2.1.6 Graf funkce II. Předpoklady: 2105

Transkript

1 .. Graf funkce II Předpoklad: 05 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodin, dávám studentům vtištěné zadání s obrázk, ab se mohli snáze orientovat a mohli pracovat rozdílným tempem. Horší studenti se určitě neobejdou bez pomoci učitele, který na rozdíl od učebnice může jezdit prstem v grafu a ukazovat dnamick, co se děje. Př. : Na obrázku je nakreslen graf funkce. Urči: a) D( f ), H ( f ) b) f ( 3), f ( 0), f ( ) c) porovnej: f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), f ( 3) f ( ) d) všechna, pro která platí f ( ) > 0. e) všechna, ke kterým eistují alespoň dvě takové, že platí = f ( ) a) D ( f ) = ( ; ) 3;3) ( ; ), H ( f ) = ( ; 3) ;) b) f ( 3) =, f ( 0) = 0, f ( ) = c) f ( ) < f ( ), f ( ) = f ( ), f ( 3) f ( ) - není možné srovnat, f ( ) d) hledáme, ze kterých se dostaneme ke kladné hodnotě (nad osu ) ( 0;3) e) hledáme, ke kterým se dostaneme alespoň ze dvou bodů ( ; 3) neeistuje Př. : Nakresli množinový obrázek takové relace s definičním oborem A = {,,3} a oborem hodnot B = {,,3}, která není funkcí. Nakresli graf této relace a vužij ho ke zformulování podmínk, kterou musí splňovat graf každé funkce. Řešení je více (stačí ab k jednomu bl přiřazen alespoň dvě hodnot ). Nakreslíme si takové, ab relace měla k funkci blízko (v obrázku bude jediné přiřazení, které to kazí. Označíme si ho červeně):

2 A B Číslo 3 má přiřazeno dvě hodnot, relace není zobrazení a ted ani funkce. Pokud jsou jednomu přiřazen dvě různá, v grafu se objeví dva bod nad sebou graf zobrazuje funkci, pokud se v něm nevsktují žádné dva bod nad sebou. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je dobrý pro nácvik strategie. Pokud necháte student samostatně nakreslit množinový obrázek objeví se dvě variant. Část studentů, kreslí podobné obrázk jaký je v řešení. druhá část pak nakreslí obrázk relací, které se od funkce liší velmi mnoho. Bavíme se pak o tom, která strategie je lepší. Cílem je dojít k tomu, že pokud chceme poznat, čím se graf funkce zkazí měli bchom tam takových chb mít co nejméně. Př. 3: Rozhodni, které z následujících grafů zobrazují funkce. a) b) c)

3 d) e) f) g) h) i) Funkce musí každému přiřazovat maimálně jedno. Žádný z graf nesmí mít dva bod přímo nad sebou. (Hodnot pro hledáme pomocí svislých přímek žádná taková přímka se ted nesmí protnout s grafem víc než jednou). Například relace h) se pro chová jako funkce, protože graf má pro jedinou hodnotu, ale pro má hodnot dvě. Protože podmínka musí být splněna pro všechna relace h) není funkce. Graf funkcí jsou na obrázcích a), b), d), f). Př. : Graf funkcí mají splňovat následující podmínk: ; ;5 ; a) D ( f ) = ( ) b) H ( f ) = ( ) c) ( ) d) f ( 3) < f ( ) f 3 = U každé jednotlivé podmínk nejdříve rozhodni, jaký vliv bude mít na graf funkce a poté nakresli libovolné graf funkce, která tuto podmínku splňuje. Po nakreslení čtř 3

4 grafů pro jednotlivé podmínk nakresli graf funkce, která splňuje všechn čtři podmínk najednou. a) D ( f ) = ( ;) ;5 Graf funkce musí mít hodnotu pro všechn vpsané hodnot (vznačené na ose modře), pro jiná hodnot mít nesmí. b) H ( f ) = ( ; ) Každé z intervalu (vznačené na ose modře) musí být hodnotou pro libovolné. Ostatní hodnotou být nesmí. c) f ( 3) = Graf funkce musí procházet bodem [ 3; ] (nakreslený modře)

5 d) f ( 3) < f ( ) Hodnota pro = 3 musí být menší než pro = bod [ 3;? ] musí být níže než bod [ ] ;?. Možností jak spojit všechn podmínk je mnoho například tato funkce: 5

6 Pedagogická poznámka: S předchozí úlohou mají studenti obrovské problém, které vplývají zejména z toho, že nejsou během školní docházk konfrontování s problém, které mají více řešení (a posktují jim ted jistou volnost). Většina studentů je naučená, že problém se řeší tak, že z paměti nebo ze sešitu opíšou předen schválené správné řešení, což v tomto případě samozřejmě nejde a to je přivádí do značných rozpaků. Pedagogická poznámka: Velkým problémem při řešení předchozího a následujícího příkladu je neschopnost opravovat vlastní chb. Většina studentů v následujícím příkladu dokáže správně rozhodnout, zda graf splňuje zadané podmínk. U svého vlastního grafu však chbu nenajdou. Řeším to tak, že po studentech požaduji, ab si své graf nechali zkontrolovat od souseda. Soused zkontroluje správnost, pokud najde chbu neukáže ji, pouze upozorní na eistenci chb. Upozorňuji student, ab se příště snažili být k sobě kritičtější a předem nepředpokládali, že úkol vřešili správně.

7 Př. 5: Rozhodni, které z funkcí na následujících grafech jsou správným řešením příkladu: Nakresli graf libovolné funkce, která najednou splňuje následující podmínk: a) D ( f ) = ( ;) ;5 b) ( ) ; ) d) f ( 3) < f ( ) f 3 = H f = c) ( ) a) funkce neodpovídá zadání, část grafu překračuje povolený obor hodnot 7

8 b) funkce neodpovídá zadání, v jejím oboru hodnot chbí číslo - c) funkce neodpovídá zadání, neplatí, že f ( 3) < f ( ) 8

9 d) funkce odpovídá zadání Pedagogická poznámka: Pořadí příkladů a 5 je záměrné. Chci, ab si studenti nejdříve vzkoušeli kreslení vlastních grafů a teprve poté hodnotili graf někoho jiného. Pokud máme čas, zadávám studentů příklad podobné příkladu i v dalších hodinách. Shrnutí: Graf funkce nesmí obsahovat dva bod nad sebou. 9