Parametrické systémy lineárních funkcí II

Transkript

1 .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů velké problém, nakonec jsem se rozhodl věnovat problematice celou hodinu. Ne kvůli příkladu samému, ale tomu, že dobře reprezentuje skupinu úloh, kde mají studenti sami něco objevovat. Protože se v hodině používají parametr, musela nakonec vzniknout i předchozí hodina, která parametr vsvětluje. Pedagogická poznámka: V hodině postupují různí studenti značně různými rchlostmi. Je jasné, že slabší studenti nemohou ani zdaleka stihnout všechn příklad. Společný postup koordinujeme tak, ab se Ti horší v tom příliš dlouho bezradně neplácali a všichni měli na konci alespoň chvilku na řešení příkladu. Př. 1: Jsou dán lineární funkce = + b; b 1; ) s omezeným definičním oborem 1; ). Nakresli graf těchto funkcí. Jak jsou omezen hodnot těchto funkcí? Pracujeme například s funkcemi: = + 1, = +, = +, Protože za nedosazujeme všechna reálná čísla, ale pouze čísla z intervalu 1; ) nebudou graf jednotlivých funkcí přímk, ale pouze polopřímk: Protože graf funkce = + 1 je ze všech uvažovaných funkcí posunutý nejníže, je vidět, že platí = f ( ) 0 1

2 Př. : Najdi všech hodnot parametru b, pro které pro lineární funkci = + b platí: ; platí, že f ( ) > 0. Takový příklad jsme ještě nedělali musím řešení vzkoumat. Začneme pokusem: nakreslíme do obrázku několik funkcí podle zadání s pomocí těchto funkcí zjistíme, jaký přesný význam mají podmínk ze zadání a zda je nakreslené funkce splňují podmínka v zadání ; zajímáme se pouze o čísla z intervalu ; si je v obrázku, vznačíme f ( ) > 0 hodnot pro červeně označené bod na ose musí být větší než nula bod grafu musí být nad osou Procházíme graf: Žlutý nevhovuje například pro 0 Fialový nevhovuje například pro 1 =, je f ( ) = =, je f ( ) = 1

3 Zelený nevhovuje pro =, je f ( ) = 0 (všechn ostatní hodnot b vhovoval) Modrý vhovuje všechn červené hodnot mají kladné hodnot Hodnota parametru b posunuje graf ve svislém směru při pohbu modrého grafu nahoru bude podmínka f ( ) > 0 vžd splněna při pohbu modrého grafu směrem dolů bude podmínka f ( ) > 0 porušena Kd se to zkazí? Kdž modrý graf přejde do zeleného. zelený graf je první, který nevhovuje Zelený graf = funkce = + Podmínce ze zadání vhovují všechn hodnot parametru b z intervalu ( ; ). Př. : Najdi všech hodnot parametru b, pro které pro lineární funkci = 0, + b platí: ; platí, že f ( ) 1;. Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladu. Nakreslíme si do obrázku graf několika funkcí, které odpovídají podmínkám zadání. Vznačíme hodnot i, které jsou uveden v zadání:

4 pro hodnot proměnné z intervalu ; musí být hodnot f ( ) 1; funkce b se měla pohbovat v červeném obdélníku. Procházíme graf: Žlutý nevhovuje všechn hodnot pro ; jsou příliš malé (pod obdélníkem) Fialový nevhovuje hodnot pro (0; jsou příliš malé (pod obdélníkem) Zelený vhovuje všechn hodnot pro ; jsou v obdélníku Modrý nevhovuje všechn hodnot pro ;) jsou příliš velké (nad obdélníkem) Hodnota parametru b posunuju graf ve svislém směru mohu zelený graf posunou o kus nahoru i dolů. Kd se to zkazí? při pohbu nahoru v čárkované poloze, graf prochází bodem [ ] ; (všechn graf, které budou výš už nebudou splňovat podmínk)

5 funkce = 0, + b, procházející bodem [ ;], hledáme b = 0,( ) + b b = při pohbu dolu v tečkované poloze, graf prochází bodem [ ; 1] (všechn graf, které budou níž už nebudou splňovat podmínk) funkce 0, b ; 1, hledáme b = +, procházející bodem [ ] ( ) b b 1 = 0, + = 0, Zadání vhovují všechn funkce = 0, + b, kde b 0,; Př. : Najdi všechn hodnot parametru a takové, ab pro lineární funkci = a platilo, že ;, pro které platí, že f ( ) ;. Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladu. Nakreslíme si do obrázku graf několika funkcí, které odpovídají podmínkám zadání. Vznačíme hodnot i, které jsou uveden v zadání:

6 pro alespoň jedno z intervalu ; musí hodnota ( ) funkce b se měla dostat mimo červený obdélník. Procházíme graf: Žlutý nevhovuje všechn hodnot leží v obdélníku Fialový nevhovuje všechn hodnot leží v obdélníku Zelený vhovuje hodnot leží mimo obdélník nahoře i dole Modrý vhovuje hodnot leží mimo obdélník nahoře i dole f ležet mimo interval ; Hodnota parametru a mění sklon grafu. Měníme hodnotu a u modrého grafu: zvětšujeme a sklon grafu roste hodnot, které leží mimo obdélník bude přibývat graf bude stále splňovat podmínk zadání zmenšujeme a sklon grafu klesá hodnot, které leží mimo obdélník bude ubývat ve chvíli, kd se graf dostane do čárkované poloh přestane splňovat podmínk zadání funkce = a a = = a, procházející bodem [ ; ], hledáme a podmínkám zadání vhovují všechn hodnot parametru a z intervalu Měníme hodnotu a u zeleného grafu: zmenšujeme a sklon grafu roste hodnot, které leží mimo obdélník bude přibývat graf bude stále splňovat podmínk zadání zvětšujeme a sklon grafu klesá hodnot, které leží mimo obdélník bude ubývat ve chvíli, kd se graf dostane do čárkované poloh přestane splňovat podmínk zadání funkce = a, procházející bodem [ ;], hledáme a = a ( ) a = ;

7 podmínkám zadání vhovují všechn hodnot parametru a z intervalu ; Parametr a může nabývat všechn hodnot ze sjednocení intervalů ; ; Př. : Najdi všechn hodnot parametru a takové, ab pro lineární funkci = a + platilo, že pro ; platí, že f ( ) ;. Nejdříve si nakreslíme obrázek s několika funkcemi tpu = a +. Do obrázku také zakreslíme hodnot a udané v zadání. =+ =+ =0,+ =0+ =-+ =+ Z obrázku jsou zřejmé dvě věci: 1. Lineární funkce a 0;. = + jsou všechn lineární funkce, které prochází bodem [ ] Jejich sklon může být libovolný. Zřejmě budeme hledat takové hodnot parametru a, ab funkce měla správný sklon.. Pro červené hodnot ; musí vjít modré hodnot = f ( ) ;. Které z nakreslených funkcí vhovují zadání? 7

8 = 0, +, = 0 + a = +. Jak se z obrázku pozná, že funkce vhovují zadání? Graf funkce se protíná pouze z bočními stranami všrafovaného obdélníku nebo jeho vrchol. Graf funkce se nesmí protnout s vnitřním bodem horní nebo dolní stran. Které části intervalu ( ; ) vhovují zadání? Pro velké hodnot a jsou graf funkcí příliš strmé a protínají se vodorovnými stranami. Eistuje určitá kladná mezní hodnota a, při které graf prochází přesně vrcholem obdélníka. Všechn menší kladné hodnot a jsou řešením. Podobně pro záporné hodnot a. Pro velké záporné hodnot a jsou graf příliš strmé. Eistuje určitá záporná mezní hodnota a pro kterou graf prochází přesně vrcholem obdélníka. Všechn menší záporné hodnot a jsou řešením. k; l. řešením je interval ( ) Hledáme mezní hodnot. 1. Kladná Obě možnosti jsou nakreslen na obrázku. [; ] [-; ] 1. možnost funkce a. možnost funkce a ; = +, prochází bodem [ ] = a + a =. = a + a =. = +, prochází bodem [ ; ] ( ) Největší kladnou hodnotou, která je řešením je. Záporná Obě možnosti jsou nakreslen na obrázku. a =. 8

9 [; ] [-; ] 1. možnost funkce a. možnost funkce a = +, prochází bodem [ ; ] = +, prochází bodem [ ] ( ) Nejmenší zápornou hodnotou, která je řešením je Řešením příkladu jsou a ;. = a + a =. ; = a + a =. a =. Př. : Petáková: strana 7/cvičení strana 8/cvičení strana 7/cvičení 7 strana 7/cvičení 8 strana 7/cvičení 9 Shrnutí: 9