2.5.1 Kvadratická funkce

Transkript

1 .5.1 Kvadratická funkce Předpoklad: 1 Pedagogická poznámka: Velká většina studentů zvládne hodinu zcela samostatně. Snažím se nezapomenout je pochválit. Slovo kvadratická už známe, začínali jsme s kvadratickou rovnicí Jaký bude předpis kvadratické funkce? ax bx c + + = 0. Kvadratická funkce = ax + bx + c, podmínka a 0 (ab nezmizelo x ) Nejjednodušší kvadratická funkce = x (zmizí všechno kromě x ). Jak vpadá graf? Tabulka hodnot: x Graf: nakreslené křivce se říká parabola (už jsme o ní slšeli ve fzice) Př. 1: Urči z grafu vlastnosti kvadratické funkce ( D( f ), ( ) D( f ) zda je rostoucí, klesající, sudost, lichost, omezenost ): = R (dokážeme spočítat H ( f ) = 0, - z výrazu ) x pro všechna reálná čísla) x nikd nevjde záporné číslo klesající x (,0 rostoucí x 0; ) má minimum [ 0;0 ] je zdola omezená H f, minimum, maximum, souměrná podle os je sudá (platí ( x) = ( 1) ( x) = x, ted platí f ( x) f ( x) = ) 1

2 Pedagogická poznámka: Připomeňte studentům, že jediné co se ohledně vlastností kvadratické funkce musejí naučit, je tvar grafu. Všechno ostatní snadno zjistí z něj, stejně jako v předchozím příkladě. Teď můžeme kreslit graf dalších kvadratických funkcí. Budeme používat f ( x) = ( x). Základní obrázek: Pedagogická poznámka: Studenti nemají s kreslením grafů problém. Jediné co je nutné f x. Často se stává, že chb dělají Ti, kontrolovat je přepis funkce do tvaru s ( ) kteří přepis přeskočí a rovnou kreslí. Pak chci, ab si přepis napsali a většinou se rchle opraví sami. Př. : Nakreslete graf funkce = x 1. Platí: x f ( x) = 1 = 1 = f x = x = f x 1 = x

3 Př. 3: Nakreslete graf funkce = x + 1 Platí: x f ( x) = + 1 = + 1 = f x = x Nakreslíme funkci = f ( x) = x = f x + 1 = x Př. : Nakreslete graf funkce ( x 1) Platí: = ( x 1) = f ( x 1) Vpočteme x 1 =. Nakreslíme funkci = f ( x 1) = ( x 1) Pedagogická poznámka: Přepis předchozí funkce je asi největším problémem hodin. Občas se vsktuje ( x 1) f ( x 1) = =. V takovém případě, je studentům nutné znovu ukázat f ( x) = ( x), ted že právě umocňování je tím, co jsme si pojmenovali f ( ). 3

4 Př. 5: Nakreslete graf funkce ( x ) Platí: ( x ) f ( x ) = + 1 = + 1 Vpočteme x + 1 = + 1. Nakreslíme funkci = f ( x + 1) = ( x + 1) Nakreslíme funkci f ( x ) ( x ) = + 1 = Př. 6: Nakreslete graf funkce = x. Platí: = x = f ( x) = f x = x = f x = x Př. 7: Nakreslete graf funkce ( x) =. Platí: = ( x) = f ( x)

5 Spočteme: x Nakreslíme funkci = f ( x) = ( x) Pedagogická poznámka: Pro porovnání dvou předchozích výsledků je potřeba, ab studenti 1;1 u funkce dobře nakreslili polohu bodů, které odpovídají bodům [ 1;1 ] a [ ] = x. Pokud není jejich poloha dobře vidět, chci, ab nakreslili graf lépe. Př. 8: Porovnej graf funkcí = x a ( x) =. Proč nejsou oba graf stejné? Nakreslíme si graf vedle sebe: = x = ( x) Oba graf jsou natažené ve svislém směru, ale graf funkce dvakrát více. Důvodem je, že nemají stejný předpis funkce, závorka hraje velkou roli, protože umocňujeme i dvojku před x: ( ) = = = - a to je důvod proč pro stejné hodnot x má funkce ( x) x x x větší hodnotu než funkce = x. = dvakrát Dodatek: Předchozí výpočet je možné použít i pro definici parabol. Parabola je taková křivka, u které platí, že natažením na čtřnásobek ve svislém směru získáme stejnou křivku jako smrsknutím ve vodorovném na polovinu. 5

6 Př. 9: Nakresli graf funkce ( x ) Platí: ( x ) f ( x ) = 0, = 0,5 1 + = 0, Vpočteme x 1 Nakreslíme funkci = f ( x 1) = ( x 1) Nakreslíme funkci = 0,5 f ( x 1) = 0,5( x 1) Nakreslíme funkci f ( x ) ( x ) = 0,5 1 + = 0, Př. 10: Rozhodni jaký vliv mají konstant K, L a M v předpisu funkce = K ( x L) + M na její graf. K ovlivňuje šířku grafu, nebo ho obrací vzhůru nohama, pro kladná K je graf ďolík, pro záporná K kopeček. L posunuje graf ve vodorovném směru, je x-ovou souřadnicí minima nebo maxima M posunuje graf ve svislém směru, je -vou souřadnicí maxima nebo minima Př. 11: Nakreslete graf funkce ( x ) Platí: ( x ) f ( x ) = 1 1 = 1 1 Vpočteme x Vpočteme x 1 = 1 1. Nakreslíme funkci = f ( x 1) = ( x 1) Nakreslíme funkci f ( x ) ( x ) = 1 1 = 1 1 6

7 Př. 1: Nakresli graf funkce x x =. Řešení si necháme na příští hodinu. Př. 13: Petáková: strana 9/cvičení 5 f 5, f 6 Shrnutí: Grafem kvadratické funkce je parabola ďolík nebo kopeček podle znaménka před x. 7