Rovinná a prostorová napjatost

Transkript

1 Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových os, jak je vidět obráku (pro achování přehlednosti nejsou akreslena napětí ve skrtých stěnách) Výnam indeů u napětí je následující: inde načí směr normál k rovině, v níž napětí působí, inde pak směr, se kterým je napětí rovnoběžné V každé stěně je ted jedno normálové a dvě smková napětí (např v rovině je normálové napětí a smková napětí a ) Napíšeme-li momentové podmínk rovnováh k jednotlivým souřadnicovým osám, dostaneme po úpravě =, = = =, = = což je ákon sdružených smkových napětí: Působí-li ve dvou na sebe kolmých rovinách smková napětí, jsou tato napětí stejně veliká a obě směřují buď k průsečnici nebo od průsečnice rovin Potom le místo dvou indeů pro určení smkových napětí použít poue jeden, jak je již uvedené výše Pro normálové napětí pak = atd Prostorová napjatost je ted určená 6 složkami napětí, které le uspořádat do vektoru napětí Obdobně le uspořádat složk deformace [,,,, ] T =, [,,, γ, γ γ ] T =, Vjádřeme nní např poměrně prodlouženou S vužitím principu superpoice dostaneme = + +, kde =, = ν, = ν a ted [ ν( )] = + Obdobně pro deformaci ve směru a

2 [ ν( )] =, = ν ( + ) + Pro kos pak γ =, γ =, γ = G G G [ ] Tto vtah mei deformacemi a napětími tvoří rošířený Hookeův ákon Le jej apsat v maticovém tvaru ( výhodné pro numerické výpočt) jako kde D je matice tuhosti, G= D, resp = D G D matice poddajnosti materiálu Pon Pro veličin v literatuře,g, ν le odvodit vtah = ( +ν) Zájemci najdou toto odvoení G Rovinná napjatost nastává v případě, že nenulové složk napětí jsou rovnoběžné s jednou rovinou (rovina napjatosti), přičemž všechn složk ve směru kolmém na tuto rovinu jsou rovn nule Hookeův ákon pro rovinnou napjatost má tvar = = ( ν ) ( ν ) γ = G Pon: Při rovině napjatosti je = 0, avšak jak plne Hookeova ákona pro prostorovou ν napjatost, 0 a má hodnotu = ( + ) Zkoumejme napětí a v rovině, svírající s rovinou úhle α (vi obr) K tomu odříneme rovinou elementárního hranolku část a napíšeme pro ni podmínk rovnováh ve směru rovnováh a tečn k rovině

3 n: da dacosα cosα dasinα sinα dacosα sinα da sinα cosα= 0 t: da dacosα sinα+ dasinα cosα+ dacosα cosα dasinα sinα= 0 Po úpravě s vužitím funkce dvojnásobného argumentu obdržíme + = + cos α+ sin α = sin α cos α Tto vtah le (podobně jako pro kvadratické moment) náornit pomocí Mohrov kružnice α cos sin α + cos α sin α 3

4 Měníme-li polohu rovin, mění se poue úhel α Z grafického hlediska to namená, že kolem bodu S rotuje všrafovaný trojúhelník a bod opisuje kružnici Mohrova kružnice je vájemně jednonačné obraení rovinné napjatosti a to takové, že každé rovině e svaku kolmého na rovinu napjatosti přiřauje v souřadnicovém sstému napětí v rovině působící, bod, jehož souřadnice jsou normálové ( ) a smkové ( ) Středové úhl příslušné obraům jednotlivých rovin jsou dvojnásobné oproti úhlům mei reálnými rovinami Při achování naménkové konvence je smsl úhlu ve skutečnosti i na kružnici souhlasný Znaménková úmluva normálová napětí smková napětí tah + po směru hod ručiček + tlak proti směru hod ručiček Hlavní rovin jsou rovin, v nichž je smkové napětí rovno nule Hlavní napětí jsou normálová napětí v hlavních rovinách Řešení rovinné napjatosti 4

5 Mohrov kružnice pro vláštní tp napjatosti čistý tah čistý smk Prostorová napjatost le dokáat, že při prostorové napjatosti le najít právě 3 hlavní rovin(navájem kolmé) a jim odpovídající 3 hlavní napětí Tato hlavní napětí le určit e vtahu (le jej odvodit rovnováh odřínutého rohu krchličk) =0, což je kubickárovnice pro a její kořen jsou hlavní napětí,, 3 Napjatost le obrait pomocí 3 Mohrových kružnic (vi obr) Inde přiřaujeme tak, ab platilo 3 5

6 Rovinná napjatost hlediska napjatosti prostorové Rovinná napjatost je vlastně napjatost prostorová, kde jedno hlavní napětí je rovno nule Mohou nastat tři případ Nutnost nahlížet na rovinnou napjatost hlediska napjatosti prostorové vcháí potřeb správně určit maimální smkové napětí, které odpovídá poloměru největší Mohrových kružnic 6