1.3.3 Množinové operace

Podobné dokumenty
1.3.2 Množinové operace

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

1.3.4 Vennovy diagramy

( ) ( ) Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.2.5 Orientovaný úhel II. π π = π = π (není násobek 2π ) 115 π není velikost úhlu α. Předpoklady: Nejdříve opakování z minulé hodiny.

2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými

Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

( B A) ( ) Počítání s vektory. Předpoklady: 7204, 7205

7.5.3 Hledání kružnic II

( 2 ) ( 8) Nerovnice, úpravy nerovnic. Předpoklady: 2114, Nerovnice například 2x

Největší společný dělitel

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Goniometrické nerovnice

4.2.5 Orientovaný úhel II


3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

Dláždění I. Předpoklady:

3.1.2 Polorovina, úhel

Grafy funkcí s druhou odmocninou

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

Soustavy více rovnic o více neznámých II

5.1.8 Vzájemná poloha rovin

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

2.7.7 Inverzní funkce

( ) ( )( ) ( x )( ) ( )( ) Nerovnice v součinovém tvaru II. Předpoklady: Př.

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I

Další vlastnosti kombinačních čísel

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

Funkce rostoucí, funkce klesající II

2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí

4.2.4 Orientovaný úhel I

( ) Grafy mocninných funkcí. Předpoklady: 2414, 2701, 2702

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

1.1.8 Sčítání přirozených čísel

( ) ( ) ( ) x Užití derivace. Předpoklady: 10202, 10209

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.

ROVNICE A NEROVNICE. Lineární rovnice s absolutní hodnotou II. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0107

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

4.2.3 Oblouková míra. π r2. π π. Předpoklady: Obloukovou míru známe z geometrie nebo z fyziky (kruhový pohyb) rychlé zopakování.

Pravděpodobnost a její vlastnosti

2.5.1 Kvadratická funkce

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Množiny a operace s nimi

2.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí

2.1.5 Graf funkce I. Předpoklady: 2104

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Logaritmická funkce I

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Nepřímá úměrnost I

9.1.1 Základní kombinatorická pravidla I

2.3.5 Ekvivalentní úpravy

2.5.1 Kvadratická funkce

Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I

Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I

2.4.7 Omezenost funkcí, maximum a minimum

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Základy matematiky pro FEK

Parametrické systémy lineárních funkcí II

0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady:

= + = + = 105,3 137, ,3 137,8 cos37 46' m 84,5m Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m. 2 (úhel, který spolu svírají síly obou holčiček).

2.1.6 Graf funkce II. Předpoklady: 2105

Množiny. Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky.

Procvičit si matematickou logiku při práci s Vennovými diagramy

Absolutní hodnota I. π = π. Předpoklady: = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá.

( n) ( ) ( ) Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

Matematická analýza 1

Množiny, relace, zobrazení

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305

( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

4.3.1 Goniometrické rovnice I

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

6.1.2 Operace s komplexními čísly

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

1.4.3 Složené výroky implikace a ekvivalence

Transkript:

1.3.3 Množinové operace Předpoklady: 010302 Pedagogická poznámka: Stejně jako v předchozích dvou hodinách by žáci měli sami podle znění definic řešit příklady. Př. 1: Pokud provedeme s množinami, množinovou operaci, získáme jako výsledek další množinu (podobně jako výsledkem operace se dvěma čísly je číslo). Jaké prvky bude obsahovat množina, která vznikne operací: a) sjednocení, b) průnik, c) rozdíl dvou množin,. Předpokládáme, že názvy operací odpovídají jejich významu. a) sjednocení množin, Sjednotit znamená dát dohromady sjednocením množin, zřejmě vznikne množina, ve které budou všechny prvky obou množin. b) průnik množin, Proniknout znamená projít srz, ale například, když dojde k průniku zájmů, najdeme společné zájmy průnikem množin, zřejmě vznikne množina, ve které budou společné prvky obou množin. c) rozdíl Při výpočtu rozdílu jsme z čísla odebírali druhé číslo rozdílem množin, zřejmě vznikne množina, ve které budou všechny prvky jedné množiny, které nejsou v množině druhé. Pedagogická poznámka: Cílem předchozího příkladu není sestavení definic, ale ilustrace toho, že názvy popisují hrubé rysy operací, že matematika souvisí s používáním slov v jiných kontextech Průnik množin ( ) Průnik množin, (zapisujeme ) je množina všech prvků, které patří zároveň do obou množin. Př. 2: Kteří studenti patří do průniku množiny "všech studentů v oddělení u okna" s množinou "všech kluků ve třídě"? Kluci, kteří sedí u okna. Splňují obě podmínky, patří do obou množin. Konkrétně Michal a Marek. 1

Př. 3: V obrázku množin a vyšrafuj množinu. Poznámka: V průniku je toho málo, proto je značka stříška, pod ní málo naprší. Pokud platí = říkáme, že množiny, jsou disjunktní. Př. 4: Najdi příklady dvojic disjunktních množin, jejichž prvky jsou osoby ve třídě. Příkladů je mnoho: množina kluků ve třídě a množina holek ve třídě, množina učitelů a množina studentů přítomných ve třídě,... Pedagogická poznámka: Můžeme se zeptat taky na případy množin, které nejsou navzájem disjunktní. Sjednocení množin ( ) Sjednocení množin, (zapisujeme ) je množina všech prvků, které patří alespoň do jedné z množin,. Př. 5: Kteří studenti patří do sjednocení množiny "všech studentů, jejichž jméno začíná na R" s množinou "všech studentů, jejichž příjmení začíná na M"? Studenti, jejichž jména začíná na R nebo jejichž příjmení začíná na M. Konkrétně Ríša, Radek a Martin. Pedagogická poznámka: Najděte ve třídě písmena tak, aby vyhovujících žáků nebylo mnoho a našel se takový, který vyhovuje oběma podmínkám (patří do obou množin). Část třídy totiž takové žáky do sjednocení nezařadí. Chybující (nebo dotazující se) nechávám nejdříve ještě jednou přečíst zadání. 2

Př. 6: V obrázku množin a vyšrafuj množinu. Poznámka: Ve sjednocení je toho hodně, proto je značka vanička, do ní hodně naprší. Př. 7: Najdi dvě množiny jejichž sjednocením vznikne množina všech studentů třídy. Opět mnoho možností: množina kluků a množina holek, množina místních a množina dojíždějících,... Př. 8: Jaký je vztah mezi množinami a, pokud platí =. Pokud platí: = znamená to, že všechny prvky množiny jsou v množině. Rozdíl množin, ( \ ) je množina všech prvků, které nejsou prvky množiny. Př. 9: V obrázku množin a vyšrafuj množinu \. \ Pedagogická poznámka: Předchozí obrázek si žáci často kreslí tak, že oblast je tak malá, že není poznat, zda je vyšrafovaná či není. Je to dobrá příležitost připomenout, že na obrázku musí být vidět to, co je na něm zajímavé (v tomto případě, která část množiny je vyšrafovaná a která ne). 3

Př. 10: Kromě rozdílu množin \, je možné vytvořit také rozdíl \. Zformuluj jeho definici a nakresli ilustrační obrázek. Rozdíl množin \ je množina všech prvků množiny, které nejsou prvky množiny. \ Pedagogická poznámka: V následujícím příkladu mají žáci použít všechny operace, které probrali v předchozí části hodiny. Jde o zajímavý test toho, jak hluboce hodinu vnímají. Pokud se musí dívat zpět do sešitu, jde o příznak toho, že informace správně nezpracovávají a měli by se vědomě snažit o změnu. Př. 11: U každé z následujících dvojic množin urči,, \ a \. =, = { 1,3, π,17} b) = { x Ν ; x > 3}, = { x Ν; x 7} c) = { x Ζ ; x > 3}, = { x Ζ ; x > 5,2} a) { 1,2, π, 8} d) { x ; x 0} = Ζ <, = { x Ζ ; x } 2 = x e) = Z, = N = = { 1,3, π,17} a) { 1,2, π, 8} = { 1, π} { 1, 2,3,, 8,17} = π, \ { 2, 8} = \ = { 3,17} b) = { x Ν ; x > 3} = { 4,5,... } = { x Ν; x 7} = { 1,2...6,7} = { 4,5,6,7} = { 1,2,3,4,... } = N \ = { x N, x > 7} \ = { x N; x 3} = { 1, 2,3} c) = { x Ζ ; x > 3} = { 2, 1,0,... } = { x Ζ ; x > 5,2} = { 5, 4, 3,... } = { 2, 1,0,... } = { x Ζ ; x > 3} = { 5, 4, 3,... } = { x Ζ; x 5} \ = \ = { 5; 4, 3} d) = { x Ζ ; x < 0} = { 1, 2, 3... } 2 { ; } = Ζ = = { 0,1, 2,... } x x x 4

= = Ζ \ = { x Ζ ; x < 0} \ = Z + 0 e) = Z = N = N = Ζ \ = Z \ = 0 Př. 12: Petáková: strana 11/cvičení 17 strana 11/cvičení 18 Shrnutí: Významy množinových operací jsou skryty v jejich názvech. 5