Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklad 01 Spočtěte odrazivost prostého rozhraní dvou izotropních homogenních materiálů s indexy lomu n 0 = 1 a n 1 = 1,52 v závislosti na úhlu dopadu pro s a p polarizované světlo. Problém řeší program 01-rozhrani.m využívající Fresnelových vzorců. Výpočet je vhodné provést s rozlišením reflexe z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí (obr. 1a) a obráceně (obr. 1b), kdy se projeví efekt totální reflexe. V obou případech je vidět při stejném úhlu dopadu nižší odrazivost p-polarizované vlny ve srovnání s s- polarizovanou vlnou a nulová odrazivost p-polarizované vlny pro úhel dopadu rovný Brewsterově úhlu dopadu. Obr. 1 Odrazivost na rozhraní dvou materiálů v závislosti na úhlu dopadu, vlevo (1a) z opticky řidšího do opticky hustšího, vpravo (1b) z opticky hustšího do opticky řidšího Příklad 02 Spočtěte odrazivost jedné tenké vrstvy s indexem lomu n 1 = 1,38 nanesené na podložce s indexem lomu n 2 = 1,52 v kolmém dopadu na vzduchu (n 0 = 1). Vrstva má optickou tloušťku rovnu čtvrtině centrální vlnové délky λ c = 550 nm (jednotková optická tloušťka = λ c /4 = 137,5 nm). Odrazivost v závislosti na vlnové délce spočtěte také pro vyšší index lomu vrstvy 2,35. Příklad řeší program 02-jedna_tenka_vrstva.m. Jak je vidět z obr. 2, odrazivost podložky lze jednou vrstvou snížit (obr. 2a) nebo naopak zvýšit (obr. 2b) v závislosti na velikosti indexu lomu vrstvy ve srovnání s indexy lomu substrátu a superstrátu. Přitom extrém odrazivosti nastává právě pro vlnovou délku λ = λ c, kdy je změna fáze vlny průchodem vrstvou s optickou tloušťkou λ c /4 rovna π/2. Obr. 2 Odrazivost jedné tenké vrstvy v kolmém dopadu, vlevo (2a) snížení odrazivosti podložky jednou tenkou vrstvou s nižším indexem lomu než má podložka, vpravo (2b) zvýšení odrazivosti podložky jednou tenkou vrstvou s vyšším indexem lomu než má podložka - 1 -
Příklad 03 Spočtěte odrazivost ze vzduchu (n 0 = 1) v šikmém dopadu (úhel dopadu zvolte θ 0 = 45 O ) jedné tenké vrstvy s indexem lomu n 1 = 1,38 nanesené na podložce s indexem lomu n 2 = 1,52. Vrstva má optickou tloušťku rovnu čtvrtině centrální vlnové délky λ c = 550 nm (jednotková optická tloušťka = λ c /4 = 137,5 nm, parametry jsou stejné jako v příkladě 2). Odrazivost v závislosti na vlnové délce spočtěte také pro index lomu vrstvy 2,35. Příklad řeší program 03-jedna_tenka_vrstva.m. Polarizace má výrazný vliv na reflexi (obr. 3), s-polarizované světlo vykazuje vyšší odrazivost než p-polarizované světlo, neboť prostředí pro něj vykazuje nižší admitanci. Jednou tenkou čtvrtvlnovou vrstvou lze snížit odrazivost podložky na nulu pro jednu vlnovou délku, pokud je její index lomu geometrickým průměrem indexů lomu obklopujících prostředí, to je platí n 1 = (n 0 n 2 ) 1/2. Všimněte si také posunutí charakteristik směrem ke kratším vlnovým délkám v šikmém dopadu ve srovnání s kolmým dopadem (obr. 2), který lze kompenzovat přepočtem tloušťky vrstvy tak, aby změna fáze při průchodu vrstvou zůstala pro oba úhly dopadu stejná. Pak zůstane extrém odrazivosti stejný jako v kolmém dopadu. Obr. 3 Odrazivost jedné tenké vrstvy v šikmém dopadu, vlevo (3a) snížení odrazivosti jednou tenkou vrstvou s nižším indexem lomu než má podložka, vpravo (3b) zvýšení odrazivosti jednou tenkou vrstvou s vyšším indexem lomu než má podložka Příklad 04 Navrhněte soustavu dvou vrstev s indexy lomu n L = 1,38 (nízký index lomu) a n H = 2,35 (vysoký index lomu) antireflektující podložku s indexem lomu n s = 1,52 na vzduchu (n 0 = 1) na vlnové délce λ c = 550 nm v kolmém dopadu. Zvolenou soustavu pak optimalizujte na minimální integrovanou odrazivost v intervalu vlnových délek 400 nm až 700 nm. První část příkladu řeší program 04-antireflektovani_dvema_vrstvami_1.m. Lze hledat řešení pro případ, kdy se kombinují vrstvy v pořadí n 1 = n L, n 2 = n H a případ s kombinací n 1 = n H, n 2 = n L. Pro zvolené parametry řešení existuje pouze v prvém případě, který poskytuje dvě varianty tlouštěk vrstev, a to 1/0,702L 1,801H/1,52 a 1/1,298L 0,199H/1,52. Průběhy odrazivostí v okolí zvolené centrální vlnové délky ukazuje obr. 4a, z něhož je patrné, že výhodnější, to je plošší průběh odrazivosti více se přimykající k nulové hodnotě, má druhá varianta. Obr. 4 Odrazivost dvou antireflektujících soustav složených ze dvou vrstev, vlevo (4a). Odrazivost optimalizované soustavy na co nejnižší integrovanou odrazivost v intervalu vlnových délek 400 nm 700 nm, vpravo (4b) - 2 -
Druhou část příkladu řeší program 04-antireflektovani_dvema_vrstvami_2_LMA.m, (obr. 4b), který je založen na minimalizaci cílové funkce zadané jako součet kvadrátů odchylek teoretické hodnoty od požadované hodnoty. Minimum se tímto programem hledá Levenbergovou-Marquardtovou metodou. Jak je vidět, rozšíření oblasti antireflexe není v tomto případě příliš významné. Příklad 05 Navrhněte pomocí numerické optimalizace antireflektující soustavu složenou ze tří vrstev s indexy lomu n L = 1,38 (nízký index lomu), n H = 2,35 (vysoký index lomu) n M = 1,90 (střední index lomu), která snižuje odrazivost podložky s indexem lomu n s = 1,52 v okolí centrální vlnové délky 550 nm. Superstrát je vzduch (n 0 = 1), úhel dopadu θ 0 = 0 O. Řešení je obsaženo v programu 05-antireflektovani_tremi_vrstvami_2.m, ten je založen na hledání minima cílové funkce v podobě součtu kvadrátů odchylek teoretické hodnoty od požadované hodnoty Levenbergovým- Marquardtovým algoritmem, s požadavkem na nulovou reflexi (například) v oblasti vlnových délek 450 nm 650 nm. Pomocí programu 05-antireflektovani_tremi_vrstvami_1.m jsou spočteny závislosti odrazivosti na vlnové délce pro navržené sestavy, viz obr. 5. Obr. 5 Odrazivost soustavy tří vrstev získaná pomocí optimalizačního programu Znázorněna jsou dvě řešení pouze pro kombinaci vrstev typu LHM (modrá a červená křivka) získaná různou volbou výchozí sestavy, jiné kombinaci poskytují výrazně horší výsledky. Zelená křivka ukazuje pro srovnání čtvrtvlnové soustavy s indexy lomu n 1 = 1,0538, n 2 = 1,2329, n 3 = 1,4424, kterými by bylo možno antireflektovat podložku (n s = 1,52) s ideálním, to je co nejplošším, průběhem odrazivosti v okolí centrální vlnové délky, pokud by takové indexy lomu byly k dispozici. Příklad 06 Navrhněte periodickou soustavu tenkých vrstev složenou z materiálů s indexy lomu lomu n L = 1,38 a n H = 2,35, která v kolmém dopadu vykazuje pásmo potlačené propustnosti (zvýšené odrazivosti) v intervalu vlnových délek 500 nm 600 nm. Podložka má index lomu n s = 1,52. Řešením je periodická soustava podle programu 06-periodicka_soustava_1.m, která využívá analytického výsledku teorie, podle níž na obou hranicích pásma potlačené propustnosti jsou obě vlastní čísla součinu interferenčních matic základní periody rovna jedné. Tato podmínka vede k nutnosti řešit soustavu dvou (nelineárních) rovnic pro dvě proměnné (relativní optické tloušťky vrstev základní periody), v tomto případě dostáváme čtyři možná řešení (možno doplnit další vrstvou v případě, že požadujeme lichý celkový počet vrstev): (1a) 1/(1,6223L 0,3523H) n /1,52, (1b) 1/(1,6223H 0,3523L) n /1,52, (2a) 1/(0,3523L 1,6223H) n /1,52, (2b) 1/(0,3523H 1,6223L) n /1,52. Ve všech případech je jednotková optická tloušťka = 136,3636 nm odpovídající centrální vlnové délce, jejíž převrácená hodnota je aritmetickým průměrem převrácených hodnot vlnových délek hranic požadovaného pásma potlačené propustnosti. - 3 -
Průběh odrazivosti v závislosti na vlnové délce pro tato řešení jsou získána s pomocí programu 06- periodicka_soustava_2.m, případy (1a) a (1b) jsou znázorněny na obr. 6-1 a případy (2a) a (2b) jsou znázorněny na obr. 6-2 pro počet opakování n = 10 a podobné závislosti pro počet opakování n = 20 na obr. 6-3 a obr. 6-4. Z nich je vidět, že všechny závislosti jsou variantami se stejným pásmem potlačené propustnosti, avšak rozdílnými průběhy bočních maxim. Obr. 6-1 Odrazivost periodické soustavy tenkých vrstev pro 21 vrstvu Obr. 6-2 Odrazivost periodické soustavy tenkých vrstev pro 21 vrstvu Obr. 6-3 Odrazivost periodické soustavy tenkých vrstev pro 41 vrstvu - 4 -
Obr. 6-4 Odrazivost periodické soustavy tenkých vrstev pro 41 vrstvu S rostoucím počtem vrstev zůstává šířka pásma potlačené propustnosti stejná, avšak zostřují se hrany filtru. Příklad 07 Navrhněte soustavu tenkých vrstev složenou z materiálů s indexy lomu lomu n L = 1,38 a n H = 2,35, která v kolmém dopadu vykazuje pásmo potlačené propustnosti (zvýšené odrazivosti) v intervalu vlnových délek 500 nm 600 nm jako v příkladu 06, avšak s potlačenými bočními maximy. Podložka má index lomu n s = 1,52. Řešení vychází z výsledku předchozího příkladu. Vezměme jakožto výchozí soustavu 1/(1,623L 0,352H) 20 1,623L/1,52 složenou ze 41 vrstvy a použijme program 07-soustava_2_LMA.m, který hledá minimum funkce metodou nejmenších čtverců Levenbergovým-Marquardtovým algoritmem. V intervalu vlnové délky 300 nm 700 nm bude požadovaná odrazivost nulová kromě pásma 500 nm 600 nm, kde bude jednotková v ideálním případě. Spočtená soustava, která již není periodická, je 1/0.614L 1.829H 0.150L 0.423H 1.655L 0.225H 1.729L 0.230H 1.720L 0.247H 1.704L 0.266H 1.692L 0.291H 1.683L 0.298H 1.680L 0.295H 1.681L 0.297H 1.677L 0.306H 1.674L 0.307H 1.680L 0.295H 1.690L 0.280H 1.704L 0.274H 1.722L 0.265H 1.742L 0.246H 1.777L 0.211H 1.815L 0.166H 1.848L 0.149H 1.630L/1,52, jednotková optická tloušťka = 136,3636 nm, průběh odrazivosti v závislosti na vlnové délce, spočtený programem 07-soustava_1.m, ukazuje obr. 7. Z něj lze usuzovat, že k vyhlazení bočních maxim došlo na úkor snížení ostrosti náběžných hran filtru. Obr. 7 Odrazivost soustavy 41 tenké vrstvy v kolmém dopadu podle příkladu 07, v kolmém dopadu vlevo (obr. 7a) a v šikmém dopadu pod úhlem dopadu θ 0 = 45 O vpravo (obr. 7b) Tloušťky vrstev v soustavě podle obr. 7b jsou přepočteny z obr. 7a na šikmý úhel dopadu tak, aby změna fáze vlny při průchodu každou vrstvou zůstala zachována, takže pásmo potlačené propustnosti není změněno, jak je popsáno v programu 07-soustava_1a.m. Lze pozorovat, že pásmo potlačené propustnosti p-polarizované vlny je užší než s-polarizované vlny. Zdrojové soubory v Matlabu lze stáhnout z adresy: http://aix.upol.cz/~krepelka/priklady/. - 5 -