Analýza experimentu pro robustní návrh

Analýza experimentu pro robustní návrh Eva Jarošová 1. Úvod V posledních letech je v oblasti navrhování experimentů věno-vána zvýšená pozornost robustnímu návrhu jako prostředku zlepšování jakosti průmyslových procesů. Robustní návrh má původ v Japonsku a je spjat se jménem Taguchiho. Ať už se jakost procesu hodnotí pomocí ztrátové funkce nebo pomocí indexů způsobilosti, její zlepšení spočívá v posunu střední hodnoty směrem k cílové hodnotě a v redukci variability. K identifikaci faktorů, jejichž vhodným nastavením docílíme požadovaných změn, se využívají postupy z oblasti navrhování experimentů. Tradiční přístup spočívá ve vyhledávání faktorů, které mají vliv na úroveň hodnot sledované veličiny. U faktorů, které jsou měřitelnými veličinami, končí analýza stanovením optimálních podmínek, to znamená určením takové kombinace úrovní vlivných faktorů, při níž je střední hodnota sledované odezvy optimální. V normálním procesu může být ovšem udržení některých faktorů na požadované neměnné úrovni příliš náročné nebo dokonce nemožné. Poměrně známý je také model složek rozptylu, který slouží k identifikaci nejdůležitějších zdrojů variability sledované veličiny. V normálním procesu i v experimentu se vyskytuje několik úrovní zkoumaného faktoru a cílem není určení optimální úrovně faktoru, ale provedení takových nápravných opatření, aby rozdíly v hodnotách sledované odezvy při různých úrovních faktoru byly minimální. Tato opatření mohou být neúnosně složitá či ekonomicky náročná. V uvedených případech je možné aplikovat robustní návrh. Hlavní myšlenka spočívá v redukci variability nikoli pomocí náročné regulace faktorů, které jsou jejím zdrojem, ale vhodným nastavením jiných, snadněji ovladatelných faktorů. Ze statistického hlediska jde o identifikaci faktorů, které jsou zdrojem heteroskedasticity. Protože metodika robustního návrhu podle Taguchiho představuje někdy nestandardní postupy, bývá často kritizována. Kritici přicházejí s alternativními postupy, které zachovávají podstatu robustního návrhu, ale využívají běžných metod matematické statistiky, počínaje

nahrazením poměru signál-šum běžnou charakteristikou variability, tedy výběrovým rozptylem a konče výběrem optimálních podmínek pomocí modelu odezvové plochy. Cílem příspěvku je seznámit čtenáře se dvěma odlišnými přístupy k realizaci robustního návrhu. Pro ukázku byl zvolen příklad, který není z hlediska návrhu úplně typický, neboť rušivými faktory zde nejsou nekontrolovaně kolísající parametry procesu, ale kvalitativní faktory určující pevně polohu leptaných destiček na šestibokém hranolu. Lze si představit, že se jedná o pokračování experimentu, jehož cílem bylo identifikovat hlavní zdroje variability tloušťky epitaxiální vrstvy pomocí modelu složek rozptylu. Jako hlavní zdroj variability byly identifikovány dva faktory související s polohou destiček. Data jsou převzata z [5]. 2. Robustní návrh V průmyslových aplikacích představuje robustní návrh metodologii, jejímž cílem je minimalizovat variabilitu výstupu procesu nebo parametru výrobku kolem cílové hodnoty. Robustnosti se dosáhne nastavením vhodných faktorů na takovou úroveň, aby hodnoty sledované veličiny byly optimální. V robustním návrhu se rozlišují dvě hlavní skupiny faktorů. Řiditelné faktory jsou ovladatelné jak v normálním procesu, tak samozřejmě během experimentování, to znamená, že jejich úrovně je možné po nastavení udržet neměnné. Hodnoty rušivých faktorů se během normálního procesu obvykle mění v čase, případně s polohou, během experimentu jsou však, aspoň do jisté míry, ovladatelné. Poněkud odlišný charakter mají kategoriální faktory, u nichž existuje z principu několik úrovní, jejichž počet nelze redukovat. I tyto faktory mohou být považovány za rušivé. Společnou vlastností měřitelných i kategoriálních rušivých faktorů je to, že existence různých úrovní během normálního procesu je zdrojem nežádoucí variability sledovaného znaku. Původní myšlenka Taguchiho robustního návrhu je následující: do experimentu jsou zahrnuty jak řiditelné, tak rušivé faktory, úrovně rušivých faktorů přitom odpovídají hodnotám těchto faktorů vyskytujícím se v normálním procesu. Pro každou skupinu se uvažuje zvláštní návrh, tzv. vnitřní a vnější pole. Obě pole jsou křížena, což znamená, že v každém bodě vnitřního pole, tj. kombinaci úrovní řiditelných faktorů, se vystřídají všechny body vnějšího pole, tj.

kombinace úrovní rušivých faktorů. V každém bodě vnitřního pole se z naměřených hodnot sledované veličiny vypočte určitá charakteristika a dále jsou analyzovány hodnoty této souhrnné charakteristiky. Zkoumá se vliv řiditelných faktorů na hodnoty této charakteristiky a cílem je najít takovou kombinaci řiditelných faktorů, při níž je charakteristika optimální. Optimalizace se provádí ve dvou krocích. Nejprve se minimalizuje rozptyl, potom se upravuje střední hodnota procesu. Taguchi navrhuje různé typy charakteristik. Jejich volba závisí na povaze konkrétního řešeného problému. Charakteristiky popisující variabilitu jsou označovány jako poměr signál-šum a jejich optimální hodnoty jsou vždy maximem. Vlivné faktory jsou často vyhledávány jen pomocí grafické metody, v lepším případě se provádí analýza rozptylu nebo analýza průměrů. Před aplikací příslušné metody se však o tvaru modelu, tj. o tom, které faktory a interakce zařadíme, rozhoduje jen na základě posouzení odhadů jednotlivých efektů, případně s využitím dříve získaných informací. Nedostatečné teoretické zdůvodnění se nahrazuje provedením ověřovacího experimentu. 3. Příklad Při výrobě integrovaných obvodů se na leštěných silikonových destičkách nechává růst epitaxiální vrstva. Destičky jsou připevněny na šestibokém hranolu (dvě destičky na každé plošce), který je umístěn pod krycím zvonem, do nějž jsou vstřikovány chemické páry. Proces probíhá určitou dobu a cílová hodnota epitaxiální vrstvy je 14,5 m. Osm faktorů v experimentu je řiditelných se dvěma úrovněmi: způsob rotace válce (A), kód destiček (B), teplota při pokovování (C), doba pokovování (D), rychlost proudění arzénu (E), teplota kyseliny (F), rychlost proudění kyseliny (G) a pozice uzlu (H). Plošky a umístění destičky jsou považovány za úrovně rušivých faktorů. Data publikovaná v [5] jsou redukována, takže jsou k dispozici výsledky pouze ze čtyř plošek. Faktor ploška (M) má tedy jen 4 úrovně, faktor poloha (L) je s dvěma úrovněmi (horní, dolní). Experimentální návrh sestává ze 16 experimentálních bodů tvořených řiditelnými faktory (dílčí faktoriální návrh 2 8-4 ). Kombinace úrovní rušivých faktorů jsou považovány za experimentální body úplného faktoriálního experimentu. Při každém nastavení řiditelných faktorů

máme tedy 8 pozorování. Výsledky ve dvou experimentálních bodech jsou uvedeny v tabulce. Úrovně řiditelných faktorů jsou označeny a +. Řiditelné faktory A B C D E F G H - - - + - - - - - - - + + + + + L1 (dolní) Rušivý faktor L2 (horní) M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4 14.291 14.192 14.271 14.188 15.318 15.428 15.266 15.406 14.803 14.719 14.696 14.764 15.931 14.895 14.921 15.135 M M M M M M M M M 4 Metody vyhodnocení 4.1 Vyhodnocení v duchu původního Taguchiho přístupu Mezi řiditelnými faktory se hledají faktory s disperzními efekty, tj. faktory, které ovlivňují charakteristiku variability (a případně i charakteristiku polohy) sledované veličiny, a faktory ovlivňující jen charakteristiku polohy. Uvažují se dva modely, jeden pro charakteristiku polohy, druhý pro charakteristiku variability. Charakteristikou polohy je výběrový průměr vypočtený v jednotlivých bodech vnitřního pole z výsledků získaných při různých kombinacích rušivých faktorů, charakteristikou variability může být výběrový rozptyl resp. jeho logaritmus. Logaritmická transformace má zajistit tři vlastnosti - normalitu, konstantní rozptyl a linearitu. Vnitřní pole pro řiditelné faktory odpovídá dílčímu faktoriálnímu návrhu 2 8-4, vnější pole pro rušivé faktory představuje úplný faktoriální návrh 4x2.V každém bodě vnitřního pole máme tedy 8 pozorování. Z těchto pozorování vypočteme jednak průměr, jednak logaritmus rozptylu a budeme konstruovat model pro každou charakteristiku zvlášť. Přitom musíme vzít v úvahu směšování efektů, které je pro dílčí faktoriální návrhy typické, a uvažovat jen takové efekty, aby matice návrhu měla plnou hodnost. Schéma směšování efektů je znázorněno v tab.1. Hlavní efekty faktorů jsou smíšeny

s třífaktorovými interakcemi, dvoufaktorová interakce AB s interakcemi CD, EF a GH atd. I když se v tabulkách a v grafických výstupech objevují jen označení faktorů a interakcí uvedená v prvním sloupci tabulky, je třeba počítat s tím, že v případě významnosti efektu může jít ve skutečnosti o vliv některého z tzv. alias efektů uvedených ve stejném řádku. A - B*C*D + B*E*F + B*G*H + C*E*G + C*F*H - D*E*H - D*F*G B - A*C*D + A*E*F + A*G*H + C*E*H + C*F*G - D*E*G - D*F*H C - A*B*D + A*E*G + A*F*H + B*E*H + B*F*G - D*E*F - D*G*H D - A*B*C - A*E*H - A*F*G - B*E*G - B*F*H - C*E*F - C*G*H E + A*B*F + A*C*G - A*D*H + B*C*H - B*D*G - C*D*F + F*G*H F + A*B*E + A*C*H - A*D*G + B*C*G - B*D*H - C*D*E + E*G*H G + A*B*H + A*C*E - A*D*F + B*C*F - B*D*E - C*D*H + E*F*H H + A*B*G + A*C*F - A*D*E + B*C*E - B*D*F - C*D*G + E*F*G A*B - C*D + E*F + G*H A*C - B*D + E*G + F*H A*D - B*C - E*H - F*G A*E + B*F + C*G - D*H A*F + B*E + C*H - D*G A*G + B*H + C*E - D*F A*H + B*G + C*F - D*E Tab. 1- Směšování efektů Zařadíme-li do modelu všech 15 odhadnutelných hlavních efektů a interakcí, nezbudou žádné stupně volnosti pro odhad rozptylu náhodné složky. Potom také nemůžeme použít např. F-test analýzy rozptylu k vyhledání významných efektů. Situace se často řeší sloučením nejmenších efektů, které jsou považovány za důsledek náhodného kolísání, a jejich zahrnutím do náhodné složky. Seřadímeli všechny efekty podle velikosti absolutní hodnoty, obvykle zjistíme, že několik efektů je podstatně větších než ostatní. Tyto efekty potom zařadíme do modelu. Výběr efektů usnadňuje použití normálního či půlnormálního pravděpodobnostního grafu, který bývá součástí výstupu příslušných počítačových procedur. Jde o neformální grafickou metodu spočívající ve vizuálním posouzení toho, zda se bod odpovídající zkoumanému efektu dostatečně odchyluje od přímky proložené body znázorňujícími nejmenší efekty. Normální pravděpodobnostní graf pro model průměru a rozptylu je na obr. 1 a 2.

Normal Probability Plot of the Effects (response is prumer, Alpha =,05) D 1 Normal Score 0-1 0,0 0,2 Effect 0,4 0,6 0,8 Obr. 1 Normální graf efektů, odezva průměr Normal Probability Plot of the Effects (response is ln s2, Alpha =,05) 1 Normal Score 0-1 H -2-1 Effect 0 1 Obr. 2 Normální graf efektů, odezva ln s 2 Je-li odezvou průměr, ukazuje se jako podstatný efekt faktoru D (obr.1), uvažujeme-li jako odezvu logaritmus rozptylu, můžeme soudit, že vliv má faktor H (obr.2). Robustní odhad směrodatné chyby efektů [4] odstraňuje možnou nejednoznačnost grafické metody. Při ortogonálním návrhu mají

všechny odhadované efekty ˆ γ j stejnou směrodatnou chybu. Robustní odhad PSE = 1, 5 median γ γ, ˆ ˆ { j < 2.5 s0} j s počáteční směrodatnou chybou s 0 = 1.5 median ˆ γ j, j = 1, 2,..., J, je za předpokladu normality konzistentním odhadem směrodatné chyby efektu. Cílem ořezávání je odstranění nenulových efektů při odhadu směrodatné chyby, která má zohledňovat pouze náhodné kolísání. Pro identifikaci důležitých řiditelných faktorů se potom použije statistika ˆ γ j t PSE, j =, PSE tedy analogie t-testu v lineárním modelu. Kritické hodnoty pro různé hladiny významnosti a počty efektů v modelu jsou tabelovány, např. v [5]. V tabulkách je pro dané uvedena hodnota odpovídající 1- kvantilu. Podle aplikace v [5] a podle vybraných hodnot v tabulkách by se dalo soudit, že souhlasí s hladinou významnosti. Na základě analogie s t-testem bychom spíše očekávali 1-/2 kvantil, to znamená, že při hladině významnosti 0,05 bychom hledali kritickou hodnotu odpovídající = 0,025. Tomu také odpovídají výsledky v Minitabu, viz obr.3 a 4. Jelikož jsou tabelovány hodnoty pro = 0,02 a = 0,03, je třeba interpolovat. Pro I = 15 efektů jsou tabelované kritické hodnoty 2,95 a 2,52, interpolací získáme hodnotu 2,735. Vynásobíme-li tuto kritickou hodnotu vypočtenou hodnotou PSE, můžeme s výsledkem přímo porovnávat absolutní hodnoty efektů. model A B C D E F G H průměr -0,076 0,030-0,114 0,804-0,025 0,098-0,108 0,173 ln s 2 1,234 0,209 0,327 0,848 0,054-0,412-0,223-1,959 model AB AC AD AE AF AG AH průměr 0,029-0,093-0,049 0,028 0,058-0,021 0,010 ln s 2-0,280-0,501-0,446-0,699 0,481-0,057 0,596 Tab.2 Velikost hlavních efektů a interakcí ve dvou modelech Robustní odhad směrodatné chyby efektů PSE je pro model průměru 0,081, pro model logaritmu rozptylu 0,644. Po vynásobení uvedenou

kritickou hodnotou dostaneme 0,222 pro model průměru a 1,761 pro model logaritmu rozptylu. Z tab.2 plyne, že příslušnou hodnotu překračuje v řádku pro průměr jen efekt faktoru D, v řádku pro logaritmus rozptylu jen efekt faktoru H. Ke stejnému závěru dojdeme i na základě Paretova diagramu (obr.3 a 4), v němž je vyznačena referenční hodnota pro posuzování důležitosti efektů. Pareto Chart of the Effects (response is prumer, Alpha =,05) Pareto Chart of the Effects (response is ln s2, Alpha =,05) D H C G F AC A AF AD B AB AE E AG AH H A D AE AH AC AF AD F C AB G B AG E 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Obr. 3 Paretův diagram, Obr. 4 Paretův diagram, odezva průměr odezva ln s 2 Zkusíme-li do modelu ANOVA zařadit ještě některé další efekty v pořadí podle Paretova diagramu, pak při hladině významnosti 0,05 dospějeme k následujícím modelům 0 1 2 yˆ = 14,352 + 0, 4019x + 0, 0867x prumer, i Di Hi (0,000) (0,022) y ˆ = 1,9531+ 0,6173 x 0,9791 x. 2 ln s, i Ai (0,018) (0,001) Hi Index i značí i-tý bod vnitřního pole (i = 1,2,.., 16). Pod efekty jsou uvedeny příslušné p-hodnoty. 4.2 Model odezvy Alternativním přístupem je modelování hodnot původní sledované proměnné. Do modelu jsou zahrnuty jak řiditelné, tak rušivé faktory a faktory ovlivňují variabilitu odezvy (faktory s disperzními efekty) se identifikují prostřednictvím významných

interakcí řiditelného a rušivého faktoru. Nezařadíme-li do modelu interakce nejvyšších řádů, můžeme analýzu provést pomocí klasického F-testu analýzy rozptylu nebo pomocí t-testů v obecném lineárním modelu. Pokud bychom zařadili všechny odhadnutelné efekty, museli bychom při posuzování důležitosti efektů postupovat podobně jako v případě 4.1. Zařadíme-li do modelu jen hlavní efekty, odhadnutelné dvoufaktorové interakce a ze třífaktorových interakcí jen ty, které obsahují jeden z rušivých faktorů L nebo M, dostaneme rovnici 14,3520 0,4019 0,0867 0,3296 0,0125 +0,0461 0,0442 0,0316 0,0814 0,0016 0,2388 Řiditelné faktory a rušivý faktor L mají dvě úrovně, proto jim odpovídá vždy jeden sloupec matice návrhu. Rušivý faktor M má čtyři úrovně a proto mu odpovídají tři sloupce matice návrhu, totéž platí pro interakci CM. Index i značí i-tý experimentální bod (i = 1,2,.., 128). P-hodnoty u všech zahrnutých efektů jsou menší než 0,0001. Významné efekty faktoru D a H signalizují, že pomocí těchto faktorů lze ovlivňovat úroveň hodnot odezvy. Významné efekty rušivých faktorů L a M potvrzují, že uvedené faktory jsou podstatným zdrojem nežádoucí variability odezvy. Z interakcí řiditelného a rušivého faktoru se ukázaly být nejvýznamnější dvě, CM a HL. Grafy těchto interakcí jsou uvedeny na obr.5 a 6. 15 15 14,5 C - 14,5 H + y 14 y 14 13,5 C + 13,5 H - 13 1 2 3 4 M 13 1 2 L Obr. 5 - Graf interakce CM Obr. 6 Graf interakce HL Podle obr.5 a 6 je vhodné nastavit faktor C na úroveň a faktor H na úroveň +, neboť můžeme očekávat menší variabilitu v důsledku rozdílu mezi úrovněmi faktoru M resp. L. Interakce CM je méně důležitá než interakce HL, jak plyne nejen z obrázku, ale i z modelu.

Efekt faktoru H se ukázal být významný i při modelování logaritmu rozptylu, ovšem efekt faktoru C patřil k nejmenším. Naopak efekt faktoru A identifikovaný dříve v modelu logaritmu rozptylu v modelu odezvy nevystupuje. Abychom zjistili příčinu, provedeme diagnostiku reziduí z modelu odezvy. Aplikujeme-li Glejserův test heteroskedasticity, dostaneme model, yˆ, ei= 0, 2301+ 0, 0823xAi. podle nějž absolutní hodnota reziduí závisí na faktoru A. P-hodnota u efektu A je menší než 0,0001. Heteroskedasticita může být způsobena zahrnutím interakcí vyššího řádu obsahujících faktor A do náhodné složky. Zkusíme-li zařadit různé třífaktorové interakce obsahující faktor A, zjistíme, že u jednoho členu interakce ACM je p-hodnota 0,0008. Model tedy doplníme ještě o interakci ACM 14,3520 0,4019 0,0867 0,3296 0,0125 +0,0461 0,0442 0,0316 0,0814 0,0016 0,2388 0,0283 0,00144 0,0459 Na základě uvedeného modelu lze očekávat, že variabilitu odezvy snížíme vhodným nastavením řiditelných faktorů A, C a H, střední hodnotu potom upravíme vhodnou volbou úrovně faktoru D. 5 Závěr Výrazný vliv faktoru D na úroveň hodnot odezvy se projevil jak v modelu pro průměr, tak v modelu odezvy. Podobně výrazně se od ostatních efektů liší efekt faktoru H v modelu logaritmu rozptylu a efekt interakce HL v modelu odezvy. Vzhledem k tomu, že faktory D a H jsou kvantitativní, neměla by analýza končit výběrem lepší úrovně z vyzkoušených. Experiment by se měl doplnit dalšími zkouškami, aby mohl být zkonstruován model odezvové plochy a teprve pomocí něj nalezeny optimální podmínky. V daném případě ve všech modelech vždy jeden efekt převažoval nad ostatními. Otázkou je, zda při menších rozdílech mezi největšími efekty nebude identifikace významných efektů problematičtější. Pokud jsou zkoumané faktory kvantitativní, bude také pravděpodobně efekt faktoru záviset na vzdálenosti úrovní nastavovaných v experimentu. Neomezíme se proto jen na největší efekty, ale v úvahu bychom měli brát všechny efekty, které se ukázaly

být významné. Při modelování souhrnných charakteristik lze očekávat menší sílu testu vzhledem k menším rozsahům výběru, navíc logaritmická transformace nemusí plnit funkci, kterou očekáváme (viz výše). Některé nenulové efekty tak mohou zůstat neidentifikovány. V modelu odezvy nastává, jak se ukázalo, problém opačný. Síla testů je díky několikanásobnému rozsahu výběru mnohem větší a významných efektů je více, než je pro praktické řešení užitečné. Postupné zařazování či vypouštění efektů je při větším rozsahu experimentu zdlouhavé. U obecného lineárního modelu nenabízejí statistické programy běžně obdobu metody stepwise známé z regresní analýzy. Minitab umožňuje posoudit významnost jednotlivých efektů pomocí normálního pravděpodobnostního grafu a Paretova diagramu i při uvažování všech odhadnutelných efektů, jak bylo uvedeno výše, v případě dílčího faktoriálního návrhu a následného směšování efektů je však příprava těchto grafů dosti pracná. Literatura [1] Jarošová, E., Zimmermann, P.(2006): Experiment pro robustní návrh. In: Jakost Quality 2006 [CD-ROM]. Ostrava : Dům techniky, 2006, s. 138 143. [2] Jarošová, E. (2006): Analysis of dispersion effects in experimental design, in: In: AMSE 2006 [CD-ROM]. Praha : VŠE FIS, 2006, 6.s. [3] Daniel, C. (1959): Use of Half-Normal Plots in Interpreting Factorial Two Level Experiments. Technometrics, Vol. 1, 311-340. [4] Lenth, R.V. (1989): Quick and Easy Analysis of Unreplicated Factorials, Technometrics, 31, 469-473. [5] Wu, C.F.J., Hamada, M. (2000): Experiments. Planning, Analysis, and Parameter Design Optimization. J. Wiley & Sons. Adresa autora: Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc., Vysoká škola ekonomická v Praze, fakulta informatiky a statistiky, Katedra statistiky a pravděpodobnosti, nám. W. Churchilla 4, 130 67 Praha 3. e-mail: jarosova@vse.cz