4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

Transkript

1 .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě funkce jsou souřadnicemi bodu T na jednotkové kružnici body STT 0 tvoří pravoúhlý trojúhelník platí Pythagorova věta kružnici). 0 0 ST + T T = ST = (bod T leží na jednotkové Př. : Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí zároveň ; π. = a Hodnotu určíme ze vzorce: = sin = (protože + =. cos = ) 9 6 = = = = = je v intervalu ; π záporný =. Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů: = = = co = = =.

2 Př. : Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí = a zároveň < 0. Rozhodni, do kterého z intervalů 0;, π ; π, π ; π a ; π π náleží úhel. Hodnotu určíme ze vzorce: = cos = (protože + =. sin cos sin = ) 8 = = = = = 9 9 Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů: = ( < 0 ) tg = = = co = = = =. Protože hodnoty i jsou záporné, leží koncové rameno orientovaného úhlu ve třetím kvadrantu a platí tedy π; π. Př. : Urči, kdy je definován výraz + co, a pak jej zjednoduš. + Definiční obor: Musí být definovány všechny funkce ve výrazu : π není definován pro = + k π, co není definován pro = 0 + k π, π π musíme vyloučit + k π; 0 + k π = k. k Z k Z Žádné další hodnoty vyloučit nemusíme, protože ve jmenovateli zlomku je součet druhé mocniny a jedničky, tedy číslo vždy kladné. Upravujeme výraz: co sin sin sin = = = = = co Druhý vzorec: Pro každé k π, kde k Z platí: co =.

3 Vzorec se používá i v jiných tvarech: = co nebo co =.. Př. : Vysvětli, proč je ve vzorci co = uvedena podmínka k π, kde k Z. Jak jsme zjistili při řešení příkladu, pro k π, kde k Z není vždy jedna z obou funkcí nebo co definována nemá smysl uvažovat o platnosti vztahu co =. Př. : Dokaž platnost vztahu co =. Dosadíme: =, co = = = co =. + co Př. 6: Zjednoduš výraz pomocí vzorce co =. + ( + ) + co + co + co co cotg = = = = cotg + + co + co + cotg co Př. 7: Odhadni výsledek, který vznikne zjednodušením výrazu výpočtem. ( + ) tg = = = = tg + + co Odhad potvrď + co Umíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, pokud známe hodnotu nebo a znaménko druhé funkce (případně interval). Dokážeme určit hodnoty i v případě, že budeme znát hodnoty ( co )? Zkusíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí = a zároveň π ; π. Snadno určíme co : co = co = =.

4 Hodnoty dalších funkcí: vztahy = = i co = = z obou vztahů získáme rovnici: = nevede k cíli ( rovnice na dvě neznámé) musíme přidat další rovnici použijeme + = rovnice na dvě neznámé. Rychlejší postup: + = + = = = = + + V intervalu = + = / : ( ) = = ; π π jsou hodnoty kladné =. = = = ( ) Pedagogická poznámka: Předchozí postup ukážu studentům rychle na tabuli s tím, že si jej nemají opisovat. Postup si zachytí do sešitu při řešení následujícího příkladu (který je velmi podobný). Při jeho řešení nechávám předchozí postup na tabuli. Př. 8: Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí co = a zároveň 0;. Podobný postup jako výše: = = = co + = / : (potřebujeme získat zlomek + = co + = sin = = = + co + = = V intervalu 0; jsou hodnoty kladné =. co = )

5 co = 6 = co = = Př. 9: Vyřeš předchozí příklad pomocí pravoúhlého trojúhelníku s vhodně zvolenými délkami stran. Pro 0; jsou hodnoty všech goniometrických funkcí kladné. přilehlá Platí: cotg = poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníku co = s úhlem protilehlá je hodnoty goniometrických funkcí můžeme určovat například z následujícího pravoúhlého trojúhelníku: Délka přepony: c a b ( ) Hodnoty zbývajících goniometrických funkcí: = = 6 = = = + = + = c =. Pedagogická poznámka: Postup z příkladu 9 je sice méně elegantní a eaktní, ale pro většinu studentů snáze přijatelný. Ve skutečnosti si podobný trojúhelník můžeme nakreslit i pro úhly se základní velikostí mimo interval 0;. Z pravoúhlého trojúhelníku si určíme absolutní hodnoty hodnot goniometrických funkcí a znaménka zjistíme z polohy koncového ramene úhlu. Př. 0: Petáková: strana, cvičení c) Shrnutí: Platí sin + = (pravoúhlý trojúhelník) a co = (definice).