STEREOMETRIE. Vzájemná poloha přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0104

Transkript

1 STEREOMETRIE Vzájemná poloha přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0104

2 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A ROVINY Podobně jako v předchozí lekci bude rozhodovat o vzájemné poloze jednorozměrného a dvourozměrného geometrického útvaru počet společných bodů. Pro přímku a rovinu existují dvě vzájemné polohy: Přímka a rovina nemají žádný společný bod jsou rovnoběžné. Přímka a rovina mají jeden společný bod jsou různoběžné. Přímka a rovina mají nekonečně společných bodů (tzn. přímka je součástí roviny, popř. přímka leží v rovině) jsou rovnoběžné.

3 PŘÍKLADY ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY A ROVINY Pokud chceme dokázat, že rovina a přímka, která v rovině neleží, jsou rovnoběžné, musíme najít v dané rovině alespoň jednu přímku, která je rovnoběžná se zadanou přímou.

4 Mějme v krychli ABCDEFGH rovinu ABC a přímku EF. V tomto případě je snadné rovnoběžné přímky najít (pro zajímavost je jich nekonečně mnoho). My použijeme pouze ty přímky, které lze pojmenovat pomocí vrcholů krychle.

5 Vzhledem ke skutečnosti, že naše přímka EF je zároveň hranou krychle, je zřejmé, že její rovnoběžky v dolní podstavě musí být přímky AB nebo CD (žlutě). Jak již bylo naznačeno výše, rovnoběžek je nekonečně mnoho (některé z nich vyznačeně červeně).

6 Druhý příklad bude o něco složitější. Mějme v krychli ABCDEFGH úhlopříčnou rovinu BDH a přímku AE.

7 Naši přímku tvoří opět hrana krychle, proto je opět dostačující najít rovnoběžné hrany, které zároveň náleží rovině BDH. Hledanými přímkami jsou přímky BF a DH (žlutě). I v tomto případě existuje nekonečně mnoho rovnoběžných přímek (některé z nich červeně).

8 Na závěr části o rovnoběžnosti se podívejme na tuto situaci: Rovina BDH a přímka KL v krychli ABCDEFGH, kde body K a L jsou po řadě středy hran FG a GH.

9 Rovnoběžné přímky s přímkou KL lze označit pomocí vrcholů BD a FH (přímky jsou rovnoběžné na základě podobnosti trojúhelníku FGH a KGL). Další rovnoběžky budou značeny opět červeně.

10 PŘÍKLAD PŘÍMKY LEŽÍCÍ V ROVINĚ Má-li přímka s rovinou společné alespoň dva různé body, pak tato přímka leží v dané rovině. Všechny body, které náleží přímce, jsou zároveň i body roviny.

11 Pro případ této rovnoběžnosti si ukážeme pouze jeden příklad, který dostatečně demonstruje dříve uvedené poznatky. Mějme v krychli ABCDEFGH rovinu dolní podstavy ABC a přímku KS, kde K leží na hraně BC a S je střed úhlopříček dolní podstavy. Jako důkaz, že přímka KS leží v rovině nám postačí dokázat, že body K a S leží v podstavě, což je zřejmé.

12 PŘÍKLAD RŮZNOBĚŽNÉ PŘÍMKY A ROVINY Jak je uvedeno výše, pokud mají přímka a rovina společný pouze jeden bod (průsečík), jsou různoběžné. Proto nám jako důkaz jejich různoběžnosti postačí nalézt tento bod a prokázat, že je jediný.

13 Mějme v krychli ABCDEFGH rovinu dolní podstavy ABC a přímku EC. Již z pojmenování jednotlivých útvarů je zřejmé, že mají jeden společný bod. Z obrázku je patrné, že více společných bodů neexistuje.

14 V druhém příkladu bude již obtížnější daný průsečík nalézt. Mějme v krychli ABCDEFGH úhlopříčnou rovinu ACE a tělesovou úhlopříčku BH. Díky naší znalosti krychle víme, že tělesové úhlopříčky se protínají v jednom bodě (označme jej S). Za předpokladu, že tělesová úhlopříčka CE leží v naší rovině (vyplývá již z pojmenování roviny) můžeme tedy tvrdit, že se rovina a přímka protnou právě v tomto bodě.

15 Na závěr si uvedeme příklad, ve kterém budeme později umět geometricky určit průsečík P přímky a roviny pomocí průsečnice rovin (přímka společná pro dvě různoběžné roviny). Mějme v krychli ABCDEFGH rovinu AFH a přímku EC. Na prvním obrázku vidíme přímku procházející rovinou.

16 Na druhém obrázku je vidět rovinu kolem přímky a průsečnici rovin.

17 ÚKOL ZÁVĚREM Mějme rovinu BCF v krychli ABCDEFGH. Určete všechny přímky procházející bodem D, které jsou zároveň: a) různoběžné s rovinou BCF b) rovnoběžné s rovinou BCF. Mějme přímku BF v krychli ABCDEFGH. Určete pomocí vrcholů krychle všechny roviny procházející bodem D, které jsou: a) rovnoběžné s přímkou BF b) různoběžné s přímkou BF.

18 ZDROJE Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.