,52-0,87-1,30-1,78-2,01 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-53 -0,11-0,02 0,09-0,04-0,02 0,05 0,17-0,11 0,07-0,24 52-54 -0,46-0,49-0,17-0,38-0,42-0,39 0,01-1,17-0,99 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-63 -0,25-0,03-0,65-0,36-1,19-0,14-0,62-0,44-1,73-0,75 62-64 -0,28-0,20-0,11-0,27-0,12-0,54-0,15-1,05-1,18 4.5.2 VÝPOČET ZMĚN ROZPĚTÍ Změnami rozpětí jednotlivých pilířů se rozumí změna příčné vzdálenosti mezi dolními, resp. horními, body řezu. Rozpětí mezi body se vypočte podle kosinové věty, za použití měřených směrů a délek., (4.48) 29

Trigonometrické měření kde, jsou vodorovné délky na levé a pravé body a, jsou měřené vodorovné směny na levé a pravé body. Výsledná změna rozpětí bodů je vypočtena jako rozdíl rozpětí v dílčí etapě a ve 20. etapě podle (4.49). (4.49) V tabulce 4. 5 jsou uvedeny hodnoty změn rozpětí vztažené ke 20. etapě. Záporné znaménko poukazuje na zkrácení vzdálenosti mezi dolními, resp. horními body, pozorovaných řezů. Kladné znaménko pak značí prodloužení této vzdálenosti. Tab. 4.5 Hodnoty změn rozpětí bodů pozorovaných řezů v katedrále sv. Víta; teplota vzduchu při měření. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna rozpětí [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-12 -0,05-0,10-0,32-0,64-0,36-0,20-0,14-0,39 0,21 13-14 -1,68-0,41-2,64-1,17-3,04-0,52-2,31 0,03-3,22-3,28 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-22 0,18-0,09 0,33 0,34 0,18 0,48 0,26 0,08 0,51 0,22 23-24 -1,16-0,89-2,58-0,52-2,39-0,24-2,20-0,86-3,69-2,06 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-32 0,20 0,53 0,63 0,97 0,97 1,08 0,85 1,42 0,26 0,59 33-34 -0,63-0,08-0,63 0,61-0,45 0,24-0,21 0,42-1,28-0,15 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-42 -0,25-0,08-0,11 0,22-0,39 0,58-0,08 0,72-1,12-0,10 43-44 -0,55-0,45-0,92-0,48-1,37-0,08-0,84-0,57-2,78-1,61 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-52 0,60 0,25 0,77 0,65 0,71 0,25 0,59 0,67 1,04 0,94 53-54 0,08 0,23 0,41 0,45 0,35-0,08 0,39 0,58 0,03 0,18 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-62 0,58 0,06 0,90 0,54 0,89 0,73 0,74 0,69 1,52 0,83 63-64 0,08-0,16-0,21 0,09-0,53 0,48-0,38 0,11-1,16-0,42 30

Trigonometrické měření 4.5.3 VÝPOČET ZMĚN PŘEVÝŠENÍ Změna ve vzdálenosti dolního a horního bodu (roztažnost) jednotlivých pilířů byla zjištěna pomocí měřeného zenitového úhlu a vodorovné vzdálenosti. Převýšení bodů bylo vypočteno podle vzorce (4.50)., (4.50) kde, jsou vodorovné délky na horní a dolní body a, jsou měřené zenitové úhly na horní a dolní body. Změna převýšení se pak vypočte jako rozdíl mezi převýšením v dílčí etapě a ve 20. etapě podle (4.51). (4.51) V tabulce 4. 6 jsou uvedeny hodnoty změn převýšení, které je vztaženo ke 20. etapě. Záporné znaménko u změny převýšení znamená zkrácení vzdálenosti mezi dolním a horním bodem daného pilíře, kladné znaménko pak zvětšení této vzdálenosti. Tab. 4.6 Hodnoty změn převýšení bodů pozorovaných pilířů na levé a pravé straně katedrály sv. Víta; teploty vzduchu při měření 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna převýšení mezi body na levé a pravé straně [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-13 0,35 0,30 1,30 0,33 1,87 0,55 1,03 0,77 2,91 0,72 12-14 0,46 0,49 0,96-0,07 1,36 0,07 1,04 0,72 2,22 0,80 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C. 21-23 0,39 0,71 1,49 1,42 1,65 1,54 1,84 1,54 1,91 1,31 22-24 0,44 0,15 1,35 0,69 1,42 1,23 0,99 1,36 1,83 0,64 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 0,64 0,15 1,72 1,00 1,91 1,74 1,44 1,80 0,77 0,82 32-34 1,18 0,40 1,79 1,10 2,38 1,82 1,69 1,58 2,27 1,40 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-43 0,44 0,38 1,71 1,29 1,69 1,20 1,35 1,53 1,03 1,18 42-44 0,25 0,19 1,29 0,41 1,16 1,07 0,96 1,00 0,74 0,88 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-53 1,10 1,09 3,52 1,96 3,30 1,63 2,96 2,43 4,08 3,87 52-54 0,36 0,84 2,36 0,58 2,21 0,52 1,76 1,42 2,65 1,82 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-63 1,03 0,77 2,53 1,52 2,73 2,02 2,38 1,95 3,30 2,30 62-64 0,19 0,41 1,38 0,77 1,49 0,81 1,20 0,87 1,79 0,31 31

Trigonometrické měření Obdobně bylo vypočteno i převýšení mezi horními a dolními body sousedících pilířů. Tab. 4.7 Hodnoty změn převýšení horních a dolních bodů pozorovaných pilířů v katedrále sv. Víta; teploty vzduchu při měření. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna převýšení mezi dolními a horními body[mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-12 0,18 0,10 0,18 0,34 0,39 0,23 0,15 0,27 0,54 0,18 13-14 0,29 0,29-0,17-0,06-0,11-0,25 0,17 0,22-0,15 0,27 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-22 0,05 0,16-0,06 0,16 0,17 0,10 0,29 0,17 0,26 0,32 23-24 0,11-0,40-0,20-0,57-0,06-0,21-0,56-0,01 0,17-0,35 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 -0,28-0,22-0,53-0,46-0,56-0,23-0,71-0,04-1,21-0,90 32-34 0,27 0,03-0,46-0,36-0,08-0,14-0,46-0,27 0,29-0,31 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-42 0,11 0,38 0,13 0,24 0,18 0,25 0,20 0,14-0,16 0,09 43-44 -0,08 0,18-0,28-0,64-0,35 0,12-0,18-0,38-0,46-0,21 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-52 0,36 0,10 0,44 0,04 0,42 0,31 0,10 0,25-0,02 0,72 53-54 -0,38-0,15-0,72-1,34-0,67-0,81-1,10-0,76-0,23-0,11 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-62 0,19 0,05 0,16 0,44 0,47 0,61 0,39 0,43 1,07 63-64 -0,65-0,30-0,66-0,59-0,80-0,75-0,57-0,69-0,57-0,41 Dalším vypočteným převýšením bylo převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu. Toto převýšení bude v kapitole 7 porovnáno s obdobným převýšením určeným metodou přesné nivelace. Tab. 4.8 Hodnoty změn převýšení dolních bodů prvního a čtvrtého řezu v katedrále sv. Víta; průměrné teploty vzduchu při měření 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez převýšení mezi body změna převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu [mm] řez 1-4 9,8 C 12,1 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,1 C 12,0 C 11-41 -0,01-0,21-0,18-0,09 0,09-0,05-0,06-0,07 0,69 0,19 12-42 -0,08 0,07-0,22-0,19-0,12-0,03-0,01-0,20-0,01 0,10 32

Trigonometrické měření 4.6 PŘESNOSTI VELIČIN URČUJÍCÍCH POSUNY Pro určení průkaznosti náklonů, změn rozpětí a převýšení jsou v této kapitole odvozeny a vypočteny směrodatné odchylky. Ty jsou charakteristikou přesnosti určovaných a měřených veličin. 4.6.1 PŘESNOST NÁKLONŮ Přesnost náklonů je závislá na přesnosti měřených vodorovných úhlů a na chybě v dostředění přístroje. Přesnost náklonů vychází ze vzorce (4.52) a díky zjednodušením uvedeným v [10] je výsledným vzorcem pro určení přesnosti náklonů (4.53). (4.52) (4.53) náklonu. Pro prokázání náklonů byla podle (4.54) vypočtena mezní hodnota, (4.54) kde je koeficient spolehlivosti pro hladinu významnosti je vypočtená směrodatná odchylka náklonu Když hodnoty náklonů překročí mezní hodnotu, považujeme tyto náklony za prokázané. Pokud k překročení hodnoty nedojde, nelze náklony považovat za prokázané, ale ani je nelze vyloučit. V tabulce 4.9 jsou uvedeny očekávané směrodatné odchylky a mezní hodnoty pro všechny pozorované řezy, vycházející z hodnot uváděných výrobci totálních stanic. 33

Trigonometrické měření Tab. 4.9 Očekávané směrodatné odchylky a mezní hodnoty náklonů jednotlivých řezů [mm]. řez σδq Δmet 1 0,19 0,38 2 0,12 0,24 3 0,14 0,28 4 0,17 0,34 5 0,10 0,20 6 0,14 0,28 Dosažené přesnosti a jejich mezní hodnoty byly vypočteny pomocí celkových výběrových směrodatných odchylek, které byly v kapitole 4.4.9 vypočteny pro každý řez. Mezní odchylka vychází ze vzorce (4.54). Jelikož jsou dosažené hodnoty počítány z měřených hodnot, mají větší vypovídající hodnotu. Náklony jsou tedy porovnávány s těmito přesnějšími hodnotami, které jsou uvedeny v tabulce 4.10 Tab. 4.10 Dosažené směrodatné odchylky a mezní hodnoty náklonů jednotlivých řezů [mgon, mm]. řez s φ0 σδq Δmet 1 0,14 0,13 0,26 2 0,16 0,09 0,18 3 0,19 0,13 0,26 4 0,15 0,12 0,24 5 0,15 0,07 0,14 6 0,11 0,07 0,14 V tabulce 4.11 jsou pro přehlednost hodnoty náklonů, které lze považovat za prokázané, zvýrazněny červenou barvou. Je patrné, že nejvýraznější jsou náklony u druhého řezu, který se nachází u velké věže a je její konstrukcí ovlivňován. 34

Trigonometrické měření Tab. 4.11 Hodnoty náklonů pilířů jednotlivých řezů, červené hodnoty jsou prokázané. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body náklon [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-13 0,81 0,17 0,79-0,06 1,03-0,31 0,87-0,26 1,76 1,54 12-14 0,84 0,15 1,56 0,60 1,68 0,63 1,33-0,16 1,71 1,28 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-23 -0,65-0,40-0,87-0,64-1,44-0,19-1,22-0,39-1,50-0,83 22-24 -0,73-0,43-2,13-0,24-1,21-0,56-1,31-0,57-2,81-1,51 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 -0,21-0,28-0,02-0,35-0,30-0,18-0,21-0,38-0,37 0,23 32-34 -0,65-0,36-1,29-0,03-1,18-0,69-0,89-0,67-1,22-0,17 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-43 0,05 0,17-0,45-0,44-0,14 0,11-0,01 0,09 0,19 42-44 -0,35-0,37-0,99-0,26-0,56-0,52-0,87-1,30-1,78-2,01 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-53 -0,11-0,02 0,09-0,04-0,02 0,05 0,17-0,11 0,07-0,24 52-54 -0,46-0,49-0,17-0,38-0,42-0,39 0,01-1,17-0,99 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-63 -0,25-0,03-0,65-0,36-1,19-0,14-0,62-0,44-1,73-0,75 62-64 -0,28-0,20-0,11-0,27-0,12-0,54-0,15-1,05-1,18 4.6.2 PŘESNOST ZMĚN ROZPĚTÍ Pro zjištění směrodatné odchylky se vychází ze základního vzorce pro výpočet změny rozpětí (4.55)., (4.55) kde, jsou vodorovné délky na levé a pravé body, jsou vodorovné úhly mezi levým a pravým bodem v n-té a 20. etapě Vodorovné délky byly měřeny pouze v základní etapě a jsou tedy ve výpočtech brány jako konstanty. Přesnost jejich měření nijak neovlivní přesnost 35

Trigonometrické měření rozdílu rozpětí a můžeme je zanedbat. Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb získáme výraz (4.56) (4.56) Za předpokladu, že odchylky úhlů jsou tvořeny vlivem měřeného úhlu a zároveň vlivem dostředění přístroje na stanovisku, můžeme do rovnice (4.56) dosadit výrazy (4.57) pro n-tou a (4.58) pro 20. etapu. (4.57) (4.58) Chyby v dostředění cílů můžeme vzhledem k pevné signalizaci pozorovaných bodů vyloučit. Největší vliv na vodorovný úhel má při měření v katedrále sv. Víta excentricita ve směru osy úhlu. Z obrázku 4.8 je patrný vztah pro chybu vodorovného úhlu - vzorec (4.59). OBRÁZEK 4.8: ODVOZENÍ VLIVU EXCENTRICITY (4.59) Za předpokladu, že můžeme rozpětí spočítat podle (4.60) 36

Trigonometrické měření. (4.60) Po dosazení výrazu (4.59) do výrazu (4.60) získáme upravený vztah pro výpočet rozpětí (4.61) a na ten následně aplikujeme zákon přenášení skutečných chyb (4.62). (4.61) (4.62) Tento konečný výraz je pak výrazem pro náhodnou odchylku vlivu centrace na délku. Dosazením do výrazu (4.56) získáme odchylku změny rozpětí, ve které je již zahrnut vliv dostředění přístroje na stanovisku. (4.63) Po převodu na směrodatné odchylky a zjednodušením za předpokladu, že získáme výraz (4.64). (4.64) Druhý sčítanec ve výrazu (4.64) vyjadřuje vliv dostředění přístroje na stanovisku. Maximální úhel mezi body na levém a pravém pilíři je u pátého řezu a to přibližně 50 gon. Vzhledem ke stejnému postupu při centrování v jednotlivých etapách a umisťování centrovače vždy do osy chrámu je vyloučena systematická složka této odchylky a podle [11] se tak docílí přesnosti v dostředění cca 0,4 mm. Po dosazení těchto hodnot do vzorce (4.65) dostaneme hodnotu 0,4 mm. Je patrné, že tento vliv nelze pro jeho velikost zanedbat. (4.65) 37

Trigonometrické měření Výsledný vztah pro výpočet směrodatných odchylek pro změny rozpětí je tedy. (4.66) Po dosazení směrodatné odchylky úhlu, která byla odvozena v kapitole 4.4.4 a 4.4.5, získáme očekávané mezní hodnoty pro jednotlivé řezy. Za hodnoty úhlů, rozpětí a délek byly dosazovány průměry. V tabulce 4.12 jsou uvedeny očekávané hodnoty směrodatných odchylek rozdílů rozpětí a jejich mezní hodnoty vypočtené podle (4.54). Tab. 4.12 Očekávané směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů rozpětí jednotlivých řezů [mm]. řez σδl Δmet 1 0,25 2 0,28 0,56 3 0,31 0,62 4 0,26 0,52 5 0,41 0,82 6 0,32 0,64 Dosažené přesnosti byly určeny obdobně jako v kapitole 4.6.1 pomocí celkových výběrových směrodatných odchylek. Podle dosažené mezní hodnoty uvedené v tabulce 4.13 bylo rozhodováno o prokázanosti rozdílů rozpětí. Tab. 4.13 Dosažené směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů rozpětí jednotlivých řezů [mm]. řez s φ0 σδl Δmet 1 0,14 0,21 0,42 2 0,16 0,27 0,54 3 0,19 0,31 0,62 4 0,15 0,23 0,46 5 0,15 0,40 0,80 6 0,11 0,30 0,60 V následující tabulce číslo 4.14 jsou pro červeně vyznačeny změny rozpětí, které jsou považovány za prokázané. U prokázaných změn u horních bodů v podélné lodi chrámu se jedná vždy o zápornou hodnotu, je tedy patrné, že je jedná o smršťování konstrukce. 38

Trigonometrické měření Tab. 4.14 Hodnoty rozdílů rozpětí pilířů jednotlivých řezů, červené hodnoty jsou prokázané. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna rozpětí [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-12 -0,05-0,10-0,32-0,64-0,36-0,20-0,14-0,39 0,21 13-14 -1,68-0,41-2,64-1,17-3,04-0,52-2,31 0,03-3,22-3,28 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-22 0,18-0,09 0,33 0,34 0,18 0,48 0,26 0,08 0,51 0,22 23-24 -1,16-0,89-2,58-0,52-2,39-0,24-2,20-0,86-3,69-2,06 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-32 0,20 0,53 0,63 0,97 0,97 1,08 0,85 1,42 0,26 0,59 33-34 -0,63-0,08-0,63 0,61-0,45 0,24-0,21 0,42-1,28-0,15 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-42 -0,25-0,08-0,11 0,22-0,39 0,58-0,08 0,72-1,12-0,10 43-44 -0,55-0,45-0,92-0,48-1,37-0,08-0,84-0,57-2,78-1,61 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-52 0,60 0,25 0,77 0,65 0,71 0,25 0,59 0,67 1,04 0,94 53-54 0,08 0,23 0,41 0,45 0,35-0,08 0,39 0,58 0,03 0,18 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-62 0,58 0,06 0,90 0,54 0,89 0,73 0,74 0,69 1,52 0,83 63-64 0,08-0,16-0,21 0,09-0,53 0,48-0,38 0,11-1,16-0,42 4.6.3 PŘESNOST ZMĚN PŘEVÝŠENÍ Převýšení se vypočetlo podle vzorce (4.50) a změna převýšení pak podle (4.51). Po dosazení (4.51) do (4.50) získáme výraz (4.67), ze kterého se vychází při zjištění přesnosti převýšení. Odvození je uváděno pro převýšení mezi dolním a horním bodem určitého pilíře. Pro převýšení mezi dolními a horními body sousedních pilířů je odvození obdobné, proto zde není detailně uvedeno., (4.67) kde, jsou délky na horní a dolní bod v n-té etapě;, jsou délky na horní a dolní bod ve dvacáté etapě, jsou zenitové úhly na horní, dolní body v n-té etapě, jsou zenitové úhly na horní, dolní body ve dvacáté etapě. 39

Trigonometrické měření Za předpokladu, že platí a, můžeme výraz (4.67) upravit na tvar (4.68). (4.68) Ve výrazu (4.68) můžeme první sčítanec označit jako a druhý sčítanec jako. Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb dojdeme k výrazu (4.69). - (4.69) Obdobně jako u vodorovných úhlů jsou i odchylky zenitových úhlů tvořeny vlivem měřeného úhlu a vlivem dostředění přístroje na stanovisku. (4.70) (4.71) Excentricita se projeví nejvíce, pokud je ve směru záměry. Pro odvození vlivu centrace na stanovisku vycházíme z obrázku 4.9, kde e značí excentricitu na stanovisku, s a d jsou šikmá a vodorovná délka, zex a zc jsou zenitové úhly. OBRÁZEK 4.9: ODVOZENÍ VLIVU EXCENTRICITY Z obrázku 4.9 jsou patrné následující vztahy: 40

Trigonometrické měření (4.72). (4.73) Vzhledem k malým hodnotám můžeme psát. Po dosazení výrazu (4.72) do rovnice (4.73) a úpravě získáme výraz pro chybu úhlu. (4.74) Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb získáme výraz (4.75). (4.75) Dosazením tohoto výrazu do výrazu (4.69) se získá výraz pro náhodnou odchylku změny převýšení. (4.76) Po přechodu na směrodatné odchylky a za předpokladu, že ; ; ; ; upravíme předchozí výraz na výraz (4.77). (4.77) První ze sčítanců výrazu (4.77) vyjadřuje vliv přesnosti měření délek. Délky měřené v katedrále s přesností na milimetry se pohybují okolo 30 metrů. Vzhledem k hodnotám, jakých změna převýšení dosahuje, můžeme tento vliv považovat za zanedbatelný. Výraz (4.78) vyjadřuje vliv dostředění přístroje na stanovisku. 41

Trigonometrické měření (4.78) Jak již bylo řečeno, tento vliv je nejvýraznější ve směru záměry a roste se zvětšující se strmostí záměry. Při stále stejném principu centrace je podle [11] udávaná hodnota. Pro délku 30 m a převýšení 15 m dosahuje směrodatná odchylka změny převýšení 0,28 mm. Je patrno, že tento vliv nelze zanedbat. Výsledný vztah pro výpočet směrodatných odchylek převýšení je tedy. (4.79) Vyčíslením předchozího výrazu dosazením směrodatné odchylky zenitového úhlu, která byla odvozena v kapitole 4.4.6 a 4.4.7, získáme očekávané mezní hodnoty pro jednotlivé řezy. Za ostatní hodnoty byly dosazovány průměry. Pro převýšení mezi pilíři na levé a pravé straně a pro převýšení mezi horními a dolními body platí stejná tabulka 4.15, kde jsou uvedeny očekávané směrodatné odchylky a jim odpovídající mezní hodnoty rozdílů převýšení pro jednotlivé řezy. Tab. 4.15 Očekávané směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů převýšení jednotlivých řezů [mm]. řez σδh Δmet 1 0,21 0,42 2 0,15 0,30 3 0,16 0,32 4 0,19 0,38 5 0,14 0,28 6 0,16 0,32 Dosažené přesnosti byly určeny obdobně jako v předchozích kapitolách pomocí celkových výběrových směrodatných odchylek. Podle dosažené mezní hodnoty uvedené v tabulce 4.16 byla posuzována průkaznost rozdílů převýšení. 42

Trigonometrické měření Tab. 4.16 Dosažené směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů převýšení jednotlivých řezů [mm]. řez s ζ0 σδh Δmet 1 0,14 0,19 0,38 2 0,16 0,16 0,32 3 0,15 0,16 0,32 4 0,16 0,20 0,40 5 0,14 0,13 0,26 6 0,14 0,15 0,30 Hodnoty, které jsou v následujících tabulkách zvýrazněny červeně, jsou považovány za prokázané. Změny tohoto převýšení dosahují kladných hodnot, zaznamenáváme tedy roztažnost těchto pilířů. Tab. 4.17 Hodnoty změn převýšení bodů pozorovaných pilířů na levé a pravé straně katedrály sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna převýšení mezi body na levé a pravé straně [mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-13 0,35 0,30 1,30 0,33 1,87 0,55 1,03 0,77 2,91 0,72 12-14 0,46 0,49 0,96-0,07 1,36 0,07 1,04 0,72 2,22 0,80 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-23 0,39 0,71 1,49 1,42 1,65 1,54 1,84 1,54 1,91 1,31 22-24 0,44 0,15 1,35 0,69 1,42 1,23 0,99 1,36 1,83 0,64 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 0,64 0,15 1,72 1,00 1,91 1,74 1,44 1,80 0,77 0,82 32-34 1,18 0,40 1,79 1,10 2,38 1,82 1,69 1,58 2,27 1,40 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-43 0,44 0,38 1,71 1,29 1,69 1,20 1,35 1,53 1,03 1,18 42-44 0,25 0,19 1,29 0,41 1,16 1,07 0,96 1,00 0,74 0,88 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-53 1,10 1,09 3,52 1,96 3,30 1,63 2,96 2,43 4,08 3,87 52-54 0,36 0,84 2,36 0,58 2,21 0,52 1,76 1,42 2,65 1,82 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-63 1,03 0,77 2,53 1,52 2,73 2,02 2,38 1,95 3,30 2,30 62-64 0,19 0,41 1,38 0,77 1,49 0,81 1,20 0,87 1,79 0,31 V tabulce 4.18 jsou uvedeny změny převýšení mezi horními a dolními body jednotlivých řezů (sousedních pilířů). U horních bodů je vidět, že se jedná především o zmenšení převýšení mezi nimi. 43

Trigonometrické měření Tab. 4.18 Hodnoty změn převýšení horních a dolních bodů pozorovaných pilířů v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez č. body změna převýšení mezi dolními a horními body[mm] řez 1 9,9 C 11,9 C 12,1 C 16,3 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 18,9 C 12,0 C 11-12 0,18 0,10 0,18 0,34 0,39 0,23 0,15 0,27 0,54 0,18 13-14 0,29 0,29-0,17-0,06-0,11-0,25 0,17 0,22-0,15 0,27 řez 2 10,8 C 11,9 C 11,5 C 16,9 C 13,7 C 15,3 C 12,6 C 13,4 C 13,9 C 18,4 C 12,0 C 21-22 0,05 0,16-0,06 0,16 0,17 0,10 0,29 0,17 0,26 0,32 23-24 0,11-0,40-0,20-0,57-0,06-0,21-0,56-0,01 0,17-0,35 řez 3 9,8 C 12,2 C 12,1 C 16,5 C 13,3 C 15,4 C 13,0 C 13,2 C 13,9 C 18,8 C 12,0 C 31-33 -0,28-0,22-0,53-0,46-0,56-0,23-0,71-0,04-1,21-0,90 32-34 0,27 0,03-0,46-0,36-0,08-0,14-0,46-0,27 0,29-0,31 řez 4 9,7 C 12,3 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,3 C 12,0 C 41-42 0,11 0,38 0,13 0,24 0,18 0,25 0,20 0,14-0,16 0,09 43-44 -0,08 0,18-0,28-0,64-0,35 0,12-0,18-0,38-0,46-0,21 řez 5 10,0 C 11,9 C 12,3 C 16,2 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 13,1 C 13,9 C 17,7 C 12,0 C 51-52 0,36 0,10 0,44 0,04 0,42 0,31 0,10 0,25-0,02 0,72 53-54 -0,38-0,15-0,72-1,34-0,67-0,81-1,10-0,76-0,23-0,11 řez 6 10,5 C 13,6 C 12,3 C 15,9 C 13,9 C 15,3 C 13,0 C 14,0 C 13,9 C 19,0 C 12,0 C 61-62 0,19 0,05 0,16 0,44 0,47 0,61 0,39 0,43 1,07 63-64 -0,65-0,30-0,66-0,59-0,80-0,75-0,57-0,69-0,57-0,41 Pro zhodnocení změny převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu byly požadované a dosažené směrodatné odchylky určeny jako průměr mezi prvním a čtvrtým řezem. Tab. 4.19 Očekávané směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů převýšení mezi 1. a 4. řezem [mm]. řez σδh Δmet 1 0,19 0,38 4 0,17 0,34 1-4 0,18 0,36 Dosažené směrodatné odchylky byly také určeny jako průměr z hodnot pro první a čtvrtý řez. Tab. 4.20 Dosažené směrodatné odchylky a mezní hodnoty rozdílů převýšení mezi 1. a 4. řezem [mm]. řez s ξ0 σδh Δmet 1 0,14 0,19 0,38 4 0,16 0,17 0,34 1-4 0,15 0,18 0,36 44

Trigonometrické měření prokázané. V tabulce 4.21 jsou červeně vyznačené hodnoty, které považujeme za Tab. 4.21 Hodnoty změn převýšení dolních bodů prvního a čtvrtého řezu v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 řez převýšení mezi body změna převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu [mm] řez 1-4 9,8 C 12,1 C 12,1 C 16,4 C 14,0 C 15,4 C 12,6 C 14,2 C 15,6 C 19,1 C 12,0 C 11-41 -0,01-0,21-0,18-0,09 0,09-0,05-0,06-0,07 0,69 0,19 12-42 -0,08 0,07-0,22-0,19-0,12-0,03-0,01-0,20-0,01 0,10 4.7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ V této kapitole budou graficky vyhodnoceny jednotlivé posuny. Všechny posuny jsou vztaženy ke dvacáté etapě Veškeré grafy uvedené v této kapitole se vztahují k řezu 2, na který má vliv i velká věž, u které je umístěn. Grafy vypovídající o ostatních řezech jsou uvedeny v přílohách A.1. 4.7.1 VYHODNOCENÍ NÁKLONŮ Hodnoty dosažených náklonů vztažených ke dvacáté etapě jsou uvedeny v tabulce 4.11. Jak bylo v kapitole 4.6.1 odvozeno, závisí vodorovný posun převážně na měření vodorovného úhlu. Kladné hodnoty značí odklon od podélné, resp. příčné osy chrámu. Záporné hodnoty znamenají náklon k ose chrámu. V následujících grafech je červenou barvou znázorněn severní pilíř a modrou jižní pilíř. Náklony pilířů jsou ovlivněny reakcí opěrného systému katedrály na proměnlivé teploty během roku. Náklony se nejvíce projevují na řezu 2, který je v úrovni velké věže a je pravděpodobné, že je její konstrukcí velmi ovlivněn. Nejprve jsou zde vykresleny grafy zvlášť pro severní a zvlášť pro jižní pilíř. V grafech jsou na druhou osu y vyneseny žlutou barvou teploty vzduchu při měření. 45

Trigonometrické měření Je patrné, že se zvyšující se teplotou dochází k zápornému náklonu tedy, že pilíře se naklánění směrem k ose chrámu. Graf 4.1:Zobrazení náklonů řezu 2, severní pilíř. Náklony mezi body 21-23 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50-2,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 0,0 C náklon průběh teploty Graf 4.2:Zobrazení náklonů řezu 2, jižní pilíř. Náklony mezi body 22-24 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50-2,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 0,0 C náklon průběh teploty 46

Trigonometrické měření Srovnáním náklonů pilíře je vidět, že náklony obou pilířů řezu se vzájemně podobají a jsou silně závislé na změnách teploty. Jižní stěna chrámu je vystavena většímu slunečnímu záření a jižní pilíř je tedy teplotou ovlivňován více než severní pilíř. Graf 4.3:Zobrazení náklonů řezu 2. Srovnání náklonů pilířů řezu 2 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C -2,00 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 0,0 C 4.7.2 VYHODNOCENÍ ZMĚN ROZPĚTÍ Změna rozpětí je definována jako změna příčné vzdálenosti mezi naproti sobě ležícími body jednotlivých řezů. Kladná hodnota změny značí prodloužení vzdálenosti mezi body a záporné znaménko naopak zkrácení této vzdálenosti. Z následujících grafů je patrné, že změna rozpětí mezi dolními body není tak výrazná jako u horních bodů. Hodnoty, u nichž změnu rozpětí považujeme již za prokázanou, jsou v tabulce 4.14 zvýrazněny červeně. Zelený graf se týká změny rozpětí dolních bodů, oranžovou barvou jsou vykresleny grafy týkající se horních bodů. Teploty jsou opět vyobrazeny žlutou barvou. 47

Trigonometrické měření Graf 4.4:Zobrazení změny rozpětí mezi dolními body řezu 2. 1,00 Změna rozpětí mezi body 21-22 20,7 C 18,4 C změna rozpětí [mm] -1,50-2,00-2,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,1 C 13,8 C 11,5 C 9,2 C 6,9 C 4,6 C -3,00 2,3 C -3,50 0,0 C změna rozpětí průběh teploty Graf 4.5 dokazuje, že při že při náklonu pilířů k ose (graf 4.3) je vzdálenost mezi pilíři zkracována. Velikost změn rozpětí je závislá na teplotě a na roztažnosti opěrného systému katedrály. Graf 4.5:Zobrazení změny rozpětí mezi horními body řezu 2. Změna rozpětí mezi body 23-24 1,00 20,0 C 18,0 C 16,0 C změna rozpětí [mm] -1,50-2,00-2,50-3,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 14,0 C 12,0 C 10,0 C 8,0 C 6,0 C 4,0 C -3,50 2,0 C -4,00 0,0 C V změna rozpětí průběh teploty 48

Trigonometrické měření grafu 4.6 je vykreslena závislost náklonů a změn převýšení na teplotě. Díky proložení lineární regresní přímkou je patrné, že s rostoucí teplotou vykazují náklony i změny rozpětí mezi horními body tendenci k náklonu k ose a tím i ke zkrácení vzdálenosti mezi pilíři. Graf 4.6:Závislost náklonů a změn rozpětí na teplotě řez 2. náklon, změra rozpětí [mm] Závislost náklonů a změn rozpětí na teplotě - řez 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19-1,50-2,00-2,50-3,00-3,50-4,00 náklon - jižní pilíř náklon - severní pilíř změna rozpětí mezi body 23-24 4.7.3 VYHODNOCENÍ ZMĚN PŘEVÝŠENÍ Změny převýšení byly vyčísleny pro všechny řezy mezi body na jednotlivých pilířích, tedy body 21 23 a 22 24 a také pro převýšení mezi body na levých a pravých pilířích (sousedních pilířích) tedy body 21-22 a 23 24. Z grafů 4.7 je patrné, že změna převýšení bodů na severním a jižním pilíři je obdobná. Větších hodnot však dosahuje na severním pilíři. Závislost převýšení nad sebou ležících bodů na teplotě je patrná v grafu 4.8. Pomocí lineární regresní přímky je vidět, že s rostoucí teplotou dochází ke zvýšení změny převýšení mezi těmito body. Na následujících grafech je červeně zobrazen severní pilíř, jižní pilíř je zobrazen modře, teploty žlutou barvou. 49

Trigonometrické měření Graf 4.7: Změna převýšení mezi body na severním a jižním pilíři řez 2. 3,50 Změna převýšení mezi body na severním a jižním pilíři - řez 2 20,7 C změna převýšení [mm] 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 18,4 C 16,1 C 13,8 C 11,5 C 9,2 C 6,9 C 4,6 C 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 2,3 C 0,0 C převýšení - jižní pilíř převýšení - severní pilíř průběh teploty Graf 4.8: Závislost změny převýšení na teplotě řez 2. Závislost změn převýšení na teplotě - řez 2 2,50 změna převýšení [mm] 2,00 1,50 1,00 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 severní pilíř jižní pilíř Pro převýšení mezi naproti sobě ležícími body, tedy pro dvojice dolních a horních bodů sousedních pilířů, byly vytvořeny obdobné grafy, kde zelená značí dolní body a oranžová horní. Je patrné, že horní body zaznamenávají větší změnu převýšení. Dolní 50

Trigonometrické měření body vykazují oproti horním kladnou změnu převýšení. Výjimkou jsou pouze body třetího řezu, pravděpodobně z důvodu umístění u příčné lodi chrámu a přechodu do historické části chrámu. V grafu 4.10 je vidět závislost převýšení na teplotě. Graf 4.9: Změna převýšení mezi dolními a horními body řez 2 1,00 Změna převýšení mezi dolními a horními body - řez 2 20,0 C změna převýšení [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 10,0 C 5,0 C změna převýšení mezi horními body 23-24 změna převýšení mezi dolními body 21-22 průběh teploty 0,0 C Graf 4.10: Závislost změny převýšení na teplotě řez 2 změna převýšení [mm] 0,40 0,30 0,20 0,10-0,10-0,20-0,30-0,40-0,60-0,70 Závislost změn převýšení na teplotě - řez 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 horní body dolní body 51

Trigonometrické měření Změna převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu je znázorněna na grafu číslo 4.11. Na teplotě uvnitř chrámu, která je v grafu znázorněna žlutou barvou, jsou více závislé změny severní stěny. Graf 4.11: Změna převýšení mezi dolními body prvního a čtvrtého řezu 1,00 Změna převýšení mezi body -1. a 4. řezu 22,0 C změna převýšení [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,5 C 11,0 C 5,5 C 0,0 C změna převýšení mezi body 12-42 změna převýšení mezi body 11-41 průběh teploty 52

Přesná nivelace 5 PŘESNÁ NIVELACE 5.1 POUŽITÁ METODA Nivelace při měření v katedrále sv. Víta se připojuje na bod číslo 100, který se nachází na II. nádvoří Pražského hradu před vstupem do katedrály. Prvním měřeným převýšením je převýšení mezi body 100 a 16. Po tomto připojení následuje měření uvnitř katedrály mezi body 16 a 26, které zároveň slouží i pro určení opravy z nevodorovnosti záměrné přímky. Z dalšího stanoviska bylo měřeno na čtyři body, a to 15, 16, 25 a 26 (obr. 5.1). Nivelační pořad je dále veden přes body 25, 26, 35 a 36. Při měření v historické části katedrály bylo potřeba vyhnout se překážce v podobě hrobky českých králů, proto byl pořad rozdělen na dvě samostatné větve. Z jedné bylo měřeno na body 36, 46 a 45 a z druhé pak na body 35, 45, a 46. Na každém stanovisku se měření provádělo dvakrát, se změnou horizontu přístroje. Společně s nivelačním měřením probíhalo i měření teploty pro následné vyhodnocení závislosti posunů na teplotě. OBRÁZEK 5.1: SCHÉMA MĚŘENÍ NIVELACE [12] Každé z jednotlivých měřených převýšení muselo být před výpočtem opraveno o chybu z nekolmosti nivelační patky a z nevodorovnosti záměrné přímky. 53

Přesná nivelace 5.1.1 CHYBA Z NEKOLMOSTI PATKY NIVELAČNÍ LATĚ Vzhledem ke kamenné římse nad pozorovanými body je nutno stavět nivelační lať na krajní body její patky. V případě, že není patka latě dokonale kolmá na čtecí stupnice, či není krabicová libela dokonale zrektifikovaná, dává postavení latě na jednotlivých rozích patky odlišné čtení. Proto je během každé etapy tato patka proměřena a vypočteny opravy pro jednotlivé rohy vzhledem ke středu patky. Číslování patky odpovídá schématu uvedenému na obrázku 5.2. OBRÁZEK 5.2: OČÍSLOVÁNÍ ROHŮ PATKY V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty oprav patek pro dvě stupnice v jednotlivých etapách v dílcích latě, tedy např. 2 = 0,2 mm. číslo patky číslo patky 1. stup. Tab. 5.1 Hodnoty oprav patek [0,1mm]. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 1-2 -2 0 1 0,5 0,5 0-0,5 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 2 2 0 0-1 -1 0 0 2 2 4 2 1-1 -1-1 -1 0,5 0 1 1 5 0-0,5-0,5 0 0-0,5 0 0 0 0 25. 26. 27. 28. 29. 1. stup. 20. 21. 22. 23. 24. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 1. stup. 2. stup. 2. stup. 30. 1. stup. 2. stup. 1-1 0,5-2 2-2 1 1-1 0 0 3-2 2 1 0,5 0 0-1 -1-2 -1 0-1 -1-1 3 0,5 0 0 0 1 2 0 1 1 1 4 5 4-0,5-1 1 1 2 2 1 2 0 0 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54

Přesná nivelace 5.1.2 CHYBA Z NEVODOROVNOSTI ZÁMĚRNÉ PŘÍMKY Jelikož nelze přesouvat těžké kostelní lavice, možnost postavení nivelačního přístroje při měření přesné nivelace v katedrále sv. Víta je omezena. Záměry vpřed a vzad nejsou tudíž stejně dlouhé. Z tohoto důvodu je potřeba provádět opravu z nevodorovnosti záměrné přímky. Jak bylo uvedeno výše, nevodorovnost záměrné přímky byla zjišťována na bodech 16 a 26. V každé etapě byl nivelační přístroj nejprve umístěn doprostřed mezi tyto body a bylo změřeno převýšení. Následně byl přístroj přesunut za bod 26 a opět bylo změřeno převýšení. Chyba z nevodorovnosti se pro jeden metr délky vypočetla podle vzorce 5.1., (5.1) kde je převýšení určené měřením ze středu a je převýšení určené z postavení přístroje za bodem 26, je délka na bod při měření ze středu. Do výpočtu výsledného převýšení vstupuje tato oprava přepočtená podle rozdílu v délkách při měření vpřed a vzad., (5.2) kde resp. jsou délky zpět, resp. vpřed, jednotlivých záměr a je výsledná oprava pro dané převýšení. Princip určení hodnoty opravy z nevodorovnosti záměrné přímky je patrný z obrázku 5.3. OBRÁZEK 5.3: NEVODOROVNOST ZÁMĚRNÉ PŘÍMKY [13] 55

Přesná nivelace 5.2 PŘÍSTROJE A POMŮCKY POUŽITÉ PŘI MĚŘENÍ Nivelace byla prováděna nivelačním přístrojem Zeiss Ni 007 a invarovou nivelační latí dlouhou 1,85 m s půlcentimetrovým dělením a dvěma stupnicemi. Přesnost přístroje je dána směrodatnou odchylkou jednoho čtení. [14] O B R Á Z E K 5.4: PŘÍSTROJ ZEISS NI 007 Teplota byla při měření zjišťována stejně jako u trigonometrického měření bezkontaktním teploměrem Amir 7811, jehož přesnost je ±1 C, viz obrázek 4.3. 5.3 MĚŘENÉ BODY Z důvodu historické hodnoty a vysoké návštěvnosti katedrály jsou i tyto body osazovány pouze na dobu měření. Po souhlasu památkářů byly do spár mezi kamennými částmi nosných pilířů osazeny mosazné zděře. Nivelační značka, na kterou je umísťována lať, je vyrobena z mosazi a má délku 60 mm. Z důvodu zachování naprosto stejných podmínek při měření jednotlivých etap jsou 56

Přesná nivelace nivelační značky opatřeny čísly pozorovaných bodů tak, aby byla v každé etapě zajištěna jejich stejná poloha. OBRÁZEK 5.5: DVOU STUPŇOVÁ NIVELAČNÍ LAŤ UMÍSTĚNÁ NA NIVELAČNÍ ZNAČKU Nivelační body jsou číslovány dvojcifernými čísly, první číslice odpovídá řezu. Stejně jako u bodů pro trigonometrické měření se na levé straně, při pohledu od vchodu, nacházejí lichá čísla a na pravé straně pak čísla sudá. Rozložení bodů je vidět na obrázku 5.1. 5.4 ZHODNOCENÍ PŘESNOSTI MĚŘENÝCH VELIČIN 5.4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÉHO PŘEVÝŠENÍ Jak bylo uvedeno v kapitole 5.2, je směrodatná odchylka čtení laťového úseku má hodnotu 0,1 mm. Pomocí této hodnoty byla zjištěna směrodatná odchylka jednoho převýšení určeného z jedné stupnice, viz vzorec (5.6). Následně pak směrodatná odchylka převýšení, které je určeno jako průměr ze dvou stupnic (5.11). Konečnou směrodatnou odchylkou je pak odchylka převýšení měřeného tam a zpět, (5.16). 57

Přesná nivelace Pro zjištění směrodatné odchylky převýšení určeného z jedné stupnice - vycházíme ze vzorce (5.3), který vyjadřuje rozdíl čtení vzad a vpřed., (5.3) kde je čtení na jedné stupnici vzad a je čtení na jedné stupnici vpřed. Přechodem na skutečné chyby a směrodatné odchylky za předpokladu, že získáme konečný výraz pro směrodatnou odchylku převýšení, které je určeno z jedné stupnice nivelační latě (5.6). (5.4) (5.5) (5.6) Po dosazení do výrazu (5.6) získáme (5.7) Směrodatná odchylka převýšení určeného ze dvou stupnic je definována jako průměr těchto čtení a vychází se tedy ze vzorce (5.8), obdobným postupem jako výše se dojde ke konečnému výrazu (5.11). (5.8) (5.9) (5.10) (5.11) Po dosazení (5.7) do (5.11) získáváme hodnotu 0,1 mm, která odpovídá směrodatné odchylce převýšení určeného ze dvou stupnic. 58

Přesná nivelace Převýšení určené z měření tam a zpět se určuje jako průměr dvou převýšení určených ze dvou stupnic. (5.12) (5.13) (5.15) (5.15) Po dosazení do vzorce (5.15) získáme hodnotu směrodatné odchylky převýšení určeného z měření tam a zpět (5.16). (5.16) 5.4.2 ROZBOR PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ PŘEVÝŠENÍ Přesnost při měření byla kontrolována pomocí rozdílu mezi první a druhou stupnicí, který by měl dosahovat konstantní hodnoty 60650. Rozdíl mezi touto konstantou a rozdílem čtení dvou stupnic byl porovnáván s mezní hodnotou 0,1mm. [13] 5.4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÉHO PŘEVÝŠENÍ Byla vypočtena výběrová směrodatná odchylka průměrného nivelačního převýšení podle vzorce (5.17)., (5.17) kde je rozdíl daného převýšení mezi měřením tam a zpět a je počet převýšení. Pomocí kvadratického průměru byly vypočteny výběrové směrodatné 59

Přesná nivelace odchylky nivelačního převýšení pro jednotlivé etapy. Hodnoty těchto odchylek jsou uvedeny v tabulce 5.2. Tab. 5.2 Výběrové směrodatné odchylky nivelačního převýšení [mm]. 20 0,06 21 0,07 22 0,07 23 0,06 24 0,04 25 0,04 26 0,05 27 0,04 28 0,04 29 0,08 30 0,03 Ø 0,05 Celková průměrná hodnota výběrové směrodatné odchylky dosahuje hodnoty 0,05 mm. V etapě 29 dosahuje výběrová směrodatná odchylka hodnoty 0,08 mm a byla tedy překročena základní směrodatná odchylka převýšení 0,07 mm určená ze vzorce (5.16). Z toho důvodu bylo provedeno i testování pomocí uzávěrů dvou čtyřúhelníků - U1 = 16 15-25 26 a U2 = 35 36-46 45. Hodnoty uzávěrů byly porovnány s mezním uzávěrem vypočteným podle (5.18)., (5.18) kde je koeficient spolehlivost 2 a je směrodatná odchylka uzávěru určená ze vztahu (5.19)., (5.19) kde je počet převýšení ve čtyřúhelníku a je směrodatná odchylka převýšení určeného z měření tam a zpět, viz výraz (5.16). Po dosazení (5.19) do (5.18) dostáváme hodnotu mezního uzávěru 0,28 mm. 60

Přesná nivelace Tab. 5.3 Hodnoty uzávěrů [mm]. uzávěr ve čtyřúhelníku U 16-15-25-26 U 36-35-45-46 20-0,09 0,11 21-0,17 0,25 22 0,13 0,03 23-0,05-0,18 24 0,02 0,24 25 0,02 0,05 26 0,02 0,06 27-0,05 0,29 28-0,10 0,29 29-0,01 0,02 30-0,04-0,16 Z tabulky 5.3 je patrné, že hodnoty uzávěrů ve 27 a 28 etapě nepatrně překročily mezní uzávěr. 5.5 VÝPOČET PŘEVÝŠENÍ URČENÉHO PŘESNOU NIVELACÍ V této kapitole budou vypočtena převýšení určená přesnou nivelací a vztažená ke 2o. etapě, která je opět brána jako základní. V kapitole 5.5.1 budou vyčísleny změny výšek pozorovaných bodů v jednotlivých etapách, vztažených k bodu 100 a následně k bodu číslo 15. V kapitole 5.5.2 jsou uvedeny změny převýšení mezi proti sobě ležícími body na severní a jižní stěně. Na obrázku 5.6 jsou tato převýšení vykreslena modrou barvou. V kapitole 5.5.3 je uvedeno převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu severní a jižní stěny, na obrázku 5.6 zobrazeno červeně. Tyto dva druhy převýšení jsou zde uvedeny i pro následné srovnání s převýšením určeným z trigonometrické metody. 61

Přesná nivelace OBRÁZEK 5.6: PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY Výšky bodů byly vypočteny z vyrovnaných převýšení a připojeny k bodu č. 100, který se nachází na nádvoří a má známou výšku 258,13700 m. Byly určeny dva čtyřúhelníky: U1 = 16 15-25 26 a U2 = 35 36-46 45 a převýšení byla vyrovnána pomocí uzávěrů těchto čtyřúhelníků. Opravy jednotlivých převýšení se vypočetly podle vzorce (5.20), (5.20) kde je součet převýšení ve čtyřúhelníku, je celková délka čtyřúhelníku, je délka konkrétní nivelační sestavy. 62

Přesná nivelace Vyrovnané převýšení se pak vypočte jako součet převýšení a k němu příslušné opravy. (5.21) Výšky jednotlivých bodů se vypočetly jako součet výšky bodu číslo 100 a odpovídajících převýšení., (5.22) kde jsou sumy převýšení pro jednotlivé body, které se vypočetly odlišně v závislosti na převýšeních, vstupujících do výpočtu. Následující vzorce odpovídají výpočtům převýšení pozorovaných bodů. (5.23) (5.24) (5.25) (5.26) (5.27) (5.28) (5.29) (5.30) 63

Přesná nivelace Tab. 5.4 Výšky pozorovaných bodů v jednotlivých etapách [m] Bod 20 21 22 23 24 25 15 258,66572 258,66516 258,66574 258,66540 258,66562 258,66565 16 258,67430 258,67398 258,67446 258,67416 258,67432 258,67468 25 258,67255 258,67196 258,67266 258,67223 258,67244 258,67239 26 258,67610 258,67578 258,67621 258,67592 258,67610 258,67623 35 258,83710 258,83682 258,83742 258,83716 258,83713 258,83737 36 258,72400 258,72330 258,72420 258,72355 258,72390 258,72372 45 259,76024 259,75995 259,76049 259,76034 259,76030 259,76049 46 259,84233 259,84195 259,84253 259,84239 259,84242 259,84259 Bod 26 27 28 29 30 15 258,66568 258,66540 258,66550 258,66521 258,66497 16 258,67452 258,67437 258,67426 258,67417 258,67416 25 258,67258 258,67227 258,67219 258,67196 258,67191 26 258,67623 258,67612 258,67601 258,67565 258,67560 35 258,83759 258,83725 258,83712 258,83690 258,83749 36 258,72403 258,72343 258,72366 258,72316 258,72331 45 259,76068 259,76032 259,76009 259,75993 259,76031 46 259,84288 259,84245 259,84226 259,84206 259,84236 5.5.1 ZMĚNY VÝŠEK POZOROVANÝCH BODŮ Změny výšek, tedy svislé posuny jednotlivých bodů, byly určeny z rozdílu vypočtených výšek bodů mezi dvacátou (základní) etapou a dílčí etapou., (5.31) kde je vyrovnaná výška bodu v dílčí etapě a je vyrovnaná výška téhož bodu ve dvacáté etapě. Vzhledem ke stejné výšce bodu 100 ve všech etapách a stejnému postupu měření lze změnu výšek vypočíst i jako rozdíl převýšení., (5.32) Změny výšek pozorovaných bodů byly vyčísleny ve vztahu k bodu číslo 100 a následně i ve vztahu k bodu 15 (relativní svislé posuny), který je umístěn u vchodu do katedrály. To nám umožňuje lépe zhodnotit chování katedrály. 64

Přesná nivelace Tab. 5.5 Změny výšek pozorovaných bodů v jednotlivých etapách, vztaženo k bodu 100 [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-0,55 0,03-0,31-0,10-0,06-0,03-0,31-0,22-0,75 16-0,33 0,16-0,15 0,01 0,38 0,22 0,07-0,05-0,14-0,15 25-0,58 0,12-0,31-0,11-0,16 0,04-0,27-0,36-0,59-0,64 26-0,32 0,11-0,18 0,13 0,13 0,02-0,09-0,45 35-0,28 0,32 0,05 0,02 0,26 0,49 0,14 0,02-0,20 0,38 36-0,70 0,20-0,45-0,10-0,28 0,03-0,57-0,34-0,84-0,69 45-0,29 0,25 0,09 0,05 0,25 0,44 0,08-0,15-0,31 0,07 46-0,38 0,20 0,06 0,09 0,26 0,55 0,12-0,07-0,27 0,03 Tab. 5.6 Změny výšek pozorovaných bodů v jednotlivých etapách, vztaženo k bodu 15 [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 16 0,23 0,13 0,17 0,11 0,44 0,25 0,38 0,17 0,37 0,24 25-0,03 0,09-0,01-0,10 0,07 0,04-0,14-0,09-0,09 26 0,23 0,08 0,14 0,10 0,19 0,16 0,34 0,13 0,05 0,10 35 0,27 0,29 0,37 0,12 0,33 0,52 0,46 0,24 0,30 0,66 36-0,15 0,17-0,14-0,22 0,06-0,26-0,12-0,34-0,28 45 0,26 0,23 0,41 0,15 0,31 0,47 0,39 0,07 0,19 0,37 46 0,17 0,17 0,37 0,19 0,32 0,58 0,44 0,15 0,24 0,41 Kladné znaménko v tabulkách 5.5 a 5.6 znamená zdvih bodu a záporné naopak pokles bodu. 5.5.2 ZMĚNA PŘEVÝŠENÍ MEZI PROTI SOBĚ LEŽÍCÍMI BODY NA SLOUPECH SEVERNÍ A JIŽNÍ STRANY Toto převýšení je na obrázku 5.6 zobrazeno modrou barvou. Tento relativní svislý posun se vypočte podle vzorce (5.33)., (5.33) kde, resp. je rozdíl výšek mezi body na severní a jižní stěně v dílčí, resp. základní etapě. Pomocí převýšení se tento vztah vyjádří vzorcem (5.34). 65

Přesná nivelace, (5.34) kde, je převýšení mezi body téhož řezu na severní a jižní stěně v dílčí a základní etapě. Pro jednotlivé dvojice bodů platí následující vzorce. (5.35) (5.36) (5.37) (5.38) Převýšení je uvažováno jako rozdíl výšky bodu X6 X5, kde X značí číslo řezu. Hodnoty převýšení mezi těmito body ve dvacáté, tedy základní etapě, jsou uvedeny v tabulce 5.7. V tabulce 5.8 jsou pak uvedeny změny v dílčích etapách oproti této etapě. Tab. 5.7 Převýšení mezi protilehlými body v základní etapě [m] převýšení mezi body 20 15-16 859 25-26 355 35-36 -0,11310 45-46 0,08209 Tab. 5.8 Změny převýšení mezi protilehlými body vůči základní etapě [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-16 0,23 0,13 0,17 0,11 0,44 0,25 0,38 0,17 0,37 0,24 25-26 0,26-0,01 0,14 0,10 0,29 0,09 0,30 0,27 0,14 0,18 35-36 -0,41-0,12-0,12-0,55-0,46-0,72-0,36-0,64-0,94 45-46 -0,09-0,05-0,04 0,04 0,01 0,11 0,05 0,09 0,04 0,04 66

Přesná nivelace 5.5.3 ZMĚNA PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY PRVNÍHO A ČTVRTÉHO ŘEZU NA SEVERNÍ A JINÍ STĚNĚ Na obrázku 5.6 je toto převýšení vykresleno červenou barvou. Jedná se o relativní posun bodů v přední a zadní části katedrály sv. Víta. Vypočte se jako rozdíl výšek bodu na prvním řezu a bodu čtvrtého řezu na příslušné straně. Jedná se tedy o body 15-45 pro severní stěnu a body 16-46 pro jižní stěnu., (5.39) kde a jsou změny výšek příslušných bodů prvního a čtvrtého řezu v dílčí a 20. etapě. Výpočet provádíme pomocí změn převýšení a vzorec (5.39) se upraví na tvar (5.40)., (5.40) kde je suma převýšení mezi body 1 a 4 vypočtená podle vzorce (5.41) a (5.42), zvlášť pro severní a pro jižní stěnu. (5.41) (5.42) V tabulce 5.9 jsou uvedeny hodnoty převýšení v základní dvacáté etapě a v tabulce 5.10 jsou uvedeny hodnoty změn mezi jednotlivými mi. Tab. 5.9 Převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu v základní etapě [m] převýšení mezi body 20 15-45 1,09453 16-46 1,16802 Tab. 5.10 Změny převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu vůči základní etapě [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-45 0,26 0,23 0,41 0,15 0,31 0,47 0,39 0,07 0,19 0,37 16-46 -0,06 0,04 0,21 0,08-0,12 0,33 0,06-0,02-0,13 0,18 67

Přesná nivelace 5.6 PŘESNOSTI VELIČIN URČUJÍCÍCH PŘEVÝŠENÍ 5.6.1 PŘESNOST URČENÍ ZMĚNY VÝŠEK POZOROVANÝCH BODŮ Jak bylo uvedeno v kapitole 5.5, je výpočet výšek jednotlivých bodů odlišný, proto je potřeba rozlišovat jednotlivé body i u výpočtu přesnosti. Při určení přesnosti vycházíme ze vzorce pro výpočet změny výšky pozorovaného bodu (5.43). (5.43) Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb a převodem na směrodatné odchylky dojdeme ke vzorci (5.45). (5.44) (5.45) Je potřeba si uvědomit, že převýšení jednotlivých bodů jsou součtem jiných převýšení. Z toho důvodu se výraz (5.45) upraví na tvar (5.46)., (5.46) kde je počet převýšení, která vstupují do výpočtu převýšení konkrétního bodu a je přesnost určení nivelačního převýšení určeného v kapitole 5.4.1. Mezní hodnota byla vypočtena pomocí vzorce (5.47)., (5.47) kde je koeficient, který je roven hodnotě 2. V tabulce 5.11 jsou vyčísleny očekávané přesnosti a jim odpovídající mezní hodnoty pro jednotlivé body. 68

Přesná nivelace Tab. 5.11 Očekávané směrodatné odchylky a jejich mezní hodnoty [mm] bod σδn met 15 0,14 0,28 16 0,10 0,20 25 0,17 0,34 26 0,20 0,40 35 0,20 0,40 36 0,22 0,44 45 0,26 0,52 46 0,24 0,48 Pro zjištění dosažených hodnot byla do výrazu (5.46) dosazena místo hodnoty přesnosti nivelačního převýšení hodnota průměrné výběrové směrodatné odchylky 0,05 mm zjištěné v kapitole 5.4.3. V tabulce 5.12 jsou uvedeny hodnoty dosažených směrodatných odchylek a jejich mezních hodnot, které jsou vypočteny podle (5.47). Tab. 5.12 Dosažené směrodatné odchylky a jejich mezní hodnoty [mm] bod sδn met 15 0,10 0,20 16 0,07 0,14 25 0,12 0,24 26 0,14 0,28 35 0,14 0,28 36 0,16 0,32 45 0,19 0,37 46 0,17 0,35 Dosažené přesnosti jsou zjištěny z přesnějších dat, a proto jsou mezní hodnoty uvedené v tabulce 5.12 použity pro porovnání s posuny jednotlivých bodů. V tabulce 5.13 a 5.14 jsou červeně vyznačené hodnoty posunů, které jsou považovány za prokázané. 69

Přesná nivelace Tab. 5.13 Změny výšek pozorovaných bodů v jednotlivých etapách, vztaženo k bodu 100, červeně zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-0,55 0,03-0,31-0,10-0,06-0,03-0,31-0,22-0,75 16-0,33 0,16-0,15 0,01 0,38 0,22 0,07-0,05-0,14-0,15 25-0,58 0,12-0,31-0,11-0,16 0,04-0,27-0,36-0,59-0,64 26-0,32 0,11-0,18 0,13 0,13 0,02-0,09-0,45 35-0,28 0,32 0,05 0,02 0,26 0,49 0,14 0,02-0,20 0,38 36-0,70 0,20-0,45-0,10-0,28 0,03-0,57-0,34-0,84-0,69 45-0,29 0,25 0,09 0,05 0,25 0,44 0,08-0,15-0,31 0,07 46-0,38 0,20 0,06 0,09 0,26 0,55 0,12-0,07-0,27 0,03 Tab. 5.14 Změny výšek pozorovaných bodů v jednotlivých etapách, vztaženo k bodu 15 červeně zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 16 0,23 0,13 0,17 0,11 0,44 0,25 0,38 0,17 0,37 0,24 25-0,03 0,09-0,01-0,10 0,07 0,04-0,14-0,09-0,09 26 0,23 0,08 0,14 0,10 0,19 0,16 0,34 0,13 0,05 0,10 35 0,27 0,29 0,37 0,12 0,33 0,52 0,46 0,24 0,30 0,66 36-0,15 0,17-0,14-0,22 0,06-0,26-0,12-0,34-0,28 45 0,26 0,23 0,41 0,15 0,31 0,47 0,39 0,07 0,19 0,37 46 0,17 0,17 0,37 0,19 0,32 0,58 0,44 0,15 0,24 0,41 Je patrno, že při vztažení výšek bodů k bodu na nádvoří, tedy bodu 100, je svislý posun prokázán u více bodů než při vztažení k bodu uvnitř katedrály. Je zřejmé, že po eliminaci vlivu z připojení je nejvíce prokázaných svislých posunů u bodu č. 35. Nejvýraznější změnu tento bod zaznamenal ve 30 etapě. 5.6.2 PŘESNOST URČENÍ ZMĚNY PŘEVÝŠENÍ MEZI PROTI SOBĚ LEŽÍCÍMI BODY Vycházíme ze základního vztahu pro výpočet převýšení mezi proti sobě ležícími body na pravé a levé straně katedrály svatého Víta. (5.48) Po aplikaci stejných zákonů jako v předchozí kapitole získáme výraz (5.51). 70

Přesná nivelace, (5.49), (5.50), (5.51) Mezní hodnota se zjistila podle vzorce (5.47) uvedeného v minulé kapitole. V následující tabulce je uvedena hodnota očekávané přesnosti a její mezní hodnota. Vzhledem k principu výpočtu tohoto převýšení jsou pro všechny posuzované dvojice bodů očekávané i dosažené přesnosti stejné. Tab. 5.15 Očekávaná směrodatná odchylka a její mezní hodnota [mm] převýšení dvojic bodů σδn met 0,10 0,20 Dosažená přesnost se vypočetla stejným způsobem jako v kapitole 5.6.1 a je společně s odpovídající mezní hodnotou uvedena v tabulce 5.16. Tab. 5.16 Dosažená směrodatná odchylka a její mezní hodnota [mm] převýšení dvojic bodů sδn met 0,07 0,14 Tato mezní hodnota byla použita pro zjištění průkaznosti změny převýšení, prokázané hodnoty jsou uvedeny v tabulce 5.17 červeně. Tab. 5.17 Změny převýšení mezi protilehlými body vůči základní etapě, zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-16 0,23 0,13 0,17 0,11 0,44 0,25 0,38 0,17 0,37 0,24 25-26 0,26-0,01 0,14 0,10 0,29 0,09 0,30 0,27 0,14 0,18 35-36 -0,41-0,12-0,12-0,55-0,46-0,72-0,36-0,64-0,94 45-46 -0,09-0,05-0,04 0,04 0,01 0,11 0,05 0,09 0,04 0,04 Změna převýšení je nejvýraznější mezi body 35 36, což odpovídá výsledkům v předchozí kapitole, kde bylo nejvíce prokázaných změn ve výšce právě u bodu 35. Pouze u změny tohoto převýšení jsou hodnoty záporné a jedná 71

Přesná nivelace se tedy o zmenšení svislé vzdálenosti mezi těmito body. Nejvýraznější je opět ve 30. etapě a dosahuje hodnoty přes 0,9 mm. Tento řez se nachází na styku podélné a příčné lodi katedrály a u přechodu mezi gotickým a neogotickým zdivem. 5.6.3 PŘESNOST URČENÍ ZMĚNY PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY PRVNÍHO A ČTVRTÉHO ŘEZU vzorce (5.52) Změna převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu se vypočte podle. (5.52) Po přechodu na zákon hromadění skutečných odchylek a rozepsáním výrazu (5.52) podle vzorce pro výpočet tohoto převýšení (5.41), získáme výraz (5.53) a následně po úpravě a převodu na směrodatné odchylky získáme konečný výraz pro přesnost takto určeného převýšení (5.54). (5.53) (5.54) Obecně lze výraz (5.54) zapsat ve tvaru (5.55), kde je počet nivelačních sestav a přesnost určení nivelačního převýšení. (5.55) Mezní hodnota je vypočte opět podle vzorce (5.47). Tab. 5.18 Očekávaná směrodatná odchylka a její mezní hodnota [mm] převýšení bodů 1. a 4. řezu σδn met 0,22 0,44 72

Přesná nivelace Po dosazení průměrné výběrové směrodatné odchylky převýšení do výrazu (5.54) získáváme dosaženou přesnost uvedenou v tabulce 5.19. Pro výpočet převýšení na severní stěně je obdobný postup se stejným výsledkem směrodatné odchylky a její mezní hodnoty. Tab. 5.19 Dosažená směrodatná odchylka a její mezní hodnota [mm] převýšení bodů 1. a 4. řezu σδn met 0,16 0,32 V tabulce 5.20 jsou červeně vyznačeny hodnoty tohoto převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu, které jsou považovány za prokázané podle mezní hodnoty uvedené tabulce 5.19. Tab. 5.20 Změny převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu vůči základní etapě zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm] Bod 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15-45 0,26 0,23 0,41 0,15 0,31 0,47 0,39 0,07 0,19 0,37 16-46 -0,06 0,04 0,21 0,08-0,12 0,33 0,06-0,02-0,13 0,18 Změna převýšení mezi body na severní stěně je prokázaná v etapách 23, 26, 27 a 30. Dvacátá šestá, kde je tato změna největší, je zároveň jedinou etapou, kde je prokázána i změna převýšení na jižní stěně. Veškeré prokázané změny převýšení jsou kladné a nepřesahují hodnotu 0,5 mm. 5.7 VYHODNOCENÍ PŘEVÝŠENÍ URČENÉHO POMOCÍ PŘESNÉ NIVELACE Jak je uvedeno v kapitole 5.5, byly vypočteny změny výšek pozorovaných bodů vztažených nejprve k bodu 100 ( absolutní svislé posuny) a následně k bodu 15 (relativní svislé posuny) a změny převýšení mezi proti sobě ležícími body a mezi prvním a čtvrtým řezem. Veškeré změny jsou vztaženy ke dvacáté etapě, která byla změřena 8. listopadu 2007 a já ji ve své práci považuji za základní. Hodnoty převýšení s označením prokázaných změn jsou uvedeny v tabulkách v kapitole 5.6. 73

Přesná nivelace 5.7.1 VYHODNOCENÍ ZMĚNY VÝŠEK POZOROVANÝCH BODŮ Změny výšek jednotlivých bodů jsou vykresleny v následujících grafech. Modrou barvou jsou uvedeny změny výšek bodů na severní stěně a červenou barvou jsou znázorněny body na jižní stěně. Body na jižní stěně vykazují nepatrně větší změny, než je tomu na straně severní, pouze u řezu 3 je tomu naopak. To může být způsobeno umístěním řezu u příčné lodi a u přechodu v gotickou část chrámu. V grafu, který odpovídá čtvrtému řezu, je vidět, že změny bodů na obou stranách chrámu jsou téměř identické. Žlutou barvou jsou v grafech vyneseny vnitřní teploty. Závislost svislých posunů na teplotě není patrná. Grafy týkající se řezů 1, 3 a 4 jsou uvedeny v přílohách A.2.1. Graf 5.1: Změny výšek bodů, vztaženo k bodu č. 100 řez 2. 1,50 Změna výšek bodů 2. řezu - vztaženo k bodu 100 20,0 změna výšek [mm] 1,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 Bod 25 Bod 26 průběh teploty Graf 5.2 znázorňuje hodnoty bodů řezu číslo 2, které jsou vztažené k bodu uvnitř katedrály. Oproti předchozímu grafu je vidět mírnější průběh změn převýšení. Prakticky se jedná o kolísání kolem nulové hodnoty. Grafy ostatních řezů jsou opět uvedeny v příloze A.2.1. 74

Přesná nivelace Graf 5.2: Změny výšek bodů, vztaženo k bodu č. 15 řez 2. 1,50 Změna výšek bodů 2. řezu - vztaženo k bodu 15 20,0 změna výšek [mm] 1,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 Bod 25 Bod 26 průběh teploty 5.7.2 VYHODNOCENÍ ZMĚNY PŘEVÝŠENÍ MEZI PROTI SOBĚ LEŽÍCÍMI BODY Jak bylo zjištěno v kapitole 5.6.2, je toto převýšení závislé na přesnosti určení jednoho převýšení. Hodnoty těchto převýšení jsou uvedeny v tabulce 5.17. Z grafů, které jsou přiloženy v příloze A.2.1, a z grafu 5.1 pro řez 2, je patrné, že body proti sobě se pohybují. Body čtvrtého řezu opět vykazují nejmenší převýšení. Body třetího řezu oproti sobě vykazují jako jediné záporné převýšení. To je nejspíš způsobeno umístěním u příčné lodi. Převýšení mezi body 15 16 a 25 26 je kladné a dosahují maximální hodnoty 0,44 mm v 25 etapě u řezu 1. Žlutě jsou opět vykresleny vnitřní teploty. Převýšení 25-26 značí rozdíl výšky bodu 26 minus 25 a v grafu 5.3, je tedy patrné, že dochází ke zdvihu jižní stěny katedrály. 75

Přesná nivelace Graf 5.3: Změny převýšení mezi protilehlými body řez 2. 1,50 Změna převýšení mezi body 25-26 20,0 změna převýšení [mm] 1,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 body 25-26 průběh teploty 5.7.3 VYHODNOCENÍ ZMĚNY PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY PRVNÍHO A ČTVRTÉHO ŘEZU Převýšení mezi body na severní stěně je výraznější než na stěně jižní, ale na grafu 5.4 je vidět přibližně stejný průběh obou převýšení. Toto převýšení bylo vypočteno z výšek bodů prvního a čtvrtého řezu, jak bylo uvedeno v kapitole 5.5.3. V grafu 5.4 je zelenou barvou uvedeno převýšení mezi body na severní stěně a fialovou barvou pak body na jižní stěně. Teplota je vynesena žlutou barvou, je patrné, že vliv teploty zde není. 76

Přesná nivelace Graf 5.4: Změny převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu. 1,50 Změna převýšení mezi body 1. a 4. řezu 20,0 změna převýšení [mm] 1,00 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 body 15-45 body 16-46 průběh teploty 77

Závislost posunů na čase a teplotě 6 ZÁVISLOST POSUNŮ NA ČASE A TEPLOTĚ Posouzení závislosti posunů na čase a teplotě bylo provedeno metodou nejmenších čtverců, vyrovnáním zprostředkujících měření. Díky tomuto posouzení můžeme lépe pochopit pohyby konstrukce katedrály sv. Víta. Vliv teploty i času byl určován rozdílem od 20. etapy, která je brána v této práci jako základní. V tabulce 6.1 je uveden souhrn těchto hodnot. Tab. 6.1 Přehled času, teplot a jejich rozdíly od základní etapy. Δt datum t uvnitř t vně Δc Δt uvnitř vně [ C] [ C] [měsíc] [ C] [ C] 20. 8.11.2007 10,1 11,0 0,0 0,0 0,0 21. 22.4.2008 12,3 11,3 5,5-2,2-1,2 22. 6.11.2008 12,1 10,8 12,0-2,0-0,7 23. 20.4.2009 16,4 21,4 17,4-6,3-11,3 24. 27.10.2009 13,8 13,5 23,6-3,7-3,4 25. 3.5.2010 15,4 14,3 29,8-5,2-4,2 26. 14.10.2010 12,8 11,5 35,2-2,7-1,4 27. 11.4.2011 13,7 19,0 41,1-3,6-8,9 28. 17.10.2011 14,5 18,1 47,3-4,4-8,0 29. 2.5.2012 18,7 24,3 53,8-8,6-14,2 30. 17.4.2013 12,0 15,9 65,3-1,9-5,8 Další vstupní hodnotou do vyrovnání byly výsledné hodnoty zkoumaných posunů z deseti etap. Byl sestaven odpovídající počet funkčních vztahů., (6.1) kde je příslušný posun [mm] je rozdíl n-té etapy v čase od 20. etapy [měsíc] je rozdíl teploty v n-té etapy od 20. etapy [ C] je proměnná vyjadřující vliv změny času o 1 měsíc na posun [mm/měsíc] je proměnná vyjadřující vliv změny teploty o 1 C na posun [mm/ C]. 78

Závislost posunů na čase a teplotě Veličiny a jsou neznámé a pro jejich určení je nutný počet měření roven dvěma. Z deseti měřených etap je tedy osm nadbytečných měření. Výsledkem výpočtu jsou vyrovnané hodnoty těchto neznámých, vlivu času a teploty na posuny a jejich směrodatné odchylky. Rovnice oprav pro funkční vztah má následující tvar:, (6.2) kde je matice plánu je diferenciální přírůstek je vektor redukovaného měření. Pro výpočet bylo potřeba zvolit přibližné hodnoty neznámých veličin a. Vektor redukovaného měření se určil ze vzorce (6.3) (6.3) Matice plánu byla sestavena pomocí parciálních derivací funkčního vztahů podle neznámých. Podmínka MNČ určuje, že, proto je pro vektor diferenciálních přírůstků stanoven vztah (6.4)., (6.4) kde je váhová matice, která je vzhledem ke způsobu měření jednotková. Vyrovnané hodnoty neznámých se určí podle vzorců (6.5) a (6.6). (6.5) (6.6) Kontrola byla provedena pomocí dvou rovnic oprav, první rovnice je (6.2) a druhá je (6.7). (6.7) 79

Závislost posunů na čase a teplotě Tyto dva druhy oprav by se měli rovnat. Směrodatné odchylky vyrovnaných hodnot se vypočetly podle vzorce (6.8)., (6.8) kde je jednotková směrodatná odchylka je počet nadbytečných měření = 8 jsou prvky diagonální matice 6.1 ZÁVISLOST NÁKLONŮ NA ČASE A TEPLOTĚ V závislosti na čase a venkovní teplotě byly posuzovány průměrné náklony pro každou etapu podélné a příčné lodě (I), průměrné náklony severní a jižní stěny katedrály (II) a také pro jednotlivé pilíře (III). V tabulce 6.2 jsou uvedeny vstupní hodnoty pro vyrovnání I a II. Vstupní hodnoty pro jednotlivé pilíře jsou uvedeny v tabulce 4.4. Tab. 6.2 Vstupní hodnoty pro náklony I a II [mm]. řez 1-4 průměrné náklony řez 5-6 severní stěna jižní stěna 21 0,11 0,09 0,22 22 0,06 0,04-0,13 0,25 23 0,36 0,11 0,01 0,71 24-0,20-0,03-0,38-0,02 25 0,02-0,14-0,29 0,32 26 0,04 0,11-0,21 0,29 27 0,16 0,12-0,11 0,44 28 0,21-0,10-0,26 0,67 29 0,51 0,14 1,02 30 0,44 0,30 0,28 0,60 Vstupní hodnoty pro čas a teplotu jsou vidět v tabulce 6.1. Výpočet byl proveden v programu Matlab R2008a a výpočetní skript je přiložen v elektronických přílohách B. Vyrovnané hodnoty a jejich směrodatné odchylky 80

Závislost posunů na čase a teplotě jsou uvedeny v tabulce 6.3. K vyhodnocení bylo použito jednostranného testu Studentova rozdělení. Byl stanoven vliv času a vliv teploty. (6.9) (6.10) Kritická hodnota byla získána z tabulky pro Studentovo rozdělení [15], kde hladina významnosti byla zvolena jako a stupeň volnosti odpovídá počtu nadbytečných měření. Pokud absolutní hodnota nebo překročí testovací hodnotu je považován vliv za statisticky prokázaný. V tabulce 6.3 jsou tyto hodnoty zvýrazněny červenou barvou. Tab. 6.3 Vliv času a teploty na náklony v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané a [mm/měsíc] řezy 1-4 16 22 0,73 0,0268 0,0126 2,13 0,02 0,10 0,80 řezy 5-6 20 19 1,05 03 0,0105 0,03 0,02 0,13 0,01 severní stěna -21 33-0,64 25 0,0187 0,13-0,03-0,14 0,07 jižní stěna 52 23 2,26 0,0513 0,0131 3,92 0,06 0,34 1,54 pilíř 11-13 76 95 0,80 0,0724 0,0539 1,34 0,09 2,17 pilíř 12-14 -0,0110 0,0100-1,10-0,0892 0,0566-1,58-0,13-0,72-2,68 pilíř 21-23 -0,0100 69-1,45-0,0697 0,0391-1,78-0,12-0,65-2,09 pilíř 22-24 76 75 1,01 0,1608 0,0425 3,78 0,09 4,82 1,86 pilíř 31-33 -25 36-0,69-0,0118 0,0203-0,58-0,03-0,16-0,35 pilíř 32-34 37 70 0,53 0,0887 0,0396 2,24 0,04 0,24 2,66 pilíř 41-43 -30 35-0,86 0,0185 0,0198 0,93-0,04-0,20 0,55 pilíř 42-44 0,0210 41 5,12 0,0462 0,0231 2,00 0,25 1,37 1,39 pilíř 51-53 -31 15-2,07 0,0168 84 1,99-0,04-0,20 pilíř 52-54 90 47 1,91 0,0276 0,0264 1,05 0,11 0,59 0,83 pilíř 61-63 -72 53-1,36-0,0719 0,0300-2,40-0,09-0,47-2,16 pilíř 62-64 92 41 2,24 0,0287 0,0231 1,24 0,11 0,60 0,86 Byly vyčísleny i vlivy času za 1 rok a za celou dobu měření, tedy za 65 měsíců. Hodnota vyjadřuje vliv za změnu teploty o 30 C. V tabulce 6.3 je vidět, že vliv teploty je prokázán u náklonů všech řezů hlavní lodi na jižní straně chrámu. Vliv času byl prokázán opět u pilířů na jižní straně a to především výraznou hodnotou u řezu 4. Závislost na čase vyjadřují převážně pilíře příčné lodi chrámu. s a [mm/měsíc] T a b [mm/ C] s b [mm/ C] T b T α,n' q rok [mm] q měření [mm] q T [mm] 81

Závislost posunů na čase a teplotě Velikost náklonu za rok dosahuje maximální 0,2 mm, a to u pilíře 42 44, a pouze u tohoto pilíře přesáhne náklon za celou dobu měření 1mm. Vliv teploty je při změně o 30 C je nejvýraznější u pilíře 22 24. Při této teplotní změně by u tohoto pilíře mohlo dojít k náklonu o více než 4 mm. Je patrné, že jižní stěna je na změnu teploty náchylnější než severní. 6.2 ZÁVISLOST ZMĚN ROZPĚTÍ NA ČASE A TEPLOTĚ U změny rozpětí v katedrále sv. Víta byly vyčísleny závislosti času a vnější teploty u rozpětí mezi dolními a horními body řezů podélné a příčné lodi. Vstupní hodnoty jsou uvedeny v tabulce 6.1 a 6.4. Pro posouzení vlivu na jednotlivá rozpětí byla vstupními hodnotami tabulka 4.14. Tab. 6.4 Vstupní hodnoty pro změny rozpětí [mm]. průměrná změna rozpětí dolní body řez řez 1-4 5-6 horní body řez řez 1-4 5-6 21 0,02 0,59 0,08 22 0,07 0,15-0,46 0,04 23 0,13 0,84-1,69 0,10 24 0,22 0,59-0,39 0,27 25 0,10 0,80-1,81-0,09 26 0,48 0,49-0,15 0,20 27 0,22 0,66-1,39 0,01 28 0,46 0,68-0,24 0,35 29-0,03 1,28-2,74-0,57 30 0,05 0,89-1,77-0,12 Vyhodnocení vyrovnání proběhlo stejným způsobem jako v kapitole 6.1. Překročením kritické hodnoty se projeví vliv času či vnější teploty. Prokázané hodnoty jsou v tabulce 6.5 zvýrazněny červenou barvou. 82

Závislost posunů na čase a teplotě Tab. 6.5 Vliv času a teploty na změny rozpětí v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou a [mm/měsíc] sa [mm/měsíc] T a prokázané. b [mm/ C] [mm/ C] [mm] [mm] dolní 1-4 57 28 2,04-99 0,0161-0,61 0,07 0,37-0,30 dolní 5-6 0,0110 37 2,97 0,0491 0,0209 2,35 0,13 0,72 1,47 horní 1-4 -0,0120 0,0100-1,20-0,1330 0,0587-2,27-0,14-0,78-3,99 horní 5-6 23 38 0,61-0,0200 0,0216-0,93 0,03 0,15-0,60 rozpětí 11-12 -86 40-2,15 0,0178 0,0228 0,78-0,10-0,56 0,53 rozpětí 13-14 -0,0270 0,0180-1,50-0,1420 0,1030-1,38-0,32-1,76-4,26 rozpětí 21-22 41 27 1,52 0,0166 0,0154 1,08 0,05 0,27 rozpětí 23-24 -0,0130 0,0120-1,08-0,2078 0,0672-3,09-0,16-0,85-6,23 1,86 rozpětí 31-32 0,0200 74 2,70-0,0140 0,0420-0,33 0,24 1,31-0,42 rozpětí 33-34 73 71 1,03-0,0861 0,0402-2,14 0,09 0,48-2,58 rozpětí 41-42 69 70 0,99-0,0607 0,0397-1,53 0,08 0,45-1,82 rozpětí 43-44 -0,0140 82-1,71-0,0967 0,0463-2,09-0,17-0,91-2,90 rozpětí 51-52 0,0110 38 2,89 0,0399 0,0218 1,83 0,13 0,72 1,20 rozpětí 53-54 33 37 0,89 0,0186 0,0212 0,88 0,04 0,22 0,56 rozpětí 61-62 0,0120 42 2,86 0,0579 0,0239 2,42 0,14 0,78 1,74 rozpětí 63-64 12 53 0,23-0,0583 0,0302-1,93 0,01 0,08-1,75 sb T b T α,n' q rok q měření q T [mm] Vliv času byl prokázán pouze u dolních bodů, konkrétně u řezů 1, 3, 5 a 6. Tomu odpovídá i prokázání vlivu času u průměrného rozpětí u dolních bodů řezů obou lodí katedrály. Vliv teploty je naopak prokázán u horních bodů podélné lodi. V příčné lodi, tedy u řezů 5 a 6, je pak vliv teploty prokázán u dolních bodů. Za celou dobu měření největší změnu rozpětí vykazuje rozpětí mezi body 31 32 a to změnu přes 1 mm. Při změně teploty o 30 C by největší změnu, přes 6 mm, zaznamenaly body 23 24. Pilíř číslo 2 se nachází v blízkosti velké věže a je pravděpodobné, že její konstrukce tento řez ovlivňuje. 6.3 ZÁVISLOST ZMĚN PŘEVÝŠENÍ NA ČASE A TEPLOTĚ Vyrovnání zprostředkujících měření bylo aplikováno i na změny převýšení. Byl zjišťován vliv času a vnitřní teploty na převýšení mezi body na levé a pravé straně, pro pilíře na severní a jižní stěně a také pro průměrnou změnu převýšení pro každou etapu pro podélnou a příčnou loď. Dále byla vyhodnocena závislost na čase a vnitřní teplotě pro změnu převýšení mezi body na pravé a levé straně. Zde byly vyhodnoceny dolní a horní body podélné a příčné lodi. 83

Závislost posunů na čase a teplotě Vstupní hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 6.1 a 6.6 pro změny převýšení mezi body na levé a pravé straně. Změny převýšení mezi body na levé a pravé straně jsou uvedeny v tabulce 4.17. Tab. 6.6 Vstupní hodnoty pro změny převýšení mezi body na levé a pravé straně [mm]. průměrná změna převýšení řez 1-4 řez 5-6 severní stěna jižní stěna 21 0,52 0,67 0,45 0,59 22 0,35 0,78 0,39 0,31 23 1,45 2,45 1,55 1,35 24 0,77 1,21 1,01 0,53 25 1,68 2,44 1,78 1,58 26 1,15 1,24 1,26 1,05 27 1,29 2,07 1,41 1,17 28 1,29 1,67 1,41 1,16 29 1,71 2,96 1,66 1,77 30 0,97 2,08 1,01 0,93 Obdobným způsobem jako v předchozích kapitolách byly vypočteny hodnoty a a zjištěna hodnota. Tab. 6.7 Vliv času a teploty na změny převýšení mezi body na pravé a levé straně v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané. a sa b sb q q T a T měření b T rok α,n' [mm/měsíc] [mm/měsíc] [mm/ C] [mm/ C] [mm] [mm] q T [mm] řezy 1-4 0,0110 39 2,82 0,1799 0,0326 5,52 0,13 0,72 5,40 řezy 5-6 0,0190 53 3,58 0,2693 0,0444 6,07 0,23 1,24 8,08 severní stěna 0,0120 47 2,55 0,1858 0,0393 4,73 0,14 0,78 5,57 jižní stěna 96 36 2,67 0,1744 0,0302 5,77 0,12 0,63 5,23 převýšení 11-13 23 66 0,35 0,2528 0,0546 4,63 0,03 0,15 7,58 převýšení 12-14 48 66 0,73 0,1733 0,0547 3,17 0,06 0,31 5,20 převýšení 21-23 0,0190 52 3,65 0,1711 0,0436 3,92 0,23 1,24 5,13 převýšení 22-24 74 38 1,95 0,1885 0,0314 6,00 0,09 0,48 5,66 1,86 převýšení 31-33 0,0130 0,0100 1,30 0,1646 0,0858 1,92 0,16 0,85 4,94 převýšení 32-34 0,0160 70 2,29 0,2368 0,0583 4,06 0,19 1,04 7,10 převýšení 41-43 0,0140 73 1,92 0,1561 0,0610 2,56 0,17 0,91 4,68 převýšení 42-44 0,0110 55 2,00 0,0966 0,0461 2,10 0,13 0,72 2,90 převýšení 51-53 0,0380 94 4,04 0,3166 0,0782 4,05 0,46 2,48 9,50 převýšení 52-54 0,0140 75 1,87 0,2507 0,0620 4,04 0,17 0,91 7,52 převýšení 61-63 0,0250 58 4,31 0,2879 0,0481 5,99 0,30 1,63 8,64 převýšení 62-64 10 35 0,29 0,2198 0,0294 7,48 0,01 0,07 6,59 84

Závislost posunů na čase a teplotě Je patrné, že toto převýšení je v každém případě velmi ovlivněno teplotou. Mezi body 51 a 53 je tento vliv nejvýraznější, při změně o 30 C by byla změna tohoto převýšení o více než 9 mm. Vliv času byl statisticky prokázán u všech převýšení kromě obou pilířů 1. řezu, pilíře řezu 3 na severní stěně a pilíře 62 64. Za mnou vyhodnocovanou dobu měření vykazuje statisticky největší změnu pilíř 51 53. Je zřejmé, že se zvýšením teploty dochází k roztažnosti jednotlivých pilířů. Vstupní hodnoty pro změny převýšení mezi dolními a horními body jsou uvedeny v tabulce 6.8, pro jednotlivá převýšení v tabulce 4.18. Výsledné hodnoty vypovídající o vlivu času a teploty jsou v tabulce 6.9 s červeně zvýrazněnými prokázanými hodnotami. Tab. 6.8 Vstupní hodnoty pro změny převýšení mezi dolními a horními body [mm]. průměrná změna převýšení dolní body řez řez 1-4 5-6 horní body řez řez 1-4 5-6 21 0,02 0,28 0,15-0,52 22 0,11 0,08 0,03-0,22 23-0,07 0,47-0,28-0,69 24 0,07 0,10-0,41-0,96 25 0,05 0,43-0,15-0,73 26 0,09 0,39-0,12-0,78 27-0,02 0,36-0,26-0,84 28 0,14 0,32-0,11-0,72 29-0,14 0,21-0,04-0,40 30-0,08 0,89-0,15-0,26 85

Závislost posunů na čase a teplotě Tab. 6.9 Vliv času a teploty na změny převýšení mezi dolními a horními body v katedrále sv. Víta, červené hodnoty jsou prokázané. a sa b sb q q T a T měření b T rok α,n' q T [mm] [mm/měsíc] [mm/měsíc] [mm/ C] [mm/ C] [mm] [mm] dolní 1-4 03 15 0,17-29 0,0124-0,23 0,02-0,09 dolní 5-6 0,0100 32 3,13-48 0,0267-0,18 0,12 0,65-0,14 horní 1-4 -19 25-0,76-0,0165 0,0207-0,80-0,02-0,12-0,49 horní 5-6 -46 55-0,84-0,0918 0,0457-2,01-0,06-0,30-2,75 převýšení 11-12 17 13 1,31 0,0481 0,0111 4,33 0,02 0,11 1,44 převýšení 13-14 44 32 1,38-0,0326 0,0267-1,22 0,05 0,29-0,98 převýšení 21-22 54 12 4,50-64 98-0,66 0,06 0,35-0,19 převýšení 23-24 -58 45-1,29 0,0108 0,0376 0,29-0,07-0,38 0,32 1,86 převýšení 31-32 -79 41-1,93-0,0637 0,0339-1,88-0,09-0,52-1,91 převýšení 33-34 -49 43-1,14 82 0,0361 0,23-0,06-0,32 0,25 převýšení 41-42 20 30 0,67 80 0,0245 0,33 0,02 0,13 0,24 převýšení 43-44 -10 33-0,30-0,0515 0,0273-1,89-0,01-0,07-1,55 převýšení 51-52 70 39 1,79-20 0,0324-0,06 0,08 0,46-0,06 převýšení 53-54 -43 78-0,55-0,0950 0,0647-1,47-0,05-0,28-2,85 převýšení 61-62 0,0140 29 4,83-92 0,0241-0,38 0,17 0,91-0,28 převýšení 63-64 -49 41-1,20-0,0891 0,0338-2,63-0,06-0,32-2,67 Vzhledem k tomu, že toto převýšení je nepoměrně menší než převýšení mezi body na pravé a levé straně, je změna převýšení mezi body dolními a horními teplotou ovlivněna výrazně méně. Horní body příčného řezu jsou ovlivněny teplotou a dolní body tohoto řezu jsou ovlivněny časem. Nejvíce jsou statisticky časem ovlivněny dolní body řezu číslo 6. Za jeden rok by tyto body vykazovaly změnu převýšení o cca 0,17 mm. Horní body tohoto řezu vykazují největší změnu při hodnocení změny teploty a to o více než 2,6mm. Většina převýšení uvedených v této tabulce vykazuje zmenšení převýšení při zvýšení teploty. 86

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace 7 POROVNÁNÍ PŘEVÝŠENÍ URČENÉHO METODOU TRIGONOMETRIE A METODOU PŘESNÉ NIVELACE V této kapitole je provedeno srovnání převýšení měřeného v katedrále sv. Víta pomocí dvou geodetických metod. V kapitole 7.1 je uvedeno srovnání převýšení mezi body jednotlivých řezů a v kapitole 7.2 je srovnáno převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu. Nivelované převýšení je vztaženo k bodům X5 na severní stěně a X6 na jižní stěně. Trigonometricky určené převýšení je mezi body X1 (severní stěna) a X2 (jižní stěna); X značí příslušné číslo řezu. Výpočet převýšení určeného trigonometricky je uveden v kapitole 4 a výpočet převýšení, které je určeno přesnou nivelací, je uveden v kapitole číslo 5, v této kapitole jsou uvedeny pouze výsledné hodnoty změn převýšení. 7.1 POROVNÁNÍ PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY JEDNOTLIVÝCH ŘEZŮ V tabulce 7.1 jsou vedle sebe uvedeny změny převýšení určené nivelaci a trigonometrickou metodou. Červeně označené hodnoty jsou považovány za prokázané, jak bylo stanoveno v kapitole 4 a 5. Z tabulky 7.1 je patrné, že změny převýšení mezi dolními body vztažené k 20. etapě byly v prvním a druhém řezu prokázány převážně metodou přesné nivelace. V třetím řezu došlo k prokázání oběma metodami, zatímco ve čtvrtém řezu není žádná prokázaná změna převýšení. Dle hodnot změn převýšení je vidět, že pouze řez 3, který je v blízkosti přechodu mezi gotickým a neogotickým zdivem, vykazuje zkrácení svislé vzdálenosti mezi body na severní a jižní stěně. 87

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace Tab. 7.1 Přehled převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou, červeně zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm]. řez 1 řez 2 řez 3 řez 4 15-16 11-12 25-26 21-22 35-36 31-33 45-46 41-42 20 21 0,23 0,18 0,26 0,05-0,41-0,28-0,09 0,11 22 0,13 0,10-0,01 0,16-0,12-0,22-0,05 0,38 23 0,17 0,18 0,14-0,06-0,53-0,04 0,13 24 0,11 0,34 0,10 0,16-0,12-0,46 0,04 0,24 25 0,44 0,39 0,29 0,17-0,55-0,56 0,01 0,18 26 0,25 0,23 0,09 0,10-0,46-0,23 0,11 0,25 27 0,38 0,15 0,30 0,29-0,72-0,71 0,05 0,20 28 0,17 0,27 0,27 0,17-0,36-0,04 0,09 0,14 29 0,37 0,54 0,14 0,26-0,64-1,21 0,04-0,16 30 0,24 0,18 0,18 0,32-0,94-0,90 0,04 0,09 Podle vzorce (7.1) se vypočetl rozdíl změn převýšení určených jednotlivými geodetickými metodami., (7.1) kde je rozdíl změn převýšení pro jednotlivé řezy, je změna převýšení určená přesnou nivelací a je změna převýšení určená trigonometrickou metodou. Tab. 7.2 Rozdíly převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou [mm]. Δ 1 Δ 2 Δ 3 Δ 4 20 21 0,05 0,21-0,13-0,20 22 0,03-0,17 0,10-0,43 23-0,01 0,20 0,03-0,17 24-0,23-0,06 0,34-0,20 25 0,05 0,12 0,01-0,17 26 0,02-0,01-0,23-0,14 27 0,23 0,01-0,01-0,15 28-0,10 0,10-0,32-0,05 29-0,17-0,12 0,57 0,20 30 0,06-0,14-0,04-0,05 88

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace Jednotlivými metodami byly měřeny odlišné veličiny, převýšení u přesné nivelace, délky a zenitové úhly u trigonometrické metody. Proto se rozdíly ve změnách převýšení nerovnají rozdílům jejich mezních hodnot. Pro zjištění směrodatné odchylky rozdílu dvou převýšení se vychází ze vzorce (7.1), po úpravě získáváme konečný výraz (7.2)., (7.2) kde je směrodatná odchylka změny převýšení určené z nivelace, je směrodatná odchylka změny převýšení určené trigonometricky. Mezní hodnota tohoto rozdílu se vypočetla podle (7.3)., (7.3) kde je koeficient spolehlivosti 2. V následující tabulce je uveden přehled použitých směrodatných odchylek pro jednotlivé řezy a výsledné mezní hodnoty. Tab. 7.3 Směrodatné odchylky změn převýšení a výsledná mezní hodnota pro jednotlivé řezy [mm]. řez σδh σδn σδ Δmet 1. 0,19 0,07 0,20 0,40 2. 0,16 0,07 0,17 0,35 3. 0,16 0,07 0,17 0,35 4. 0,20 0,07 0,21 0,42 V tabulce 7.4 jsou červeně zvýrazněné hodnoty, které překročily mezní hodnotu. Vzhledem k tomu, že většina hodnot mezní hodnotu nepřekročila, můžeme konstatovat, že převýšení z obou metod si v rámci jejich přesnosti odpovídá. 89

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace Tab. 7.4 Rozdíly převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou, červeně vyznačené hodnoty překročily mezní hodnotu [mm]. Δ 1 Δ 2 Δ 3 Δ 4 20 21 0,05 0,21-0,13-0,20 22 0,03-0,17 0,10-0,43 23-0,01 0,20 0,03-0,17 24-0,23-0,06 0,34-0,20 25 0,05 0,12 0,01-0,17 26 0,02-0,01-0,23-0,14 27 0,23 0,01-0,01-0,15 28-0,10 0,10-0,32-0,05 29-0,17-0,12 0,57 0,20 30 0,06-0,14-0,04-0,05 V grafu 7.1 jsou znázorněny rozdíly mezi dvakrát určeným převýšením v jednotlivých řezech. Žlutě vynesená teplota ukazuje, že s rostoucí teplotou roste i rozdíl mezi převýšeními a to zejména u třetího řezu. Graf 7.1:Rozdíly změn převýšení mezi body jednotlivých řezů. 1,00 Rozdíly změn převýšení mezi body jednotlivých řezů 20,0 rozdíly změn převýšení [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 10,0 5,0 řez 1 řez 2 řez 3 řez 4 průběh teploty 0,0 90

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace 7.2 POROVNÁNÍ PŘEVÝŠENÍ MEZI BODY 1. A 4. ŘEZU Dalším porovnáním je nivelované a trigonometricky zjištěné převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu, tedy přes podélnou část katedrály. V tabulce 7.5 je uveden přehled změn převýšení a červeně jsou opět zvýrazněny hodnoty, které považujeme za prokázané. I u tohoto převýšení je prokázaná změna patrnější u změny převýšení určeného velmi přesnou nivelací. Tab. 7.5 Přehled převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou, červeně zvýrazněné hodnoty jsou prokázané [mm]. severní stěna jižní stěna 15-45 11-41 16-46 12-42 20 21 0,26-0,01-0,06-0,08 22 0,23-0,21 0,04 0,07 23 0,41-0,18 0,21-0,22 24 0,15-0,09 0,08-0,19 25 0,31 0,09-0,12-0,12 26 0,47-0,05 0,33-0,03 27 0,39-0,06 0,06-0,01 28 0,07-0,07-0,02-0,20 29 0,19 0,69-0,13-0,01 30 0,37 0,19 0,18 0,10 Byly vypočteny rozdíly mezi těmito metodami podle (7.1) a výsledky jsou uvedeny v tabulce 7.6. Tab. 7.6 Rozdíly převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou [mm]. Δ S Δ J 20 21 0,26 0,02 22 0,44-0,03 23 0,58 0,42 24 0,24 0,27 25 0,22 26 0,52 0,36 27 0,45 0,07 28 0,14 0,18 29-0,49-0,11 30 0,18 0,08 91

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace Směrodatná odchylka a příslušná mezní hodnota pro rozdíl změny převýšení prvního a čtvrtého řezu se vypočte podle (7.2) a (7.3). Tab. 7.7 Směrodatná odchylka změn převýšení a výsledná mezní hodnota [mm]. převýšení σδh σδn σδ Δmet 1-4 0,18 0,16 0,24 0,48 Vypočtené rozdíly změn převýšení byly porovnány s mezní hodnotou uvedenou v tabulce 7.7 a ty, které tuto mez překročily, jsou v následující tabulce zvýrazněny červenou barvou. Tab. 7.8 Rozdíly převýšení určeného nivelací a trigonometrickou metodou, červeně vyznačené hodnoty překročily mezní hodnotu [mm]. Δ S Δ J 20 21 0,26 0,02 22 0,44-0,03 23 0,58 0,42 24 0,24 0,27 25 0,22 26 0,52 0,36 27 0,45 0,07 28 0,14 0,18 29-0,49-0,11 30 0,18 0,08 Mezní hodnotu překročily pouze tři hodnoty u severní stěny. Ostatní hodnoty splnily dosaženou přesnost. Lze tedy konstatovat, že hodnoty změn převýšení prvního a čtvrtého řezu určeného různými geodetickými metodami si odpovídají. Grafické znázornění těchto posunů je uvedeno v grafu 7.2, kde žlutě je opět znázorněna teplota při měření. 92

Porovnání převýšení určeného metodou trigonometrie a metodou přesné nivelace Graf 7.2:Rozdíly změn převýšení mezi prvním a čtvrtým řezem. Rozdíly změn převýšení mezi 1. a 4. řezem 1,00 20,0 rozdíly změn převýšení [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 10,0 5,0 severní stěna jižní stěna průběh teploty 0,0 93

Závěr 8 ZÁVĚR Cílem diplomové práce bylo zpracování a zhodnocení etapových měření vodorovných a svislých posunů v katedrále sv. Víta. Veškeré výpočty jsou vztaženy ke 20. etapě, kterou ve své práci považuji za základní. V první části diplomové práce se zabývám trigonometrickým měřením. Z měřených vodorovných a zenitových úhlů a vzdáleností, které byly měřeny v nulté etapě v červnu 2000, byly vypočteny vodorovné náklony, změny rozpětí a změny převýšení mezi body na levé a pravé straně a mezi dolními a horními body. Byla odvozena přesnost určovaných veličin a porovnána s očekávanou přesností. U žádného z řezů nedošlo u vodorovných úhlů k překročení očekávané směrodatné odchylky 0,21 mgon a bylo tedy určeno, že měření proběhlo s dostatečnou přesností. U zenitových úhlů byla očekávaná přesnost překročena u řezů 2 a 4, kdy dosažená přesnost je 0,16 mgon, zatímco očekávaná dosahuje hodnoty pouze 0,15 mgon. To může být způsobeno tím, že měření v katedrále probíhá v pozdních hodinách, kdy je zhoršená viditelnost. Z vyhodnocení náklonů je patrné, že nejvíce prokázaných náklonů se vyskytuje u řezu číslo 2, který je velmi ovlivňován velkou věží. Největší náklon dosahuje jižní pilíř právě tohoto druhého řezu a to přes - 2mm. Záporné znaménko značí náklon k ose chrámu. Na grafech uvedených v kapitole 4.7.1 je vidět, že s rostoucí teplotou dochází k náklonům dovnitř podélné lodi katedrály, tedy k ose. Změny rozpětí, které jsou vyhodnocovány v kapitole 4.6.2, jsou logicky nejvíce prokázány opět u druhého řezu, konkrétně mezi jeho horními body. U všech řezů hlavní lodi katedrály dochází ke zkrácení vzdálenosti mezi pozorovanými body. Z grafů opět vyplývá, že s rostoucí teplotou dochází ke zmenšení vzdálenosti mezi body. Teplota v základní etapě byla nejnižší za celé mnou sledované období. Změna převýšení byla určována mezi body na levé a pravé straně, tedy body na jednotlivých pilířích a také mezi horními a dolními body jednotlivých řezů. Změny převýšení mezi body na levé a pravé straně jsou prokázány téměř v každé etapě u všech řezů. Největší změny dosahuje přes 4mm u příčné lodi katedrály. V podélné části chrámu je největší změna zaznamenána u jižního pilíře 94

Závěr třetího řezu. S rostoucí teplotou dochází k roztažnosti zdiva pilířů. U změny převýšení mezi dolními a horními body, body ležícími proti sobě, dochází spíše ke zkrácení svislé vzdálenosti mezi nimi, nejvýrazněji u dolních bodů šestého řezu. V další kapitole své diplomové práce se zabývám metodou přesné nivelace, kterou byly v katedrále sv. Víta zjišťovány svislé posuny. Byly určeny změny výšek pozorovaných bodů, které jsou vyhodnoceny ve vztahu ke vztažnému bodu 100, umístěnému na nádvoří hradu, a následně k bodu 15. Nejvíce dochází k relativní změně výšky u bodu 35, který se nachází na severní straně a na pomezí mezi novodobou a gotickou částí chrámu. Dále bylo vyhodnocováno převýšení mezi body ležícími proti sobě. Změny převýšení byly nejvýraznější u bodů 35 36 což odpovídá předchozím výsledkům při určování poklesů a zdvihů jednotlivých bodů. Maximální hodnoty dosahuje ve 30. etapě a to -0,94 mm, bod 35 se tedy oproti bodu 36 zdvihá. Dalším zkoumaným převýšením určeným přesnou nivelací bylo převýšení mezi body prvního a čtvrtého řezu. Hodnoty změny tohoto převýšení nepřesahují 0,5mm a jsou kladné, dochází tedy ke zvětšení svislé vzdálenosti mezi nimi. Vliv teploty na toto převýšení nebyl prokázán. V šesté kapitole se zabývám vyhodnocením závislosti posunů na teplotě a čase. Byla vyhodnocována změna posunů za 1 rok, za dobu měření (65 měsíců) a při změně o 30 C. Bylo zjištěno, že nejvíce jsou na teplotě závislé změny převýšení mezi dolním a horním bodem na jednom pilíři. Tyto změny jsou pouze dočasné. Změny, které vznikají v závislosti na čase, jsou však trvalé a nejvíce se projevují opět u těchto změn převýšení. U náklonů je nejvíce na teplotě závislý pilíř 22 24, ten se nachází u velké věže a je její konstrukcí ovlivňován, jak jsem prokázala ve své bakalářské práci. Na čase je nejvíce závislý pilíř 42 44. Za rok by mohla hodnota jeho náklonu dosáhnout až 1,3 mm. U změny rozpětí je vliv času nejvýraznější u dolních bodů třetího řezu. Rozpětí mezi horními body druhého řezu je naopak nejvíce závislé na změně teploty. Při změně teploty o 30 C by mohlo dojít ke změně o 6,2 mm. Jak bylo řečeno výše, nejvíce je na obou faktorech závislé převýšení mezi body na pilířích, tedy roztažnost pilířů. S rostoucí teplotou dochází k roztažnosti všech pilířů. Převýšení mezi dolními a horními body je závislé na čase (trvalá změna) nejvíce u dolních bodů šestého řezu. 95

Závěr V sedmé kapitole mé práce srovnávám převýšení určené trigonometrickou metodou a metodou přesné nivelace. Oběma metodami bylo zjištěno, že dochází ke zdvihu bodů oproti základní etapě, v níž byla zaznamenána nejnižší teplota. Metoda přesné nivelace má vyšší přesnost, jeví se tedy vhodnější pro určení svislého posunu sloupu. Převýšení mezi dolními body jednotlivých pilířů hlavní lodi vykazuje oběma metodami zdvih, výjimkou je třetí řez, který vykazuje pokles. Rozdíly mezi metodami byly posouzeny pomocí mezního rozdílu. Ten nebyl u převážné většiny převýšení překročen a výsledné hodnoty si tedy odpovídají. Překročení mezní hodnoty u některých převýšení je pravděpodobně způsobeno náhodnými chybami daných metod. Z mnou provedených vyhodnocení vyplývá, že posuny třetího řezu jsou mimo jiné pravděpodobně ovlivněny i jeho umístěním na přelomu dvou částí chrámu, novodobou a gotickou, a pozicí u křížení podélné a příčné lodi. Řez číslo 2 je pak ovlivňován velkou věží, u které se nachází. Po vyhodnocení etapového měření je možno objektivně prokázat vhodnost používaných metod. Metodu přesné nivelace považuji pro sledování svislých posunů za vhodnější. Metoda trigonometrického měření je pak ideální pro sledování vodorovných posunů v katedrále sv. Víta. Kombinace těchto dvou metod je tedy vhodná pro komplexní sledování chování konstrukce chrámu. 96

Použité zdroje POUŽITÉ ZDROJE [1] MAHLER Z.: Katedrála, Nakladatelství Primus, Praha 1994, 95 s., ISBN 80-85625-33-4 [2] DVOŘÁK F.: Po Pražském hradě a okolí, 1. vyd., Nakladatelství Lidové noviny, Praha 2004, 128 s., ISBN 978-80-7106-722-1 [3] BEDRNÍČEK P.: Příběhy pražských svatyní, 2. vyd., Nakladatelství Volvox Globator, Praha 2004, 547 s., ISBN 80-7207-706-9 [4] MERHAUTOVÁ E.: Katedrála sv. Víta v Praze, 1. vyd., Nakladatelství Akademie věd České republiky, Praha 1994, 284 s., ISBN 80-200-0189-1 [5] Poznej Prahu sám. Dostupné online z http://www.praguecityline.cz/prazsky-hrad [cit. 2013 11-13] [6] Leica T1800, TC1800, TCA1800. Dostupné online z http://www.invent.net16.net/ajalugu/images/leicatahhum.pdf [cit. 2013 9-27] [7] Trimble S6 HP. Dostupné online z http://www.korecgroup.com/media/trimble%20s6%20robotic%20total %20Station%20with%20VISION.pdf [cit. 2013 9-12] [8] Měřič teploty - AMIR 7811. Dostupné online z http://www.eis.cz/popisvyr.php3?vcis=750&vuziv=6 [cit. 2013 9-27] [9] RASZYKOVÁ A.: Zhodnocení etapových měření posunů a přetvoření nosných konstrukcí katedrály sv. Víta na Pražském hradě, diplomová práce, Praha 2009, ČVUT, katedra speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Doc. Ing. J. Procházka, CSc. [10] BENDOVÁ M.: Zhodnocení náklonu opěrných pilířů katedrály sv. Víta vlivem teploty a oslunění, Praha 2012, ČVUT, katedra speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Doc. Ing. J. Procházka, CSc. [11] PROCHÁZKA J. VOBOŘILOVÁ P.: Stavební obzor 8/2003, Měření posunů a přetvoření historických staveb geodetickými metodami Vydavatelství ČVUT, Praha 2003. 97

Použité zdroje [12] VOBOŘILOVÁ J. Monitoring of historical building of vide range focused od historical building and slopes, katedra speciální geodézie, Praha 2003. [13] BLAŽEK, SKOŘEPA: Geodézie 3, vydavatelství ČVUT, Praha 2004. [14] HÁNEK P., NOVÁK Z.: Geodézie v podzemních prostorách 10. Vydavatelství ČVUT, Praha 2008, ISBN 987-80-01-03004-2. [15]. HAMPACHER M. RADOUCH V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10, Vydavatelství ČVUT, Praha 2004, 157 s., ISBN 80-01-03012-1. [16] NOVÁK Z. PROCHÁZKA J.: Inženýrská geodézie, 2. vyd., Nakladatelství ČVUT, Praha 1996,181 s., ISBN 80-01-02407-5. [17] VALENTOVÁ I.: Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta na Pražském hradě, Praha 2011, ČVUT, katedra speciální geodézie. Vedoucí diplomové práce Ing. Lenka Línková, Ph.D. 98

Seznam příloh SEZNAM PŘÍLOH A. Přílohy... 100 A.1 Trigonometrické měření... 100 A.1.1 Náklony - grafy... 100 A.1.2 Změny rozpětí - grafy... 112 A.1.3 Změny převýšení grafy... 124 A.2 Přesná nivelace... 136 A.2.1 Přesná nivelace - grafy... 136 B. Elektronické přílohy B.1 Výpočet vlivů času a teploty na náklony B.2 Výpočet vlivů času a teploty na rozpětí B.3 Výpočet vlivů času a teploty na převýšení bodů na pravé a levé straně 1 B.4 Výpočet vlivů času a teploty na převýšení bodů na pravé a levé straně 2 B.5 Výpočet vlivů času a teploty na převýšení mezi dolními a horními body 1 B.6 Výpočet vlivů času a teploty na převýšení mezi dolními a horními body - 2 C. Volné přílohy C.1 Trigonometrické měření C.1.1 Přesnosti při měření vodorovné úhly etapy 20-28 C.1.2 Přesnosti při měření vodorovné úhly etapy 29 a 30 C.1.3 Přesnosti při měření zenitové úhly etapy 20-28 C.1.4 Přesnosti při měření zenitové úhly etapy 29 a 30 C.1.5 Přesnosti po měření vodorovné úhly etapy 20-28 C.1.6 Přesnosti po měření zenitové úhly etapy 20-28 C.2 Přesná nivelace C.2.1 Výpočet nivelace 99

Přílohy A. PŘÍLOHY A.1 TRIGONOMETRICKÉ MĚŘENÍ A.1.1 NÁKLONY - GRAFY Graf A.1 Náklony mezi body 11-13 2,00 21,0 C 1,50 17,5 C náklon [mm] 1,00 14,0 C 10,5 C 7,0 C 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 3,5 C 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.2 Náklony mezi body 12-14 2,00 21,0 C 1,50 17,5 C náklon [mm] 1,00 14,0 C 10,5 C 7,0 C 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 3,5 C 0,0 C náklon průběh teploty 100

Přílohy Graf A.3 Srovnání náklonů pilířů řezu 1 2,00 21,0 C 1,50 17,5 C náklon [mm] 1,00 14,0 C 10,5 C 7,0 C 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 3,5 C náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 0,0 C 101

Přílohy Graf A.4 Náklony mezi body 21-23 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C -2,00 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.5 Náklony mezi body 22-24 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C -2,00 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 0,0 C náklon průběh teploty 102

Přílohy Graf A.6 Srovnání náklonů pilířů řezu 2 21,0 C 18,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 15,0 C 12,0 C 9,0 C -2,00 6,0 C -2,50 3,0 C -3,00 0,0 C náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř 103

Přílohy Graf A.7 Náklony mezi body 31-33 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.8 Náklony mezi body 32-34 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 0,0 C náklon průběh teploty 104

Přílohy Graf A.9 Srovnání náklonů pilířů řezu 3 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 0,0 C 105

Přílohy Graf A.10 Náklony mezi body 41-43 24,0 C 20,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 C 12,0 C 8,0 C -2,00 4,0 C -2,50 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.11 Náklony mezi body 42-44 24,0 C 20,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 C 12,0 C 8,0 C -2,00 4,0 C -2,50 0,0 C náklon průběh teploty 106

Přílohy Graf A.12 Srovnání náklonů pilířů řezu 4 24,0 C 20,0 C náklon [mm] -1,50 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 16,0 C 12,0 C 8,0 C -2,00 4,0 C -2,50 0,0 C náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 107

Přílohy Graf A.13 Náklony mezi body 51-53 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.14 Náklony mezi body 52-54 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 0,0 C náklon průběh teploty 108

Přílohy Graf A.15 Srovnání náklonů pilířů řezu 5 20,0 C 15,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 10,0 C 5,0 C -1,50 náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 0,0 C 109

Přílohy Graf A.16 Náklony mezi body 61-63 20,0 C 16,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 12,0 C 8,0 C -1,50 4,0 C -2,00 0,0 C náklon průběh teploty Graf A.17 Náklony mezi body 62-64 20,0 C 16,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 12,0 C 8,0 C -1,50 4,0 C -2,00 0,0 C náklon průběh teploty 110

Přílohy Graf A.18 Srovnání náklonů pilířů řezu 6 20,0 C 16,0 C náklon [mm] 11.8.2007 5.6.2008 11.3.2008 5.3.2009 10.30.2009 4.29.2010 10.27.2010 4.25.2011 10.23.2011 4.21.2012 10.19.2012 4.17.2013 12,0 C 8,0 C -1,50 4,0 C -2,00 náklon - severní pilíř náklon - jižní pilíř průběh teploty 0,0 C 111