Winklerovo-Pasternakovo dvouparametrické podloží Řešení pružné vrstvy ve Westergardově duchu se řídí podmínkou rovnováhy ve směru gravitace směr osy : w w ( ) + ρgψ d () Výčet použitých symbolů následue: 5; E oed e oedometrický modul G e modul pružnosti ve smyku; e Laplaceův operátor; e spoité plošné atížení vrstvy; e mocnost vrstvy ; ρ e obemová hustota eminy ; g e tíhové rychlení () E oed 8 G Pro výpočty vlivu přitížení uvažueme podmínku rovnováhy be vlivu obemových sil: w ( ) w () Parametr popisue tlakový odpor vrstvy vliv smykového ronášení ve vrstvě V případě (obecně nereálné) le podloží nahradit svislými pružinami Pro lepší pochopení problému preentueme rovnice () pro ednotlivé indexy: w w w w (4) 9 9 w5 w5 5 5 w 7 w 49 7 49 Použieme-li dostatečný počet členů které popisuí rovnováhu ve vrstvě můžeme dosáhnout víceméně libovolné přesnosti Použieme-li poue prvý člen dosáhneme v reálných případech
podloží přesnosti hruba dvacetiprocentní Při větších tloušťkách chyba narůstá ale e nutno připomenout že tloušťka vrstvy e limitována enoménem strukturní pevnosti či předkonsolidace eminy Ve stavební praxi e načně rošířen model podloží Winklerův-Pasternakův (Filoněnkův-Borodičův) kdy rovnováha ve svislém směru e popsána identitou WP w WP w (5) Toto ak iž bylo míněno e určité přibližné řešení pružné vrstvy Kdybychom adoptovali parametry podloží popsané v rovnici () dopustili bychom se chyby podhodnocení tlakového odporu eminy naopak smykový odpor by byl nadhodnocen O pravdivosti tohoto tvrení vypovídaí rovnice (4) Proto e vhodné avést parametry Winklerova-Pasternakova podloží WP (tlakový modul) a WP (smykový modul) které sou sváány se řešením pružné vrstvy rovností matice poddanosti tuhého ákladového pasu Pro Winklerovo-Pasternakovo podloží se matice poddanosti určí rovnosti (6): [ ] [ + b ] WP WP WP b WP WP + b WP b + WP (6) Pro přesněší řešení pružné vrstvy naopak platí identity (7) (8): w ϕ O O n [( n + ) + ( n + ) b ] n ( n + ) b + b + ( n + ) Matice poddanosti [ ] v maticové notaci: m b (7) [( n + ) + ( n + ) b ] n n ( n + ) b + b + ( n + ) b (8)
Následuící obráek uvádíme pro lepší pochopení chování Winklerova-Pasternakova modelu podloží a rovnosti (6) m m w WP ϕ b WP ϕ b WP w WP WP w WP WP ϕ WP ϕ b WP WP ϕ b WP WP Obr Reakce dvouparametrického modelu podloží na atížení ákladového pasu šířky b Vliv hloubky deormační óny a součinitele příčné kontrakce na průběh svislého napětí v pružné vrstvě přibližue obráek V poslední části obráku e porovnán průběh napětí ve vrstvě a poloprostoru (řešení Boussinesquovo)
Obr Průběhy svislého napětí pro růnou tloušťku vrstvy a růný Poissonův součinitel Ponamenáváme že s rostoucí tloušťkou podloží měkne a blíží se řešení poloprostoru Průběh napětí u povrchu v případě Boussinesquova řešení upoorňue na to že toto řešení bylo odvoeno pro ν 5
V případě že náme oedometrický Eoed a smykový modul G pružné vrstvy a náme odhadneme hloubku deormační óny můžeme užitím vtahů () (8) dopočíst složky matice poddanosti nekonečného nekonečně tuhého ákladového pasu Parametry Winklerova-Pasternakova modelu podloží sou dopočteny tak aby matice poddanosti pružné vrstvy popsaná rovnostmi (8) a matice poddanosti nekonečného nekonečně tuhého ákladového pasu spočívaícího na podloží Winklerově-Pasternakově identity (6) byly ekvivalentní Winklerovo-Pasternakovo podloží e určitým standardem obsaženým ve všech sotwareových produktech Otáka která se vždy řešila byla ak odhadnout moduly ložnosti tlakový a smykový Vpomenu-li pana pro Vladimíra Koláře tak ten aváděl restrikci že smykový modul by neměl být větší tlakového Ve své disertační práci sem ukáal že existue souvislost mei pružnou vrstvou a dvouparametrickým modelem podloží Dlouhou dobu se potom odhadovalo kolik může hloubka deormační óny být Tato doporučení sou prakticky doposud v Eurocodu 7 a říkaí že deormační óna nepřesáhne tronásobek menšího roměru ákladu Norma ČSN 7 počítá s určitou souvislostí mei geostatickým napětím a hloubkou deormační óny Protože pro vertikální průběh napětí e použito řešení Boussinesquovo (pružného poloprostoru) které e v přímém roporu s myšlenkou deormační óny avádí součinetele strukturní pevnosti které kosmeticky odstraňuí ropor působený touto skutečností Podobným působem postupue i německá norma DIN 49 ta však má součinitel strukturní pevnosti poue eden m Obr Postup stanovení hloubky deormační dle DIN 49
Abychom přiblížili předkládané řešení ponatkům obsaženým v normách doplnili sme výpočet modulů ložnosti WP podloží o výpočet hodnoty strukturní pevnosti m Součinitel strukturní pevnosti musí být v každém případě menší m Je řemé že vrstva e oproti pružnému poloprostoru výraně tužší což se příslušně proeví v průběhu svislého napětí odnota m ak předepisue DIN 49 by byla příliš konervativní a pro případ vrstvy musí být a e vyšší odně samořemě bude áviset i na hloubce výkopu Vpomeneme-li pana pro Koláře tak ten kdysi doporučoval hodnotu okolo 5 m Výpočet součinitele strukturní pevnosti popisuí následuící kroky Neprve vypočteme přitížení ákladové spáry ( kn ) l m γh b Potom stanovíme napětí v odhadované hloubce od tohoto přitížení σ ( ) α arctan sinh b α E G ν ν oed Finálně pro součinitel strukturní pevnosti platí ( ) ( h + ) σ m γ Tento může nanevýš dosáhnout hodnoty edna m Výše popsané skutečnosti sou obsaženy v ednoduchém programu který e volně ke stažení na wwwstavarinac a e určen široké inženýrské praxi