. STEJNOSMĚNÉ OBVODY Příklad.: V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. Z 5 5 4 4 6 Schéma. Z = 0 V = 0 Ω = 40 Ω = 40 Ω 4 = 60 Ω 5 = 90 Ω 6 = 0 Ω rčit: celkový odpor C,,,,, 4, 5,, P 6 (výkon na rezistoru 6 ) ezistory a 4 jsou spojeny paralelně, vypočítáme jejich výsledný odpor: 4 = = = 4 Ω + + 4 40 60 5 ezistory 5 a 6 jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: Z 4 56 56 = 5 + 6 = 90 + 0 = 0 Ω Obvod se nám zjednoduší dle schématu. Schéma. Dále vidíme, že rezistory 4 a 56 jsou paralelně, jejich výsledný odpor: 456 = = = 0 Ω + + 4 56 0 4 Z Tím se nám obvod dále zjednoduší na 456 následující schéma : Schéma. ezistory 456 a jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: 456 = 456 + = 0 + 40 = 60 Ω Obvod se tímto krokem dále zjednoduší (schéma 4): Z 456 ezistory a 456 jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor C je zároveň celkový odpor vzhledem ke svorkám zdroje: C = = = 0 Ω + + 456 60 0 Obvod se nám zjednoduší na konečné schéma (schéma 5): Při řešení jednotlivých veličin v obvodě nyní postupujeme Schéma 4. Z C Schéma 5.
pozpátku po jednotlivých zjednodušených schématech a vypočítáváme jednotlivé veličiny. Z 0 Vypočítáme celkový proud z Ohmova zákona (podle schématu 5): = = = 5, A C 0 Dále proudy a podle schématu 4: = Z 0 = 0 = A = Z 0 = 60 = 05, A V dalším kroku se vrátíme ke schématu a vypočítáme : = 456 = 0,5 0 = 0 V Ve schématu vidíme, že napětí je připojeno na rezistor 56, kterým protéká proud 5 : 0 5 = = = 0, 08 A 56 0 Vrátíme-li se k původnímu schématu vidíme také, že napětí je zároveň napětím na rezistorech a 4, proudy těmito rezistory můžeme tedy vypočítat jako: = 0 = 40 = 05 0, A 4 = = = 0,667 A 4 60 Výkon na rezistoru 6 můžeme vypočítat z proudu tímto rezistorem a jeho odporu: P 6 = 6 6 = 0 0,08 = 0,08 W Příklad.: Máme dvě paralelně spojené autobaterie, každá má určité vnitřní napětí i a vnitřní odpor i. Připojovací kabely mají odpor V. Vypočítejte napětí a proudy v obvodě. rčit: i = V i =, V,, Z i = 0,08 Ω i = 0, Ω V = 0,06 Ω V = 0,04 Ω Z = 0,5 Ω K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. Pro obvod sestavíme tři rovnice, dvě V podle. Kirchhoffova zákona (pro napětí ve Z smyčkách) a jednu podle. Kirchhoffova zákona i Z (pro proudy v uzlu). Neznámými budou proudy. i Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky V budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: - i + i + V + Z Z + V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - Z Z - V - i + i - V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro horní uzel: + - Z = 0 ovnice upravíme: ( i + V + V ) + Z Z = i - Z Z + (- V - i - V ) = - i Z V V i i
+ - Z = 0 Do rovnic dosadíme konkrétní čísla a vyčíslíme závorky: 0, + 0,5 Z = 0,5 Z + 0,8 =, + - Z = 0 Tuto soustavu rovnic můžeme řešit jakýmkoli způsobem, v tomto řešeném příkladě použijeme dosazovací metodu, ale možná by byla i jakákoli jiná. Vyjádříme si Z Z = +, toto dosadíme do prvních dvou rovnic: 0, + 0,5 ( + ) = 0,5 ( + ) + 0,8 =, Po úpravě: 0,55 + 0,5 = 0,5 + 0,7 =, Z první rovnice vyjádříme : 0, 5 = =, 64 0, 66 055, Dosadíme do druhé rovnice: 0,5 (,64-0,66 ) + 0,7 =, Po úpravě: 0,5074 =,96 Z toho =, 96 0 5074 =5,, 767 A Proud =,64-0,66 =,64-0,66 5,767 = 9,97 A Proud zátěží Z = + = 5,767 + 9,97 = 5,79 A Napětí na zátěži bude Z = Z Z = 0,5 5,79 = 9,009 V Příklad.: Úsek stejnosměrné železniční tratě je napájen ze dvou stran, jak ukazuje obrázek. S uvažováním úbytků napětí na vedení i kolejnicích vypočítejte napětí na lokomotivě, její příkon, ztráty výkonu při přenosu a účinnost přenosu energie. vnitřní napětí napájecí stanice : = 600 V vnitřní napětí napájecí stanice : = 00 V délka úseku : l = 8000 m délka úseku : l = 000 m vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0, Ω vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0,5 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,7 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,96 Ω odpor kolejnic : k = 0,5 Ω odpor kolejnic : k = 0, Ω náhradní odpor lokomotivy: L = 4,5 Ω rčit: L, P L, P, η
trolejové vedení napájecí stanice + + kolejnice - - napájecí stanice l l Obr.. skutečná situace Pro výpočet vyjdeme z náhradního schématu na Obr.. K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. Sestavíme tři rovnice, dvě podle. Kirchhoffova zákona a jednu podle. Kirchhoffova zákona. Neznámými budou proudy. i Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: - + i + v + L L + k = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - k - L L - v - i = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro proudy: + - L = 0 Po dosazení do rovnic: -600 + 0, + 0,7 + 4,5 L + 0,5 = 0 00-0, - 4,5 L - 0,96-0,5 = 0 + - L = 0 Po úpravě a dosazení L = + : 0, + 0,7 + 4,5 ( + ) + 0,5 = 600-0, - 4,5 ( + ) - 0,96-0,5 = -00 Po úpravě: 5,45 + 4,5 = 600 4,5 + 5,8 = 00 5,45/4,5 Dostaneme: 5,45 + 4,5 = 600 (*) 5,45 + 7,048 = 996,667 ovnice odečteme a dostaneme: -,548 = -96,667 Z toho: = 55,678 A Z rovnice (*) potom: 600 4,5 55,678 = = 5,0 A 5,45 Dále L = + = 55,678 + 5,0 = 687,688 A Napětí na lokomotivě L = L L = 4,5 687,688 = 094,596 V v v L L L k k Obr.. náhradní schéma i 4
Příkon lokomotivy P L = L L = 094,596 687,688 = 8 6,54 W Ztráty výkonu vypočítáme z rozdílu výkonů napájecích stanic a výkonu lokomotivy. Výkony napájecích stanic: P = = 600 5,0 = 95 6 W P = = 00 55,678 = 5 77,4 W Ztráty výkonu při přenosu energie: P = P + P - P L = 95 6 + 5 77,4-8 6,54 = 00 856,866 W Účinnost přenosu: PL 86,54 η = = = 0,876 P + P 956 + 577,4 Příklad.4: Ze stejnosměrného zdroje jsou dvouvodičovým vedením zadané délky a průřezu z hliníku napájeny tři spotřebiče, jejichž odpor známe. Vypočítejte napětí na spotřebičích, proud tekoucí ze zdroje a proudy jednotlivými spotřebiči, přitom uvažujte úbytky napětí na vedení.. Z = 0 V Z = 00 Ω l = 80 m Z Z Z Z = 00 Ω l = 65 m Z = 40 Ω l = 40 m l l S = mm ρ Al = 0,07 0-6 Ω m l Z rčit:,,,,,, Nejdříve vypočítáme odpory jednotlivých vedení: l 80 V = ρ = 0, 07 0 = 486, Ω S 0 l 65 V = ρ = 0, 07 0 = 76, Ω S 0 l 40 V = ρ = 0, 07 0 = 78, Ω S 0 5
V V Náhradní schéma obvodu bude potom podle následujícího schématu (). ezistory V a Z jsou zapojeny do série, rezistory V a Z také. Vypočítáme výsledné hodnoty sériových kombinací: = V + Z =,78+40=47,56 Ω = V + Z =,76+00=0,5 Ω Z Z V Z V V V schéma. Z Zapojení se nám zjednoduší podle následujícího schématu (), rezistory Z, a jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor nazveme X. Z V Z V schéma. X = = + + + + 00 0, 5 47, 56 Z = 46, 64 Ω Zapojení se nám dále zjednoduší, jak ukazuje schéma (). Výsledný odpor tří do série zapojených rezistorů bude: = V + X = 4,86+46,64 = 56,6 Ω Proud ze zdroje bude: 0 = = =, 90 A 56, 6 Ze schématu () je vidět, že napětí můžeme vypočítat jako: = X = 46,64,90 = 8,0 V Z V V schéma X Ze schématu () je vidět, že proudy, a můžeme vypočítat jako: X 8, 0 = = = 09, A Z 00 X 8, 0 = = =, 758 A 0, 5 X 8, 0 = = =, 4 A 47, 56 Ze schématu () je vidět, že napětí a můžeme vypočítat jako: = Z = 00,758 = 75,8 V = Z = 40,4 = 7,8 V 6
Příklad.5: V předchozím příkladě nám vyšly příliš velké úbytky napětí v místě spotřebičů. Předpokládejme, že situace se dá vylepšit tím, že k síti by se připojil ještě jeden zdroj, (napětí obou napájecích zdrojů nebudou zcela stejná). Vypočítejte napětí na spotřebičích a proudy, tekoucí v jednotlivých místech sítě. A V B ZA Z Z ZB l l l 4 l Z rčit: ZA = 0 V,,, A, B, V,,, ZB = 0 V l 4 = 50 m Z = 00 Ω l = 80 m Z = 00 Ω l = 65 m Z = 40 Ω l = 40 m S = mm ρ Al = 0,07 0-6 Ω m Odpory prvních tří vedení známe z minulého příkladu: V = 4,86 Ω; V =,76 Ω; V =,78 Ω l4 50 V4 = ρ = 0, 07 0 = 405, Ω S 0 7
A V Protože jsou v obvodě dva zdroje, jejihž napětí nemůžeme jednoduše sečíst, použijeme k řešení metodu Kirchhoffových ZA rovnic. Z V Z Z ZB Náhradní schéma je na obrázku. Pro zjednodušení výpočtu V V V obr.. V4 nahradíme prvky Z, V a Z jedním náhradním rezistoten X (obrázek ). A V V V V4 B Proudy a napětí, a X dopočítáme potom, jako ZA X Z ZB při metodě postupného zjednodušování. = V + Z =,78+4 0=47,56 Ω V V obr.. V4 X = = = 84, 9Ω + + Z 00 47, 56 Pro obvod podle obrázku sestavíme tři rovnice podle. Kirchhoffova zákona (součty napětí ve smyčkách se rovnají nule) a dvě podle. Kirchhoffova zákona (součty proudů v uzlech se rovnají nule). Šipkami jsou ve smyčkách naznačeny směry, ve kterých budeme napětí sčítat, napětí ve směru šipek jako kladná, proti směru jako záporná. Napětí na odporech vyjádříme jako. Také musíme mít na paměti, že např. rezistorem V v horní větvi i v dolní větvi protéká stejný proud V. Pro první smyčku: - ZA + V A + X X + V A = 0 Pro druhou smyčku: - X X + V + Z + V = 0 Pro třetí smyčku: - Z - V4 B + ZB - V4 B = 0 Pro první uzel: A - V - X = 0 Pro druhý uzel: V + B - = 0 Pro řešení soustavy rovnic můžeme použít libovolnou metodu, použijeme dosazovací metodu. Do rovnic dosadíme číselné hodnoty a konstanty převedeme na pravou stranu: 4,86 A + 84,9 X = 0-84,9 X +,76 V + 00 V = 0-00 - 4,05 B = -0 A - V - X = 0 A = V + X (A) V + B - = 0 B = - V (B) Do prvních dvou rovnic dosadíme za A a B. 9,7 ( V + X ) + 84,9 X = 0-84,9 X +,5 V + 00 = 0-00 - 8, ( - V ) = -0 Dále upravíme: 94,6 X + 9,7 V = 0 (C) 00-84,9 X +,5 V = 0 (D) -08, + 8, V = -0 (E) V V V4 B 8
Z rovnice (E) vyjádříme proud : =,946 + 0,0749 V (F) Tento proud dosadíme do rovnice (D): 00 (,946 + 0,00749 ) - 84,9 X +,5 V = 0 ovnici dále upravíme a spolu s rovnicí (C) máme nyní dvě rovnice o dvou neznámých: -84,9 X +,0 V = -94,6 94,6 X + 9,7 V = 0 Z první rovnice si vyjádříme proud V : V = -7,64 + 7,7 X (G) Tento proud dosadíme do druhé rovnice: 94,6 X + 9,7 (-7,64 + 7,7 X ) = 0 Po úpravě: 69,59 X = 9,46 Z toho: X =,08 A Dosazením do vztahu (G) dostaneme: V = -7,64 + 7,7,08 = 0,6 A Dosazením do vztahu (F) dostaneme: =,946 + 0,0749 0,6 =,955 A Dosazením do vztahu (A) dostaneme: A = 0,6 +,08 =,47 A Dosazením do vztahu (B): B =,955-0,6 =,79A Podle schématu na obrázku můžeme vypočítat : = X X = 84,9,08 = 95,97 V Podle schématu na obrázku můžeme vypočítat proudy a. X 95, 97 = = = 0, 9798 A Z 00 X 95, 97 = = =, 8 A 47, 56 Dále určíme napětí a : = Z = 00,955 = 95,5 V = Z = 40,8 = 85,9 V Srovnáme-li tyto výsledky s výsledky z minulého příkladu (kdy byla síť napájená pouze z jednoho zdroje) vidíme, že napětí na spotřebičích je o něco vyšší, i když úbytky jsou stále příliš velké. Příklad.6: Je potřeba určit teplotu vinutí asynchronního motoru při dlouhodobém provozu (vinutí se vlivem ztrát zahřívá). K zjištění teploty bylo použito měření odporu vinutí za studena a za tepla ohmovou metodou (připojením stejnosměrného zdroje 6 V a změřením proudu). stejnosměrné napětí = 6 V stejnosměrný proud za studena 0 = 4,4 A teplota okolí ϑ 0 = 0 C Stejnosměrný proud po zahřátí =,5 A materiál vinutí měď, koeficient teplotní závislosti odporu α Cu = 0,008 K - rčit: 9
Teplotu vinutí za provozu (po zahřátí) ϑ. V náhradním schématu (které je pouze pro jednu fázi) vidíme, že vinutí motoru má indukčnost a odpor. Z Při napájení stejnosměrným proudem v ustáleném stavu se L indukčnost neuplatní. Proud je dán pouze velikostí stejnosměrného napětí a odporu vinutí. Vypočítáme tedy odpor vinutí za studena, zde Náhradní schéma předpokládáme, že vinutí má teplotu okolí a po zahřátí. Ze vztahu pro teplotní závislost odporu kovových materiálů určíme teplotu vinutí za provozu. 6 Odpor za studena 0 = = =, 67 Ω, 0 44, 6 odpor po oteplení = = =, 74 Ω. 5, ϑ 0 Vztah pro změnu teploty s odporem ϑ = 0 ( + α ϑ ) ϑ =, 0 α za odpor ϑ dosadíme odpor za provozu. 0, 74, 67 Potom ϑ = = = 66, 79 C, 0 α, 67 0, 008 Vypočítané oteplení je oteplení oproti počáteční teplotě, tedy teplotě okolí. Skutečná teplota vinutí za provozu tedy bude: ϑ = ϑ + ϑ 0 = 66, 79 + 0 = 86, 79 C Příklad.7: Máme zvonek připojený k baterii relativně dlouhým dvouvodičovým vedením, vypočítejte potřebné napětí napájecí baterie, jsou-li zadány následující parametry: B vedení l skutečné schéma zvonek Z Z Jmenovité napětí zvonku Z = 6 V Jmenovitý proud zvonku Z = 0,6 A Délka vedení l = 70 m Průřez vodiče S = 0,5 mm Měrný odpor mědi ρ Cu = 0,075 0-6 Ω m B V V V V náhradní schéma Z Z rčit: Potřebné napětí baterie B. Jak je vidět v náhradním schématu, nahradili jsme oba přívodní vodiče jejich odpory V a zvonek jeho odporem Z. Na odporech přívodních vodičů vzniknou úbytky napětí V. Odpor zvonku Z nepotřebujeme znát, 0
l 70 vypočítáme tedy odpor vodiče: V = ρ Cu = 0, 075 0 = 45, Ω S 05, 0 Bude-li obvodem procházet jmenovitý proud zvonku, bude na jednom vodiči úbytek napětí: V = Z V = 0,6,45 =,47 V Potřebné napětí baterie bude B = Z + V = 6 +,47 = 8,94 V. Příklad.8: Máme elektrodynamický měřicí systém, jehož napětí a proud při maximální výchylce (rozsah) je 0, V a ma. m = 0, V, m = ma rčete: a) Parametry ( P a P P ) předřadného rezistoru, chceme-li z měřicího systému postavit voltmetr s rozsahem 0 V. b) Parametry ( B a P B ) bočníku (rezistoru), cheme-li z měřicího systému postavit ampérmetr s rozsahem 0 A. Měřicí systém je základem analogového měřicího přístroje. Může být použit jak pro měření proudu, tak i napětí. V našem případě můžeme použít samotný systém k měření proudů do ma, nebo napětí do 0, V. Připojíme-li k měřicímu systému sériově předřadný rezistor, získáme voltmetr s vyšším rozsahem, připojíme-li k němu paralelně rezistor (zvaný bočník), získáme ampérmetr s vyšším rozsahem. ad a) Odpor předřadného rezistoru musíme navrhnout tak, aby když bude napětí = 0 V bylo na měřicím systému přesně napětí m = 0, V. p = - m = 0-0, = 9,7 V Předřadným rezistorem i měřicím systémem protéká stejný proud, při plné výchylce je to proud m = ma. p 9,7 p = = = 9700 Ω m 0,00 Výkon na předřadném rezistoru (při měřeném napětí 0 V): P p = p m = 9,7 0,00 = 0,0097 W = 9,7 mw. m p p m měřicí systém ad b) Odpor bočníku musíme navrhnout tak, aby při proudu = 0 A protékal měřicím systémem proud ma. b = - m = 0-0,00 = 9,999 A. Na bočníku i na měřicím systému je stejné napětí, při plné výchylce je to napětí m = 0, V. m 0, b = = = 0, 0 Ω b 9,999 P b = m b = 0, 9,999 = W b b m m měřicí systém