Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Transkript

1 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R, nemůžeme použít definici založenou na stranách pravoúhlého trojúhelníku (podobně jako u funkcí y = sin x a y = cos x ). Máme definovány funkce sin x a cos x pro všechna x R a vzorec použijeme jej jako definiční vztah: sin x tg x = cos x sin x Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem y =. Tuto funkci cos x značíme tg x. Poznámka: Většina světa používá pro funkci tangens označení tan x. Př. : Urči definiční obor funkce y = tg x. sin x Vyjdeme z definičního vztahu tg x =. Ve vztahu se dělí nesmíme dělit nulou, další cos x problémové operace se v ní nevyskytují, obě funkce sin x i cos x jsou definovány pro všechna x R. Kdy je cos x = 0? Hodnota funkce y = cos x je dána jako x-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici.

2 sin(x) - S cos(x) x cos(x) T sin(x) R - Z obrázku je vidět, bod T bude mít nulovou x-vou souřadnici, pokud bude ležet na ose y. T - S x x R T - π V intervalu 0;π ) jde o čísla x = a x = π. Pokud zohledníme, že funkce y = cos x je periodická s nejmenší periodou π. Jde o dvě množiny čísel: + k π k Z k Z π + k π Funkce tangens je definována pro všechna čísla R + k π π + k π k Z k Z. Obě předchozí množiny je možné zapsat úsporněji pomocí jedné množiny. Nakreslíme si osu a vyznačíme si, která čísla jsme vyřadili z definičního oboru. + k π π + k π k Z k Z 0

3 Jednotlivá vyřazená čísla x jsou rovnoměrně rozmístěna po ose, jsou od sebe vzdálena o násobky π. Všechna vyřazená čísla bychom získali tak, že bychom se z bodu π posouvali o násobky π. + k π + π + k π = + kπ k Z k Z k Z Funkce tangens je definována pro všechna čísla R + kπ k Z. Př. : Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = cos x. Pomoci nakreslených grafu odhadni tvar grafu funkce y = tg x. - V bodech, ve kterých graf funkce y = cos x protíná osu x, nebude mít funkce y = tg x žádnou hodnotu (nulou nelze dělit).

4 - sin x Funkce y = tg x je definována jako podíl dvou funkcí y = tg x = zelenou křivku cos x budeme v grafu dělit modrou. V bodě x = 0 je hodnota funkce y = tg x rovna 0 0 =. V intervalu 0; dělíme hodnoty sin x, nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která π se zmenšují. Pro x blížící se budeme dělit velmi malými čísly. Získané hodnoty budou vždy větší než hodnoty sin x, pro větší čísla x se budou lišit více. Pro x blížící π se k se budou blížit nekonečnu. - 4

5 Zkoumáme interval ;0, postupujeme od nuly doleva. Dělíme hodnoty sin x (záporná čísla), nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která se zmenšují. Pro x blížící se π budeme dělit velmi malými čísly. Získané hodnoty budou vždy menší než hodnoty sin x (jsou to záporná čísla, jejich absolutní hodnota naopak poroste), pro π menší čísla x se budou lišit více. Pro x blížící se k se budou blížit mínus nekonečnu. - V intervalu ; π nejdříve dělíme hodnoty sin x blížící se, zápornými čísly které se zmenšují od nuly k. Hodnoty podílu se na začátku intervalu blíží k mínus nekonečnu, pak se postupně zvětšují, až se dostanou k nule. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ;0. 5

6 - π V intervalu π; dělíme dvě záporná čísla, výsledek tedy bude kladný. Hodnoty sin x se zmenšují od 0 k -, Hodnota cosinus se zvětšuje od k nule. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k nule, pak postupně stoupá k nekonečnu. Průběh funkce je podobný jako v intervalu 0;. - Hodnoty v dalších intervalech můžeme zkopírovat z již nakreslené části grafu, protože funkce sinus i cosinus jsou periodické s nejmenší periodou π a výsledek jejich dělení se také musí opakovat. 6

7 - Př. : V tabulce hodnot goniometrických funkcí doplň hodnoty pro tangens. Úhel [ ] π π π π Úhel [rad] π 4 π 5 6 π π sin ( x ) 0 cos ( x ) tg( x ) 0-0 Úhel [ ] Úhel [rad] π 6 π 5 4 π 4 π π 5 π 7 4 π 6 π π sin ( x ) 0 cos ( x ) - tg( x )

8 Př. 4: Zakresli hodnoty spočtené v tabulce do odhadnutého grafu funkce y = tg x a ověř tak správnost odhadu. - Tabulkové hodnoty potvrzují odhadnutý tvar grafu. Př. 5: Z grafu funkce y = tg x urči její vlastnosti. D ( f ) = R + kπ k Z Periodická s nejmenší periodou π. = Není omezená nemá maximum ani minimum. H ( f ) R Lichá. π π Rostoucí v intervalu ;, dále pak v intervalu π ; π,, tedy ve všech intervalech π π + kπ; + kπ. Kladné hodnoty v intervalech 0 + k π; + k π. Záporné hodnoty v intervalech + k π ; π + k π. Př. 6: Dokaž pomocí definice funkce y = tg x, že je funkce lichá. Potřebujeme: tg( x) tg( x) sin ( x) tg( x) = cos( x) =. Použijeme vlastnosti goniometrických funkcí: sin x = sin x, sinus je lichý: ( ) ( ) 8

9 tg cosinus je sudý: cos ( x) cos ( x) sin ( x) sin ( x) ( x) = = = tg( x) cos ( x) cos( x) =. dokázáno. Je možné najít tangens v jednotkové kružnici? sin x Definice: tg x =. Upravíme definici tak, abychom mohli použít poměr stran u cos x tg x sin x podobných trojúhelníků: =. cos x Zelený trojúhelník už známe, červený trojúhelník musí být podobný zelenému a jeho kratší (vodorovná) odvěsna musí mít délku trojúhelník zkonstruujeme, když v bodě R sestrojíme svislou přímku a necháme ji protnout s koncovým ramenem úhlu x. Svislá odvěsna má délku tg x. sin(x) - S cos(x) x T R tg(x) - 9

10 Př. 7: Pomocí znázornění funkce y = tg x na jednotkové kružnici zdůvodni, proč je v intervalu 0; funkce tg y = x rostoucí. T tg(x) - S x R - Z obrázku je zřejmé, že při zvětšování úhlu x se zvětšuje hodnota tg x. V tomto okamžiku můžeme s klidem prohlásit naše grafy za správné. Graf funkce vypadá takto: y = tg x 0

11 Správnost grafu můžeme ověřit i pomocí počítačového programu: Nakresleny jsou grafy funkcí y = tg x, y = sin x, y = cos x

12 Př. 8: Petáková: strana 4/cvičení 7 f, f, f 5, f 7 sin x Shrnutí: Funkci tangens definujeme jako podíl y = tg x =. Je periodická s nejmenší cos x periodou π a definičním oborem D ( f ) = R + kπ k Z.