Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Transkript

1 4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme použít definici pomocí trojúhelníku. (Podobně jako u funkcí y = sin x a y = cos x ) Máme definovány funkce sin x a cos x pro všechna x R a vzorec použijeme jej jako definiční vztah: sin x tg x = cos x Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem značíme tg x. sin x y =. Tuto funkci cos x Poznámka: Většina světa používá pro funkci tangens označení tan x. Př: Urči definiční obor funkce y = tg x sin x Vyjdeme z definičního vztahu tg x =. Ve vztahu se dělí nesmíme dělit nulou, další cos x problémové operace se v ní nevyskytují, obě funkce sin x i cos x jsou definovány pro všechna x R. Kdy je cos x = 0? Hodnota funkce y = cos x je dána jako x-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici.

2 sin(x) - S cos(x) x cos(x) T sin(x) R - Z obrázku je vidět, bod T bude mít nulovou x-vou souřadnici, pokud bude ležet na ose y. T - S x x R T - π V intervalu 0;π ) jde o čísla x = a x = π. Pokud zohledníme, že funkce y = cos x je periodická s nejmenší periodou π. Jde o dvě množiny čísel U + k π k Z U π + k π k Z Funkce tangens je definována pro všechna čísla R + k π π + k π k Z k Z U U. Poznámka: Obě předchozí množiny je možné zapsat úsporněji pomocí jedné množiny. Nakreslíme si osu a vyznačíme si, která čísla jsme vyřadili z definičního oboru.

3 U k Z U k Z + k π π + k π 0 Jednotlivá vyřazená čísla x jsou rovnoměrně rozmístěna po ose, jsou od sebe vzdálena o π násobky π. Všechna vyřazená čísla bych získal tak, že bych se z bodu posouval o násobky π. U + k π + U π + k π = U + kπ k Z k Z k Z Funkce tangens je definována pro všechna čísla R U + kπ k Z. Př: Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí grafu odhadni tvar grafu funkce y = tg x y = sin x a y = cos x. Pomoci nakreslených - V bodech, ve kterých graf funkce hodnotu (nulou nelze dělit). y = cos x protíná osu x nebude mít funkce y = tg x žádnou

4 - sin x Funkce y = tg x je definována jako y = tg x = podíl dvou funkcí. Zelenou křivku bud cos x v grafu dělit modrou. V bodě x = 0 je hodnota funkce y = tg x rovna 0 0 =. V intervalu 0; π dělíme hodnoty π sin x, nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která se zmenšují. Pro x blížící se budeme dělit velmi malými čísly. Získané hodnoty budou vždy větší než hodnoty sin x, pro větší čísla x se π budou lišit více. Pro x blížící se k se budou blížit nekonečnu. - 4

5 Zkoumáme interval ;0, postupujeme od nuly doleva. Dělíme hodnoty sin x (záporná π čísla), nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která se zmenšují. Pro x blížící se budeme dělit velmi malými čísly. Získané hodnoty budou vždy menší než hodnoty sin x (jsou to záporná čísla, jejich absolutní hodnota naopak poroste), pro menší čísla x se budou lišit více. π Pro x blížící se k se budou blížit mínus nekonečnu. - V intervalu ; π nejdříve dělíme hodnoty sin x blížící se, zápornými čísly které se zmenšují od nuly k. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k mínus nekonečnu, pak se postupně zvětšují až se dostanou k nule. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ;0. 5

6 - π V intervalu π; dělíme dvě záporná čísla, výsledek tedy bude kladný. Hodnoty sin x se zmenšují od 0 k -, Hodnota cosinus se zvětšuje od k nule. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k nule pak postupně stoupá k nekonečnu. Průběh funkce je podobný jako v intervalu 0;. - Hodnoty v dalších intervalech můžeme zkopírovat z již nakreslené části grafu, protože funkce sinus i cosinus je periodická s nejmenší periodou π a výsledek jejich dělení se již musí opakovat. 6

7 - Př: V tabulce hodnot goniometrických funkcí doplň hodnoty pro tangens. Úhel [ ] π π π π Úhel [rad] π 4 π 5 6 π π sin ( x ) 0 cos ( x ) tg( x ) 0-0 Úhel [ ] Úhel [rad] π 6 π 5 4 π 4 π π 5 π 7 4 π 6 π π sin ( x ) 0 cos ( x ) - tg( x ) Př: Zakresli hodnoty spočtené v tabulce do odhadnutého grafu funkce správnost odhadu. y = tg x a ověř tak 7

8 - Tabulkové hodnoty potvrzují odhadnutý tvar grafu. Př: Z grafu funkce y = tg x urči její vlastnosti. D ( f ) = R U + kπ k Z periodická s nejmenší periodou π. H f = R ( ) není omezená nemá maximum ani minimum lichá π π rostoucí v intervalu ;, dále pak v intervalu π ; π π π + kπ; + kπ. kladné hodnoty v intervalech 0 + k π; + k π záporné hodnoty v intervalech + k π ; π + k π,, tedy ve všech intervalech Př: Dokaž pomocí definice funkce y = tg x, že je funkce lichá. Potřebuju tg( x) tg( x) sin ( x) tg( x) = cos( x) =. Použiju vlastnosti goniometrických funkcí: sin x = sin x sinus je lichý ( ) ( ) 8

9 cosinus je sudý cos ( x) = cos ( x) sin ( x) sin ( x) tg( x) = = = cos ( x) cos( x) tg ( x) Je možné najít tangens v jednotkové kružnici? sin x Definice: tg x =. cos x Upravím ji tak, abych mohl použít poměr stran u podobných trojúhelníků. tg x sin x = cos x Zelený trojúhelník už známe, červený trojúhelník musí být podobný zelenému a jeho kratší (vodorovná) odvěsna musí mít délku trojúhelník sestrojíme, když v bodě R sestrojíme svislou přímku a necháme ji protnout s koncovým ramenem úhlu x. Svislá odvěsna má délku tg x. sin(x) - S cos(x) x T R tg(x) - Př: Pomocí znázornění funkce y = tg x na jednotkové kružnici zdůvodni, proč je v intervalu 0; funkce tg y = x rostoucí. 9

10 T tg(x) - S x R - Z obrázku je zřejmé, že při zvětšování úhlu x se zvětšuje hodnota tg x. V tomto okamžiku můžeme s klidem prohlásit naše grafy za správné. Graf funkce vypadá takto: y = tg x Správnost grafu můžeme ověřit i pomocí počítačového programu: 0

11 Nakresleny jsou grafy funkcí y = tg x, y = sin x, y = cos x tan(x), cos(x), sin(x) y x Nebo dynamickým modelem jednotkové kružnice.