Obraz matematický objekt. Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R

Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R

Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Diskrétní obraz f d : (Ω {0... n 1 } {0... n 2 }) {0... f max }

Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Diskrétní obraz f d : (Ω {0... n 1 } {0... n 2 }) {0... f max } Další rozšíření: Okrajové podmínky Vektorové obrazy

Digitalizace Vzorkování & kvantizace hodnoty obrazové funkce (též intenzity). Digitální obraz se obvykle reprezentuje maticí. Pixel = akronym, angl. picture element.

Distribuce Operátor u, ϕ R

Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx)

Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) Vlastnosti: Linearita, Nezávislost na posunutí Spojitost δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx) Testovací funkce husté např. v L 2 Dirac δ je identitou konvoluce.

Distribuce Operátor u, ϕ R 1D Dirac δ (bod): δ, f (x) x = f (0) Vlastnosti: Linearita, Nezávislost na posunutí Spojitost δ(x) = lim ξ ξ rect(ξx) Testovací funkce husté např. v L 2 Dirac δ je identitou konvoluce. Na co si dát pozor: Nelze je vyhodnocovat v bodech (δ(0) =?) Nelze je násobit (δδ =?) Derivace ( δ, ϕ = δ, ϕ ) Změna měřítka ( δ(αx), ϕ = ϕ(0)/α) Fourierova transformace jen pro temperované distribuce, ( kompaktní ϕ). (F(δ) = 1)

2D Dirac 2D Dirac (bod): δ, f (x, y) (x,y) = f (0, 0) δ(x, y) = lim ξ ξ2 rect(ξx, ξy) δ(x, y) = δ(x)δ(y)

2D Dirac 2D Dirac (bod): δ, f (x, y) (x,y) = f (0, 0) δ(x, y) = lim ξ ξ2 rect(ξx, ξy) δ(x, y) = δ(x)δ(y) Ve 2D lze definovat mnoho 1D Diraců (např. přímka, kruh,...)

Vzorkování Vzorkovací rastr (a) (b)

Vzorkování Vzorkovací rastr (a) Vzorkovací funkce (pro uniformní pravoúhlou síť) (b) f ij = φ(x h x i, y h y j), f (x,y) φ(x, y) = δ(x, y) ideální vzorkování f ij = f (h x i, h y j)

Vzorkování Vzorkovací rastr (a) Vzorkovací funkce (pro uniformní pravoúhlou síť) (b) f ij = φ(x h x i, y h y j), f (x,y) φ(x, y) = δ(x, y) ideální vzorkování f ij = f (h x i, h y j) Hustota vzorkování h (Shannonova věta o vzorkování).

První scanner obrazu, 1956 R. Kirsch, SEAC and the start of image processing at the National Bureau of Standards. In: Annals of the history of computing, IEEE, vol. 20 (1998), p 7-13.)

Vzorkování, příklad Originál 256 256 256 256

Vzorkování, příklad Originál 256 256 128 128

Vzorkování, příklad Originál 256 256 64 64

Vzorkování, příklad Originál 256 256 32 32

Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz

Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita

Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,...

Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,... souhra vzorkování a interpolace

Vzorkování a interpolace Spojitý obraz vzorkování interpolace Diskrétní obraz Po částech konstantní interpolace (P0, nearest neighbor) rychlé, špatná kvalita lineární, kvadratická, kubická,... souhra vzorkování a interpolace (o interpolaci více později)

Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 256 jasových úrovní

Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 64 jasových úrovní

Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 16 jasových úrovní

Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 4 jasové úrovně

Kvantování, příklad Originál 256 jasových úrovní 2 jasové úrovně

Histogram hodnot jasu Histogram hodnot jasu je odhadem hustoty pravděpodobnosti jevu, že pixel bude mít určitou jasovou hodnotu. 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 výchozí obraz 0 50 100 150 200 250 histogram hodnot jasu

Histogram (2) Spojitý diskrétní

Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu

Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů

Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování

Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování Váhovací jádro

Histogram (2) Spojitý diskrétní Výpočet histogramu Volba počtu binů Dodatečné vyhlazování Váhovací jádro Problémy ve vyšších dimenzích

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní)

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2}

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u)

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i Podmínky optimality: t k = (r k + r k+1 )/2 r k = E { u t k u < t k+1 }

Kvantizace (2) u u q : t k u < t k+1 u q (u) = r k Rovnoměrná (uniformní) Optimální Minimalizujeme střední kvadratickou chybu (MSE) J = E { (u u q ) 2} Známe p(u) J = i+1 i (u r i ) 2 p(u) du i Podmínky optimality: t k = (r k + r k+1 )/2 r k = E { u t k u < t k+1 } Nemá přímé řešení, iterační postupy.