4.3.3 Goniometrické nerovnice I
|
|
- Blažena Sedláková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 Goniometrické nerovnice I Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné Po vyřešení prvních čtyř příkladů nechávám studentům svobodu volby Při řešení nerovnic, které obsahují tg nebo cotg používáme grafy funkcí V této hodině se projeví, jak jsou na tom studenti opravdu s představami o zachycení goniometrických funkcí v jednotkové kružnici Pokud se objeví tyto problémy, je třeba nejdříve odstranit je a pak se teprve zabývat nerovnicemi Goniometrické funkce (zejména sinus a cosinu) mají něco společného s kvadratickou funkcí nejsou prosté řešení goniometrický nerovnic probíhá podobně jako řešení kvadratických nerovnic ve dvou krocích: vyřešíme rovnici kořeny získané v předchozím kroku využijeme k nakreslení obrázku nebo vynesení do grafu, podle kterého rozhodneme o řešení nerovnice Př : sin x Umíme vyřešit rovnici s pomocí obrázku sin x = Nakreslíme jednotkovou kružnici a vyřešíme nerovnost - S x x Řešení rovnice x =, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která sin x mají y-ovou souřadnici větší (nebo rovnou) jsou výše (nebo stejně vysoko) než čísla vyhovující rovnici sin x =
2 - S x x Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ; π - Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval K = + k π; π + k π + k π; π + k π Př : y = cos x cos x Kromě jednotkové kružnice využij i graf funkce Umíme vyřešit rovnici cos x = x x - S Řešení rovnice x = π, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která cos x mají x-ovou souřadnici menší (nebo rovnou) jsou více vlevo (nebo stejně vlevo) jako čísla vyhovující rovnici cos x =
3 x x - S Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π ; π - Kontrola pomocí grafu funkce Do grafu vyznačíme hodnotu y = cos x y = : x x - Na ose x hledáme čísla, pro která rovny) cos x hodnoty funkce jsou menší (nebo jsou jsou níže (nebo stejně nízko) jako body přímky Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π π ; Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval K = π + k π; π + k π y = π + k π; π + k π Pedagogická poznámka: U slabších studentů povoluji, aby ve všech následujících příkladech používali metodu, která je pro ně jednodušší
4 Př : sin x > Při řešení využij obrázek jednotkové kružnice - S x x Základní řešení rovnice 4 5 x = π, x = π sin x = - Hledáme čísla, pro která sin x > mají y-ovou souřadnici větší než jednotkové kružnici výše než čísla vyhovující rovnici sin x = leží na - S x x - Vybarvená čísla nemůžeme zapsat intervaly: 5 4 π ; π (v intervalu píšeme vždy nejdříve menší číslo) 4 5 π ; π (ten obsahuje mimo krajní body čísla, která nejsou řešením nerovnice) použijeme pro jeden z krajních bodů číslo, které není v intervalu 0;π ) dvě možnosti: 5 π π = π získáme interval 4 π ; π, 4
5 π + π = π získáme interval π ; π Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval 4 K = π + k π; π + k π 4 π + k π; π + k π Př 4: cos x Při řešení využij graf funkce y = cos x π 7 ovnice cos x = má v intervalu 0;π dvě řešení: x =, x = π Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu 0,5-0,5 - Řešení v intervalu 0;π ) bychom museli zapsat pomocí dvou intervalů Zápis se značně zjednoduší, když vybereme čísla mimo interval 0;π ) : π 7 0; π;π π π řešení pomocí intervalu kolem 0 ;, 7 9 řešení pomocí intervalu kolem π π ; π Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π π π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval + k π; + k π π π K = + k π ; + k π 5
6 Př 5: tg x > π π ovnice tg x = má v intervalu ; jediné řešení: π x = Nakreslíme graf funkce y = tg x a zobrazíme do něj hodnotu - π π π π Řešení v intervalu ; můžeme zapsat jako ;, hodnoty funkce tg y = x se π π opakují s periodou π K = + k π; + k π Př 6: cotg x ovnice cotg x = má v intervalu ( 0;π ) jediné řešení: Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu x = π 4 6
7 Řešení v intervalu ( 0;π ) můžeme zapsat jako opakují s periodou π 0; π, hodnoty funkce y = cotg x se 4 K = 0 + k π; π + k π 4 Př 7: Petáková: strana 55/cvičení 6 a) b) Shrnutí: Při řešení goniometrických nerovnic využíváme grafy goniometrických funkcí (nebo znázornění pomocí jednotkové kružnice) a řešení odpovídajících goniometrických rovnic 7
4.3.3 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce
4 Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce Předpoklady: 40 Př : Najdi všechny úhly x 0;π ), pro které platí sin x = Postřeh: Obrácená úloha než dosud Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických
( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x
9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos
4.3.1 Goniometrické rovnice I
4.. Goniometrické rovnice I Předpoklady: 4, 4, 46, 47 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí
4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.
Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď
Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá
4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro
4.3.1 Goniometrické rovnice
.. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice
Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II
.. Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud máte málo času můžete z této hodiny vyřešit pouze první tři příklady a ve zbývajících 5 minutách projít
4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
4.2.15 Funkce kotangens
4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.
4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme
( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305
.. Základní goniometrické vzorce III Předpoklad 0, 0 Pedagogická poznámka Je zřejmé, že samostatně studenti všechn rovnice za jednu hodinu nevřeší. Pokud se objeví větší rozdíl mezi různými částmi tříd
Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.
..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální
Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I
4..0 Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I Předpoklady: 409 Pedagogická poznámka: Kvůli následující hodině je třeba dát pozor, příliš se nezaseknout na začátku hodiny a postupovat tak, aby
2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými Předpoklady: 308 Př. 1: Najdi všechna řešení nerovnice 6x + 1 10. Zkusíme jako u rovnice. 6x + 1 10 3y 9 6x 9 6x y = 3 x 3 Jak zapsat množinu všech řešení? K
Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a
4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
2.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí
.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí Předpoklady: 70, 70 Pedagogická poznámka: Jedním z nejdůležitějších cílů hodiny je, aby si studenti kreslili obrázky, které jim při řešení příkladů doopravdy
4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této
4.3.2 Goniometrické rovnice II
.. Goniometrické rovnice II Předpoklady: 000 Pedagogická poznámka: Hodina je rozdělena na dvě poloviny. Před příkladem přibližně v polovině hodiny přeruším práci a synchronizuji třídu. Př. : ( sin x )
[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206
..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou 0009. Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni
Cyklometrické funkce
4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.
Zadání. Goniometrie a trigonometrie
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )
III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208
4..0 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 40, 408 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by bylo lepší, kdyby si studenti metodu rychlého
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924
5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět
2.4.9 Rovnice s absolutní hodnotou I
..9 Rovnice s absolutní hodnotou I Předpoklady: 0, 0, 05 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny odpovídá přibližně 5 minutám. Je samozřejmě možné ji spojit s následující hodinou, pak ovšem část příkladů nestihnete
4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus
4..9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 408 Grafy funkcí y = sin a y = cos, které jsme získali vynesením hodnot v minulé hodině. 0,5-0,5 - Obě křivky jsou stejné, jen kosinusoida je o π napřed
Matematika pro všechny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková
Lineární funkce IV
.. Lineární funkce IV Předpoklady 0 Pedagogická poznámka Říkám studentům, že cílem hodiny není naučit se něco nového, ale použít to, co už známe (a možná se také přesvědčit o tom, jak se nemůžeme obejít
GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.
/ 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =
/7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav
2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
Vzorce pro poloviční úhel
4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
2.4.9 Rovnice s absolutní hodnotou I
..9 Rovnice s absolutní hodnotou I Předpoklady: 0, 0, 05 Pedagogická poznámka: Obsah hodiny odpovídá přibližně 5 minutám. Je samozřejmě možné ji spojit s následující hodinou, pak ovšem část příkladů nestihnete
Goniometrické a hyperbolické funkce
Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,
Cyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
Grafy funkcí s druhou odmocninou
.7.0 Grafy funkcí s druhou odmocninou Předpoklady: 003, 00709 Pedagogická poznámka: V první části hodiny při kreslení grafů nesmí jít o nic nového, studenti musí chápat, že jde znovu o pouhé opakování
16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:
.3.5 Součtové vzorce Předpoklad: 30 Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: 0 = sin ( ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel
Kvadratické nerovnice Předpoklady: Př. 1: Úvaha: Pedagogická poznámka:
..10 Kvadratické nerovnice Předpoklady: 01, 0, 0, 07 Př. 1: Vyřeš nerovnici 0. 0 - mohu rozložit na součin není to nic nového + 1 0 ( )( ) Hledám nulové body: 0 ( ) = = ( ) ( ; 1) ( 1; ) ( ; ) ( ) - -
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
Základy matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
Použití substituce pro řešení nerovnic II
.7. Použití substituce pro řešení nerovnic II Předpoklad: 7, 7, 7 Pedagogická poznámka: Platí to samé, co pro předchozí hodinu. Skvělé cvičení na orientaci v příkladu, přehledný zápis a schopnost řešit
4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306
.3.7 Součtové vzorce Předpoklad: 306 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje látku na přibližně jeden a půl vučovací hodin, první část kombinuji s písemkou. Pedagogická poznámka: Úspěch této hodin (a hodin
Logaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí
.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí Předpoklady: 60, 603 U předchozích funkcí jsme měli vždy s funkcemi rovnice existují lineární lomené rovnice a nerovnice? Jak by vypadaly? Například takto:
( ) ( )( ) ( x )( ) ( )( ) Nerovnice v součinovém tvaru II. Předpoklady: Př.
.. Nerovnice v součinovém tvaru II Předpoklady: 0 Př. 1: Řeš nerovnici x x 0. Problém: Na levé straně není součin musíme ho nejdříve vytvořit: x x x x x x x x x x + 0. ( ( ( = = + řešíme nerovnici: ( (
= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme
- FUNKCE A ROVNICE Následující základní znalosti je nezbytně nutné umět od okamžiku probrání až do konce kapitoly (většinou do napsání čtvrtletní písemné práce, na výjimky z tohoto pravidla bude upozorněno).
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
III Určování hodnot funkcí sinus a cosinus
..7 Určování hodnot funkcí sinus a cosinus Poznámka: Obsah této kapitoly nepřináší nic nového. Sám autor si myslí, že by asi bylo lepší, kdyby si studenti nějako metodu rychlého určování hodnot vymysleli
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208
4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II
.1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika 017 ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času. n V průběhu
2.8.6 Parametrické systémy funkcí
.8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost
Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
( ) ( ) ( ) x Užití derivace. Předpoklady: 10202, 10209
.. Užití derivace Předpoklad:, 9 Pedagogická poznámka: Hodinu dělíme na dvě polovin jednu na tečn a normál, druhou na L Hospitalova pravidla. Už při zavádění derivace, jsme si ukázali, že hodnota derivace
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
4.2.6 Tabulkové hodnoty orientovaných úhlů
.. abulkové hodnoty orientovaných úhlů Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Největším problémem při zavádění goniometrických funkcí pro orientovaný úhel je rychlá orientace v poloze koncového ramene a
7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104
7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ
x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)
.. Funkce absolutní hodnota Předpoklady: 08, 07 x - zničí znaménko čísla, všechna čísla změní na nezáporná Jak vyjádřit matematicky? Pomocí číselné osy: x je vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od počátku.
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :
Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková
Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
( 2 ) ( 8) Nerovnice, úpravy nerovnic. Předpoklady: 2114, Nerovnice například 2x
..5 Nerovnice, úpravy nerovnic Předpoklady:, 03 Nerovnice například 3 < + 5 - zápis nerovnosti hodnot dvou výrazů. Za můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme hodnoty obou výrazů. Hledáme takové, aby nerovnost
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Matematika - rovnice a nerovnice
Operační program: Vzdělávání pro konkurenceschopnost Projekt: CZ.1.07/1.5.00/34.0906 EU peníze SŠPřZe Nový Jičín Číslo a název šablony klíčové aktivity: SADA DIGITÁLNÍCH UČEBNÍCH MATERIÁLŮ Šablona_číslo
x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
7.1.3 Vzdálenost bodů
7.. Vzdálenost bodů Předpoklady: 70 Př. : Urči vzdálenost bodů A [ ;] a B [ 5;] obecný vzorec pro vzdálenost bodů A[ a ; a ] a [ ; ]. Na základě řešení příkladu se pokus sestavit B b b. y A[;] B[5;] Z
KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 40, 4, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli (nejlépe tak, aby se zápis mohl otočit nebo jinak schovat