pro obory Fyzioterapie a Optometrie jarní semestr 2011

Transkript

1 Biosignál pro obory Fyzioterapie a Optometrie MUDr. Jaromír Šrámek Biofyzikální ústav Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno jarní semestr 2011 MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

2 Biosignál O co jde? Signál signál je fyzikální děj nesoucí informaci o systému užitečnou informaci Biosignál signál nese informaci o živém systému a jsou tu problémy: Co je informace? Co je systém? Co je živý systém? MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

3 Biosignál Rozměry signálu bezčasové časové jednorozměrné střední tlak krve teplotka, oxymetrie vektor teplota+tlak+bmi EKG, EEG dvojrozměrný RTG sono, scinti trojrozměrný CT, MRI 4D sono Jak je to s tím časem? vlastně je to další rozměr biosignály mohou mít jeden až čtyři rozměry MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

4 Biosignál Deterministický signál idealizace: jednoznačně určená hodnota v každém bodě deterministický biosignál lze jednoznačně popsat funkcí y = f (t, x 1, x 2, x 3,...) funkce, resp. posloupnost, je matematickým modelem deterministického (bio)signálu v technice užitečné např. střídavý proud v medicíně spíš teoretický význam MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

5 Biosignál Stochastický signál reálná situace: náhody se nezbavíme šum, onemocnění,... stochastický biosignál matematickým modelem je náhodný proces {X (t, x 1, x 2, x 3,...)} výhody dostatečně obecné dostatečně věrné nevýhody lze popsat jen pravděpodobnostmi příliš obecné neučí se na střední škole MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

6 Biosignál Bud me diskrétní... spojitý čas 1 spojitý lze si představit jako plynulý deterministický signál modelem je funkce stochastický signál modelem je spojitý náhodný proces diskrétní čas čas je definovaný jen v izolovaných okamžicích mezi okamžiky nemusíme vidět např. čas mezi měřeními mezi okamžiky nemusí být signál definovaný např. natalita deterministický signál modelem je posloupnost stochastický signál modelem je diskrétní náhodný proces diskrétní hodnoty hodnoty jsou vybírány jen z konečné množiny výsledek kvantování např. cena v korunách, číslice na displeji přirozeně diskrétní signál např. počet nemocných, náklady 1 resp. libovolná nezávisle proměnná MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

7 Biosignál Diskrétně podruhé vzorkování pro celou řadu úloh je třeba z (bio)signálu se spojitým vybrat jen vzorky vzorkovat lze rovnoměrně nebo nerovnoměrně MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

8 Biosignál Diskrétně podruhé vzorkovací teorém minimální vzorkovací frekvence Shanon-Kotelnikovův teorém, Nyquistova limita,... f max 2 f sampling MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

9 Systém Systém je když... systém je poměrně obecný pojem, vyjadřuje obvykle nějaké uspořádání prvků a vztahů mezi nimi příklady systémů: fylogenetická klasifikace šelem model ekosystému blokové schema osciloskopu kompartmentový model metabolizmu metabolické dráhy jing a jang 2... tak jak z toho udělat definici? 2 i neexistující věc lze popsat jako systém MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

10 Systém Systém je když... pracujeme systematicky (např.) Systém je dvojice množin (P, V ), kde P je množina prvků a V je množina vztahů mezi nimi. MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

11 Systém Rozdělení systémů lineární systémy matematicky lze popsal lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty: n a i y(t) (i) = i=0 m b j x(t) (j), n > m lze popsal lineární diferenční rovnicí s konstantními koeficienty: n a i y(t i) = i=0 j=0 m b j x(t i), n > m platí princip superpozice chovají se hezky, jsou dobře řešitelné,... ALE! pro většinu biologických systémů příliš zjednodušující nelineární systémy jakýkoliv systém, který není lineární j=0 MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

12 Systém Lineární systémy matematický popis vnitřní popis víme-li, jak systém vypadá formalizace soustavou diferenciálních rovnic reprezentujících strukturu u lineárních systémů 4 matice vnější popis využíváme platnosti principu superpozice... a několika dalších fint přenosová funkce frekvenční charakteristika impulzní a skoková odezva systému MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

13 Systém Nelineární systémy obecně neplatí princip superpozice vnější popis obvykle nelze vnitřní popis velmi komplikovaný např. z matic čísel jsou matice funkcí, objevují se další členy,... problémy s nelinearitou z odezvy na dva vstupní signály obecně nemůžeme usuzovat na odezvu na součet kde to jde, snažíme se linearizovat kde to nejde, nelineární věda MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

14 Systém Kam až jsme se dostali fraktály, chaos,... Pojmy, které mohou v souvislosti se systémy padnout stavový prostor trajektorie a speciálně v souvislosti s nelineárními systémy teorie chaosu fraktál MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

15 Systém Jak souvicí signály a systémy? signály a soustavy se učí na technikách jako jeden předmět systém je zdrojem signálu signál je průchodem systémem modifikován modifikace záměrná: zpracování signálu, filtrace,... modifikace nežádoucí: poruchy, šum,... MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

16 Matematické intermezzo K čemu to? MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

17 Matematické intermezzo Komplexní čísla již kvadratická rovnice nemusí mít v reálných číslech řešení x 1,2 = b± D 2a D = b 2 4ac nelze odmocňovat záporná čísla? lze, ale výsledkem není reálné číslo definujeme komplexní jednotku i = 1 technici značí komplexní jednotku j MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

18 Matematické intermezzo Komplexní čísla obvykle značíme z C lze vyjádřit ve tvaru z = a + ib, kde a, b R pak hovoříme o složkovém nebo též algebraickém tvaru značíme a = Re(z) a b = Im(z) Gaussova rovina číslo z lze reprezentovat jako bod o souřadnicích Re(z) a Im(z) z lze vyjádřit i pomocí vzdálenosti od počátku z a úhlu mezi průvodičem a reálnou osou ϕ goniometrický tvar: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) exponenciální tvar: z = z e iϕ MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

19 Matematické intermezzo Posloupnosti a řady užitečný pojem, pokud se hovoří o diskrétních deterministických signálech některé pojmy jsou na nich snáze pochopitelnější posloupnost je nekonečná sekvence čísel a 1, a 2,... a n,... řada je součet takové posloupnosti: a 1 + a a n +... = i=0 a i ne každá posloupnost nebo řada má pro nás smysl MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

20 Matematické intermezzo Funkce jedné proměnné pojem intuitivně známý již ze základní školy představa, že jde o předpis přiřazující nějakému x nějaké y je dostačující obecný zápis: y = f (x) důležitý pojem je limita funkce: a = lim x x0 f (x) MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

21 Matematické intermezzo Derivace funkce jedné proměnné geometrický význam: směrnice tečny grafu značení: f (x), y, dy dx, d dxf (x), ḟ (t),... definice: y f (x) f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 funkci lze derivovat bod po bodu a tak lze získat opět funkci opakováním derivace získáme derivace vyšších řádů MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

22 Matematické intermezzo Integrál funkce jedné proměnné neurčitý integrál opačný postup k derivaci, hledání primitivní funkce značení: F (x) = f (x) dx neurčitý integrál zobecnění sumace, stanovení plochy pod křivkou značení: a ono to souvisí: b a I = b a f (x) dx f (x) dx = F (b) F (a) MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

23 Matematické intermezzo Funkce více proměnných přirozené zobecnění funkce jedné proměnné např. z = f (x, y) jde-li o funkci na několik proměnných, lze chápat jako několik funkcí na jednu proměnnou MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

24 Matematické intermezzo Derivace funkce více proměnných opět si lze představit směrnici tečny grafu kam však bude směrnice směřovat? parciální derivace parciální derivace ve směru os: z x, z y ( ) gradient: grad z(x, y) = z x, z y totální diferenciál: parciální derivace ve směru gradientu MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

25 Matematické intermezzo Integrál funkce více proměnných základem je určitý integrál několik úrovní abstrakce Darbouxův Riemannův Lebegueův Kurzweilův význam má objemu pod plochou MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

26 Matematické intermezzo Vektor a matice vektor si lze představit jako n-tici čísel matici si lze představit jako m n-tici čísel na vektor lze pohĺıžet jako na matici 1 n matice lze sčítat jen pokud mají stejné rozměry pro násobení matic platí složitější podmínky vždy lze násobit čtvercové matice, ale obvykle: A B B A MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

27 Matematické intermezzo Náhodný jev obvykle nevíme, jak nějaký pokus dopadne: výsledek hodu kostkou? exploze v laboratoři? vyléčení nemocného? výsledem genetického algoritmu?... náhodný jev si můžeme představit jako jeden z možných výsledků pokusu náhodnému jevu můžeme přiřadit pravděpodobnost číslo z intervalu < 0, 1 > MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

28 Matematické intermezzo Náhodná veličina korektní definice nevypadá hezky: B B : {ω Ω : X (ω) B} A takže raději neformálně: náhodná veličina je funkce přiřazující každému jevu z dané množiny jevů jeho pravděpodobnost náhodnou veličinu lze popsat několika způsoby: pravděpodobnostní funkcí hustotou pravděpodobnosti distribuční funkcí k orientačnímu hodnocení slouží ukazatele střední hodnota kvartily rozptyl momenty šikmost, špičatost... MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

29 Matematické intermezzo Náhodný vektor vektor, jehož prvky jsou náhodné veličiny popis podobný jako u náhodné veličiny přibývá hodnocení vzájemného vztahu prvků vektoru: korelace a korelační koeficienty kovariance a (ko)varianční matice MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

30 Matematické intermezzo Náhodný proces korektní definice je hůře uchopitelná obohacení náhodné veličiny o časovou složku může být spojitý nebo diskrétní MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

31 Fourierova analýza periodická funkce a posloupnost periodická funkce: f (t) = f (t + nt ), n N periodická posloupnost: a(i) = a(i + it ), i, n N MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

32 Fourierova analýza Fourierova řada vhodnou periodickou funkci lze zapsat: f (t) = (a n sin ωnt + b n cos ωnt) n=1 alternativní zápis: a n sin ωnt + b n cos ωnt = A n sin(nωt + ϕ n ) a n sin ωnt + b n cos ωnt = A n e inωt MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

33 Fourierova analýza Fourierova transformace definována integrálem: S(ω) = hovoříme o frekvenčním obrazu funkce obecně komplexní funkce f (t)e iωt dt MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

34 Fourierova analýza Spektrum signálu MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

35 Fourierova analýza příklady použití detekce periodicity minimalizace šumu texturní analýza zpracování audiosignálu v kochleárním implantátu MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

36 Analýza obrazů MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

37 Analýza obrazů Jde obraz matematizovat? pixel nejmenší ploška obrazu, homogenní barevný vjem lze vyjádřit jako tři složky: RGB červená, zelená, modrá CMYK modrozelená, fialová, žlutá, černá HSV barevný tón, sytost, jas u černobílých obrazů je situace jednodušší, jen stupeň šedi obraz může být chápán jako funkce nebo matice MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

38 Analýza obrazů histogram přehledné znázornění četnosti jednotlivých stupňů šedi jasné a srozumitelné informace o obraze i naprosto odlišné obrazy mohou mít stejný histogram MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

39 Analýza obrazů histogram - ekvalizace histogramu rozšířením histogramu tak, aby pokrýval všechny dostupné stupně šedi, zvýší kontrast změna barev/jasů mapovací funkce MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

40 Analýza obrazů redukce šumu originál Gausovský šum medián DF filtr originál šum pepř a sůl medián DF filtr MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

41 Analýza obrazu segmentace segmentace je rozdělení obrazu na podobné regiony podobnost může spočívat v: úrovni jasu jednotlivých pixelů statistických vlastnostech okoĺı jednotlivých pixelů strukturních vlastnostech okoĺı jednotlivých pixelů v dalším lze nechat počítač tyto regiony klasifikovat počítačové vidění počítačem podporovaná diagnostika regiony se klasifikují podle hranice a tvaru textury MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

42 Analýza obrazu jednoduchá segmentace nejjednodušší je prahování nejčastěji se používají hranové filtry detekce změny jasu postupně originál a hranové detektory Robertsův, Laplaceův a Sobelův (gimp a ImageJ) MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

43 Analýza obrazu A k čemu je to v klinice? zesílení kontrastu klinických obrazů plynulá úprava histogramu ekvalizace adaptivní a inteligentní metody počítačová podpora diagnostiky využívá číselných charakteristik tvaru a textury léze problém s reprodukovatelností měření fúze zajímavých obrazů z různých metod CT/PET komparační mikroskopie (konfokální + elektronový mikroskop)...!!žádná metoda do obrazu nepřidá novou informaci!! MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47

44 A to je konec přednášky... Má někdo sílu na dotazy? MUDr. Jaromír Šrámek (BFÚ LF MU) Biosignál jarní semestr / 47