FOURIEROVA TRANSFORMACE
|
|
- Emil Pavel Tichý
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 FOURIEROVA TRANSFORMACE
2 FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x) = 1 π f(v) cos(u(x v)) dv du. Výsledek je možné nyní přeformulovat s použitím komplexních funkcí. Fourierova řada a 2 + ( ) a n cos(πnx/l) + b n sin(πnx/l) n=1 lze přepsat do tvaru + c n e iπnx/l, kde c n = a n ib n 2 n= Odtud snadno vyplývá, že pro všechna celá n je c n = 1 2l l l pro n, c n = a n + ib n 2 f(x)e iπnx/l dx. pro n <. Pokud znovu provedete postup, který vede k rovnosti ve Fourierově větě, a použijete předchozí modifikovaný zápis Fourierových řad, dostanete Fourierovu větu v následujícím tvaru:
3 VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x) = 1 ( ) f(u)e ivu du e ivx dv. 2π Na základě této věty se definuje : DEFINICE. Pro reálné funkce f a F definované na R se definuje F(f)(s) = f(t)e ist dt, F 1 (F )(t) = 1 2π F (s)e its ds. Funkce F(f) se nazývá funkce f, funkce F 1 (F ) se nazývá inverzní funkce F. Fourierovu větu lze nyní formulovat ve tvaru: Necht ϕ je po částech hladká na R a R ϕ konverguje. Potom F(F 1 (ϕ)) = F 1 (F(ϕ)) = ϕ.
4 Sinová a kosinová Je-li funkce f nebo F sudá, lze Fourierovu vyjádřit jiným způsobem: F(f)(s) = F 1 (F )(t) = 1 2π f(t) ( cos(st) i sin(st) ) dt = 2 F (s) ( cos(ts) + i sin(ts) ) ds = 1 π Podobně lze vyjádřit Fourierovu transformaci liché funkce: F(f)(s) = F 1 (F )(t) = 1 2π f(t) ( cos(st) i sin(st) ) dt = 2i F (s) ( cos(ts) + i sin(ts) ) ds = i π f(t) cos(st) dt, F (s) cos(ts) ds. f(t) sin(st) dt, F (s) sin(ts) ds. Jedná se o podobnou situaci jako u Fourierových řad sudých nebo lichých funkcí: ve výsledku se vyskytovaly nenulové koeficienty jen u cos, resp. u sin. Tzv. řada funkce f byla Fourieriova řada funkce, která se rovnala f na [, ) a byla doplněna na sudou funkci na záporných číslech. Podobně řada funkce f byla Fourieriova řada funkce, která se rovnala f na (, ) a byla doplněna na lichou funkci na záporných číslech. Stejně lze postupovat u Fourierovy. Aby nebylo nutné si pamatovat dvě různé konstanty před integrály, změní se jedna konstanta na 1 a druhá na 2/π:
5 DEFINICE. Pro reálné funkce f a F definované na (, ) se definuje F c (f)(s) = f(t) cos(st) dt, F c 1(F )(t) = 2 π F (s) cos(ts) ds. Funkce F c (f) se nazývá kosinová funkce f, funkce F c 1(F ) se nazývá inverzní kosinová funkce F. F s (f)(s) = f(t) sin(st) dt, F s 1(F )(t) = 2 π F (s) sin(ts) ds. Funkce F s (f) se nazývá sinová funkce f, funkce F s 1(F ) se nazývá inverzní sinová funkce F. Z Fourierovy věty se dostává: VĚTA. Necht ϕ je po částech hladká na (, ) a ϕ konverguje. Potom F c (F c 1(ϕ)) = F c 1(F c (ϕ)) = ϕ, F s (F s 1(ϕ)) = F s 1(F s (ϕ)) = ϕ.
6 VLASTNOSTI FOURIEROVY TRANSFORMACE Následující vlastnosti jsou i s důkazy (kromě poslední vlastnosti o u a konvoluci) podobné těm z teorie Laplaceovy. V následujících vzorcích lze předpokládat, že uvedené funkce jsou po částech spojité absolutně integrovatelné.
7 Posunutí Posunutí funkce f o a je funkce f(t a). posunuté funkce a posunutá (oboje o a) se spočítá snadno: F(f(t a))(s) = e ias F(f(t))(s) F(f(t))(s a) = F(e iat f(t))(s).
8 Zvětšení Zvětšením (nebo zmenšením) funkce f se míní funkce f(at) pro a. Následující výpočty jsou velmi jednoduché (druhá rovnost plyne z první): F(f(at))(s) = 1 ( s ) a F(f(t)) a F(f(t))(as) = 1 ( t ) a F(f )(s). a
9 Derivace Vztah a Fourierovy je podstatný pro použití na řešení diferenciálních rovnic. Rovnosti se dokáží snadno pomocí po částech. Je nutné předpokládat, že všechny uvedené integrály konvergují. spojitá. F(f (t))(s) = isf(f(t))(s) d F(f(t))(s) = F( itf(t))(s). ds Indukcí se dokáží rovnosti pro vyšších řádů: F(f (n) (t))(s) = (is) n F(f(t))(s) d n ds nf(f(t))(s) = F(( it)n f(t))(s).
10 Integrace Vzorce na integraci Fourierovy se získají z předchozích vzorců pro : Je-li g primitivní funkce k f na R taková, že lim g(t) = t F(g)(s) = F(f)(s)/(is). Funkce F(f)(s) je primitivní k funkci F( f(t)/(it))(s) na R. lim g(t) =, pak t +
11 Konvoluce Na rozdíl od Laplaceovy převádí funkcí na konvoluci obrazů. V případě funkcí na R se definuje trochu jinak: DEFINICE. Konvoluce na R dvou funkcí f, g je funkce (f g)(t) = f(τ)g(t τ) dτ. Vlastnosti jsou probrány v Otázkách. Platí F(f g) = F(f) F(g) F(f g) = 1 F(f) F(g). 2π Použití Fourierovy na hledání řešení diferenciálních a integrálních rovnic je podobné použití Laplaceovy viz příklady
12 KOMPLEXNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Na rozdíl od Laplaceovy, která se dá použít i pro funkce neomezené v nekonečnu, (jako reálná funkce) nelze aplikovat ani na nenulové konstantní funkce. Tento nedostatek se dá odstranit umožněním komplexních hodnot. Definice Fourierovy má smysl i pro komplexní funkce reálné proměnné f a pro komplexní čísla s. Dostane se pak komplexní funkce komplexní proměnné (změníme označení proměnné): F(f)(z) = f(t)e izt dt. Kde je tato funkce definována a kde je holomorfní? VĚTA. Necht f je po částech hladká a f(t) ke at pro t > a f(t) ke bt pro t < a pro nějakou konstantu k. Potom F(f)(z) je holomorfní v pásu b < I(z) < a. Jak to vypadá s inverzní transformací pro F(f)(z)? Obecně ji nelze definovat jako pro reálné funkce, protože F(f)(z) nemusí být na reálné ose (tj. pro I(z) = ) vůbec definována. Necht je F(f)(z) definována na přímce I(z) = c. Potom F(f)(s + ic) je definována na R a rovná se F(e ct f(t))(z). Tedy platí e ct f(t) = 1 2π F(f)(s + ic)e ist ds = ect 2π +ic +ic F(f)(u)e iut ds
13 kde pro poslední integrál byla použita substituce u = s + ic a uvedené meze značí integraci po přímce I(z) = c. Po zkrácení výrazem e ct se dostane inverzní pro uvedený případ, takže f(t) = 1 2π +ic +ic jakmile je F(f)(z) definována na přímce I(z) = c. Shrneme předchozí výsledky do věty: F(f)(s)e ist ds, VĚTA. Necht f je po částech hladká a f(t) ke at pro t > a f(t) ke bt pro t < a pro nějakou konstantu k. Potom pro libovolné c (b, a) je f(t) = 1 +ic ( ) f(t)e its dt e ist ds, 2π ic
14 INVERZNÍ LAPLACEOVA TRANSFORMACE Laplaceova se dá vyjádřit pomocí Fourierovy : L(f)(s) = f(t)e ts dt = F(f)( is), jestliže definujeme f(t) = pro t <. Stejně jako u Fourierovy je v definici Laplaceovy možné chápat proměnnou s jako komplexní číslo a L(f) je tedy komplexní funkce komplexní proměnné. Pokud je f exponenciálně omezená, tj. f(t) ke bt pro nějaká reálná čísla k, b, je podle předchozí části funkce F(f)( iz) holomorfní pro R(z) > b (ukažte to). Použitím předchozí části na získání inverze pro F(f)( is) se dostane následující tvrzení. VĚTA. Necht f je po částech hladká komplexní funkce reálné proměnné, která je rovna pro t < a f(t) ke bt pro nějaká reálná čísla k, b a pro t >. Potom L(f)(z) je holomorfní funkce na polorovině R(z) > b a pro libovolné c > b je f(t) = 1 2πi c+ i ci L(f)(s)e ts ds. Uvedená je po přímce kolmé k ose x v bodě c. Nyní je možné počítat inverzní Laplaceovu transformaci pomocí uvedeného vzorce. Nicméně, přímý výpočet tohoto integrálu může být komplikovaný.
15 V některých případech je možné s výhodou použít reziduovou větu. Integrace po uvedené přímce se spočte limitou integrálů přes zvětšující se intervaly, které se doplní (většinou polokružnicí) na uzavřenou křivku. Následující věta popisuje velkou třídu funkcí, pro které je možné takto inverzní Laplaceovu transformaci spočítat. VĚTA. Necht g je holomorfní funkce v C \ {z 1,..., z n } a existují k, p > tak, že g(z) k z p pro z C \ {z 1,..., z n }. Potom pro c > max{r(z 1 ),..., R(z n )} je 1 c+ i n g(z)e tz dz = res zi (g(z)e tz ). 2πi ci Přeformulováním předchozí věty se dostává tvrzení o výpočtu inverzní Laplaceovy : DŮSLEDEK. Necht g je holomorfní funkce v C \ {z 1,..., z n } a existují k, p > tak, že g(z) k z p pro dostatečně velká z. Potom n L 1 (g(z))(t) = res zi (g(z)e tz ). i= i=1
16 APLIKACE FOURIEROVY TRANSFORMACE Klíčové kroky zajímavých aplikací 1. Transformace signálu. 2. Potřebné úpravy ve frekvencích. 3. Inverzní.
17 Diskrétní Nahradíme spojitý signál f za diskrétní posloupnost: {f, f 1,..., f N 1 }. Diskrétní (DFT) z této konečné posloupnosti vytvoří diskrétní posloupnost jejich obrazů pomocí vzorečku F n = {F, F 1,..., F N 1 } N 1 k= f k (e 2πin/N ) k. Inverzní DFT je pak inverzní proces pomocí vzorečku f n = 1 N N 1 k= F k (e 2πin/N ) k. Pro zpracování zvuků (MP3) se používá modifikace DFT, modifikovaná Diskrétní kosínová se vzorečkem N 1 ( ( F n = f k cos πi k + 1 ) ) /N. 2 k= DFT jde snadno rozšířit do více dimenzí a slouží mimo jiné ke zpracování obrazů (JPEG).
18 Rychlá Vzoreček pro diskrétní Fourierovu transformaci F n = N 1 k= f k ( e 2πin/N ) k je ve skutečnosti počítáním hodnoty polynomu P (x) = f k x k s koeficienty f k v bodech x = ωn, ωn, 1..., ωn N 1, kde ω N = e 2πi/N je N-tá odmocnina z jedničky. Rychlá (FFT) počítá hodnoty DFT pomocí následujícího triku. Všimneme si, že výpočet hodnoty polynomu N-tého stupně potřebuje řádově N operací: p(x) = a + x(a 1 + x(a x(a n 2 + xa n 1 ) )). Necht je N sudé. Pro DFT máme počítat N hodnot polynomu P (x) = f k x k stupně (N 1). Tedy lze očekávat řádově N 2 operací. Trik spočívá v tom, že místo toho budeme počítat dva polynomy stupně nejvýše N/2 S(y) = f + f 2 y + f 4 y 2 + L(y) = f 1 + f 3 y + f 5 y 2 +
19 v N/2 bodech (ωn) 2, (ωn) 1 2,..., (ωn N 1 )2, (je jich sice N, ale některé jsou v seznamu dvakrát, TRIK!!!), protože P (x) = S(x 2 ) + xl(x 2 ). Tedy místo N 2 operací na jeden problém velikosti N s kvadratickou náročností dostaneme zhruba polovinu, protože zjednodušení vede na dva problémy poloviční velikosti, tedy (N/2) 2 + (N/2) 2 operací. Podobně se použije FFT pro inverzní DFT: f n = 1 N N 1 k= F k (e 2πin/N ) k. z kapitoly FOURIEROVA TRANSFORMACE
20 FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla definována průměrovací operace na funkce f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2. VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x) = 1 ( ) f(u)e ivu du e ivx dv. 2π DEFINICE. Pro reálné funkce f a F definované na R se definuje F(f)(s) = f(t)e ist dt, F 1 (F )(t) = 1 2π F (s)e its ds. Funkce F(f) se nazývá funkce f, funkce F 1 (F ) se nazývá inverzní funkce F. Necht ϕ je po částech hladká na R a R ϕ konverguje. Potom F(F 1 (ϕ)) = F 1 (F(ϕ)) = ϕ.
21 Sinová a kosinová DEFINICE. Pro reálné funkce f a F definované na (, ) se definuje F c (f)(s) = f(t) cos(st) dt, F c 1(F )(t) = 2 π F (s) cos(ts) ds. Funkce F c (f) se nazývá kosinová funkce f, funkce F c 1(F ) se nazývá inverzní kosinová funkce F. F s (f)(s) = f(t) sin(st) dt, F s 1(F )(t) = 2 π F (s) sin(ts) ds. Funkce F s (f) se nazývá sinová funkce f, funkce F s 1(F ) se nazývá inverzní sinová funkce F. Z Fourierovy věty se dostává: VĚTA. Necht ϕ je po částech hladká na (, ) a ϕ konverguje. Potom F c (F c 1(ϕ)) = F c 1(F c (ϕ)) = ϕ, F s (F s 1(ϕ)) = F s 1(F s (ϕ)) = ϕ.
22 VLASTNOSTI FOURIEROVY TRANSFORMACE
23 Derivace F(f (t))(s) = isf(f(t))(s)
24 Konvoluce DEFINICE. Konvoluce na R dvou funkcí f, g je funkce (f g)(t) = f(τ)g(t τ) dτ. Platí F(f g) = F(f) F(g).
25 KOMPLEXNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE VĚTA. Necht f je po částech hladká a f(t) ke at pro t > a f(t) ke bt pro t < a pro nějakou konstantu k. Potom F(f)(z) je holomorfní v pásu b < I(z) < a. VĚTA. Necht f je po částech hladká a f(t) ke at pro t > a f(t) ke bt pro t < a pro nějakou konstantu k. Potom pro libovolné c (b, a) je f(t) = 1 +ic ( ) f(t)e its dt e ist ds, 2π +ic
26 APLIKACE FOURIEROVY TRANSFORMACE Klíčové kroky zajímavých aplikací 1. Transformace signálu. 2. Potřebné úpravy ve frekvencích. 3. Inverzní.
27 Diskrétní Nahradíme spojitý signál f za diskrétní posloupnost: {f, f 1,..., f N 1 }. Diskrétní (DFT) z této konečné posloupnosti vytvoří diskrétní posloupnost jejich obrazů pomocí vzorečku F n = {F, F 1,..., F N 1 } N 1 k= f k (e 2πin/N ) k. Inverzní DFT je pak inverzní proces pomocí vzorečku f n = 1 N N 1 k= F k (e 2πin/N ) k.
28 Rychlá Vzoreček pro diskrétní Fourierovu transformaci F n = N 1 k= f k ( e 2πin/N ) k je ve skutečnosti počítáním hodnoty polynomu P (x) = f k x k s koeficienty f k v bodech x = ωn, ωn, 1..., ωn N 1, kde ω N = e 2πi/N je N-tá odmocnina z jedničky. Rychlá (FFT) počítá hodnoty DFT pomocí následujícího triku. Všimneme si, že výpočet hodnoty polynomu N-tého stupně potřebuje řádově N operací: p(x) = a + x(a 1 + x(a x(a n 2 + xa n 1 ) )). Necht je N sudé. Pro DFT máme počítat N hodnot polynomu P (x) = f k x k stupně (N 1). Tedy lze očekávat řádově N 2 operací. Trik spočívá v tom, že místo toho budeme počítat dva polynomy stupně nejvýše N/2 S(y) = f + f 2 y + f 4 y 2 + L(y) = f 1 + f 3 y + f 5 y 2 +
29 v N/2 bodech (ωn) 2, (ωn) 1 2,..., (ωn N 1 )2, (je jich sice N, ale některé jsou v seznamu dvakrát, TRIK!!!), protože P (x) = S(x 2 ) + xl(x 2 ). Tedy místo N 2 operací na jeden problém velikosti N s kvadratickou náročností dostaneme zhruba polovinu, protože zjednodušení vede na dva problémy poloviční velikosti, tedy (N/2) 2 + (N/2) 2 operací. Podobně se použije FFT pro inverzní DFT: f n = 1 N N 1 k= F k (e 2πin/N ) k.
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE Fourierova transformace je užitečná transformace, která pomáhá řešit řadu úloh tím, že je přetransformuje na jednodušší úlohy, ty vyřešíma a výsledky přetransformujeme zpět. Má
Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
LAPLACEOVA TRANSFORMACE LAPLACEOVA TRANSFORMACE
LAPLACEOVA TRANSFORMACE 2 log 2 (log 2)/2 exp((log 2)/2) = 2, přičemž se pro hledání logaritmů a exponenciel používaly tištěné tabulky. V této kapitole bude vyložena dosti odlišná teorie od těch předešlých.
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
LAPLACEOVA TRANSFORMACE 2 log 2 (log 2)/2 exp((log 2)/2) = 2, přičemž se pro hledání logaritmů a exponenciel používaly tištěné tabulky. f (t) derivuji f (t) LAPLACEovo zrcadlo F(x)=L(f ) x.f(x) násobím
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Derivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
LAPLACEOVA TRANSFORMACE V této kapitole si čichneme k čarování. Já o tom vím svoje. A já ty kouzla našel. Začneme s historií. Víte, jak se kdysi odmocňovalo? 1 Když ještě jako nebyla počítadla? Ano. Postup
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Funkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Integrální transformace
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Integrální transformace MA III (M3100) 1 / 43 Obsah 1 Integrální transformace Úvod Konvoluce Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
NMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth
FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
SINGULARITY A REZIDUA IZOLOVANÉ SINGULARITY
SINGULARITY A REZIDUA Zatím to vypadalo, že jsme si definovali šílený komplexní integrál a nakonec jsme se jej naučili počítat. Ukážeme, že pomocí křivkového integrálu velmi elegantně spočítáme některé
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
12.1 Úvod. Poznámka : Příklad 12.1: Funkce f(t) = e t2 nemá Laplaceův obraz. Příklad 12.2: a) L{1} = 1 p, p > 0 ; b) L{ eat } = 1, [ZMA15-P73]
KAPITOLA 2: Lalaceova transformace [ZMA5-P73] 2. Úvod Lalaceovým obrazem funkce f(t) definované na, ) nazýváme funkci F () definovanou ředisem Definičním oborem funkce F F () = f(t) e t dt. je množina
Zavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Několik aplikací. Kapitola 12
Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.