Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Transkript

1 14.3 Kolmost podprostorů Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový prostor dimenze 1, jehož vektory jsou kolmé na všechny vektory v té rovině) a ortogonálním doplňkem přímky je naopak rovina. v 3 v v 1 Obrázek 6: V 1 =[{ v 3 }],V =[{ v 1, v }], v 3 v 1, v ; V 1 = V azároveňv = V1 Definice 8 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V k (Pech:AGLÚ/str D.5.1) Věta 56 (Dimenze ortogonálního doplňku). Je-li V k podprostor vektorového prostoru V n. potom ortogonální doplněk Vk vektorového podprostoru V k je vektorový prostor dimenze n k. (Pech:AGLÚ/str.10 - V.5.1) Definice 9 (Kolmost vektoru k podprostoru). b Vk (Pech:AGLÚ/str.10 - V.5.1) 104

2 Věta 57 (Kritérium kolmosti vektoru k podprostoru). Vektor b V n je kolmý k podprostoru V k V n, jestliže je kolmý ke všem vektorům jeho báze { a 1, a,..., a k }. Definice 30 (Kolmost podprostorů). Poznámka. Rozlišujeme: prostory kolmé: V r V s prostory totálně kolmé: V r V s (Pech:AGLÚ/str.10 - V.5.1) (Pech:AGLÚ/str.10 - V.5.1) V r = V s a V s = V r Prostory totálně kolmé jsou zároveň i kolmé. Tvrzení opačné však obecně neplatí. Prostory kolmé nemusí být zároveň totálně kolmé. Uveďte příklad. PŘÍKLAD Rozhodněte, za jakých podmínek jsou na sebe kolmé podprostory V =[{ a 1, a }],V 3 =[{ b 1, b, b 3 }] Řešení: Dle definice 30: 1) existuje x V kolmý k V 3, x = x 1 a 1 + x a, tj. x b 1 = x 1 a 1 b1 + x a b1 =0 x b = x 1 a 1 b + x a b =0 x b 3 = x 1 a 1 b3 + x a b3 =0 ) existuje y V 3 kolmý k V, y = y 1 b1 + y b + y 3 b3, tj. y a 1 = y 1 b1 a 1 + y b a 1 + y 3 b3 a 1 =0 y a = y 1 b1 a + y b a + y 3 b3 a =0 Aby měly obě uvedené soustavy nenulová řešení, musí být hodnost matice [ ] a 1 b1 a 1 b a 1 b3 a b1 a b a (1) b3 105

3 menší než. Obecně bychom řekli, že hodnost takovéto matice musí být menší než minimum z dimenzí posuzovaných vektorových prostorů. Definice 31 (Nutná a postačující podmínka kolmosti dvou podprostorů). a 1 b1 a 1 b... a 1 bs a V r V s h(g) < min(r, s); G = b1 a b... a bs a r b1 a r b... a r bs 14.4 Orientace vektorového prostoru (Pech:AGLÚ/str V.5.3) PŘÍKLAD Najděte matice přechodu mezi uvedenými (ortonormálními) bázemi vektorového prostoru V. a) e 1 =(1, 0), e =(0, 1); f 1 =( 1 1, ),f =( 1 1, ), b) e 1 =(1, 0), e =(0, 1); f 1 =( 1, 1 ),f =( 1, 1 ), Podle znaménka determinantu matice přechodu mezi dvěma bázemi určujeme, zda jsou souhlasné (+), nebo nesouhlasné (-). Definice 3 (Orientovaný vektorový prostor). (Pech:AGLÚ/str D.6.1) Poznámka. V prostoru dimenze 3 rozlišujeme pravotočivé a levotočivé báze. Konstrukci pravotočivé báze užitím pravidla pravé ruky známe z fyziky. 106

4 14.5 Ortogonální doplněk n-1 vektorů Ortogonálním doplňkem skupiny n 1 vektorů rozumíme jeden vektor, který je kolmý ke všem n 1 vektorům Jedná se o zobecnění vektorového součinu, který známe z prostoru dimenze 3. Vektorový součin bychom tedy mohli nazývat také ortogonální doplněk vektorů Vektorový součin PŘÍKLAD Coriolisova síla F C =m v ω. PŘÍKLAD Určete obsah trojúhelníku ABC : a) A =[1,, 0], B=[3, 0, 3], C=[5,, 6], b) A =[ 1, 1], B=[3, 3], C=[1, 5]. Vektorový součin vektorů u, v; u =(u 1,u,u 3 ), v =(v 1,v,v 3 ): u v =(u v 3 u 3 v,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v u v 1 ) () Norma (velikost) vektorového součinu: u v = u v sin ϕ u v = u v = u 1 u u 3 v 1 v v 3 e 1 e e 3 ( u u 3 v v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u v 1 v ) 107

5 Úkol: Dokažte, že vektorový součin u v je kolmý k oběma vektorům u, v. Věta 58 (Vlastnosti vektorového součinu). 1. u v = ( v u). (c u) v = u (c v) =c( u v) 3. ( u + v) w = u w + v w 4. u v = o u, v závislé 5. u, v nezávislé { u, v, u v} tvoří kladnou bázi V 3 6. u v u, v 7. u v = u u v v u v = u v sin ϕ (Pech:AGLÚ/str V.7.3) PŘÍKLAD Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC s vrcholy A = [7, 3, 4], B=[1, 0, 6], C=[4, 5, ]. Po normu vektorového součinu platí následující vztahy: w = u v = u v sin α (3) w = u v = u u v v u v = u v sin α (4) Poznámky. 1. Determinant u u v v u v je tzv. Gramův determinant vektorů u, v (Pech:AGLÚ/str.111). Vztah u v = u u v v u v je speciálním případem tzv. Lagrangeovy identity (Pech:AGLÚ/str ) 108

6 14.5. Ortogonální doplněk n-1 vektorů v prostoru V n Definice 33. a 1 a... a n 1 = a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n a n 1,1 a n 1,... a n 1,n e 1 e... e n = A 1 e 1 +A e +...+A n e n a 1 a... a n 1 =(A 1,A,..., A n ) Poznámka. Připomeňme si větu o rozvoji determinantu n a ik A jk = δ ij det A, k=1 kde δ ij je tzv. Kroneckerovo delta, pro které platí: δ ij =1proi = j a δ ij =0proi j. Vlastnosti ortogonálního doplňku 1. Ortogonální doplněk a 1 a... a n 1 je kolmý k vektorům a 1, a,..., a n 1.. a 1 a... a n 1 = o a 1, a,..., a n 1 lineárně závislé 3. a 1, a,..., a n 1 lineárně nezávislé { a 1, a,..., a n 1, a 1 a... a n 1 } tvoří kladnou bázi V n 4. Prohozením pořadí dvou vektorů se ortogonální doplněk mění na opačný, tj. mění se znaménko a 1 a 1 a a 1 a 3... a 1 a n 1 5. a 1 a... a n 1 a = a 1 a a a 3... a a n 1 = a n 1 a 1 a n a a n 1 a 3... a n 1 det G( a 1, a,..., a n 1 )... Gramův determinant (Pech:AGLÚ/str.108,109 - V.7.1,V.7.) 109