( ) ( ) ( ) x Užití derivace. Předpoklady: 10202, 10209

Transkript

1 .. Užití derivace Předpoklad:, 9 Pedagogická poznámka: Hodinu dělíme na dvě polovin jednu na tečn a normál, druhou na L Hospitalova pravidla. Už při zavádění derivace, jsme si ukázali, že hodnota derivace v bodě je zároveň hodnotou směrnice tečn grafu funkce v tomto bodě: ; = f (pokud grafu funkce má v bodě [ ] tečnu danou rovnicí: derivace v tomto bodě eistuje. Kromě tečn (která zachcuje směr grafu v bodě je nutné určovat i rovnice přímk kolmé na tečnu = normál v bodě. normála tečna Její rovnice bude mít opět tvar ( k ( =. V analtické geometrii jsme si ukázali, že pro směrnice dvou navzájem kolmých přímek platí: k =. k Př. : Napiš obecný vzorec pro rovnici normál v bodě [ ; ] má v tomto bodě derivaci. Pro směrnici normál platí: k n = = k f t. Předpokládej, že funkce Dosadíme do obecného tvaru směrnicové rovnice přímk: = f Př. : Urči rovnici tečn grafu funkce = v bodě =. Hodnota funkce v bodě = : Derivace funkce: = = = = =

2 Hodnota derivace: = = = Dosazení do rovnice tečn: ( = f ( ( ( = ( Po úpravách: = Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je dobrým indikátorem toho, jestli mají studenti reálnou představu o tom, co vlastně dělají. Nejčastější chbou je totiž rovnice =, která vznikne tím, že studenti místo hodnot derivace v konkrétním bodě dosazují její funkční předpis. Což v tomto konkrétním případě znamená, že se z rovnice přímk stane parabola. Bavíme se o tom, že dosazení funkčního předpisu je zjevně nesmslné, kdž do rovnice přímk potřebujeme sehnat konkrétní číslo a ne předpis funkce. Př. : Urči rovnici tečn a normál grafu funkce situace. = v bodě =. Nakresli obrázek Hodnota funkce v bodě = : = = = Derivace funkce: = = Hodnota derivace: = = = Dosazení do rovnice tečn: ( = f ( ( ( + = ( + Po úpravách: = Dosazení do rovnice normál: + = + ( ( Po úpravách: = = f Rovnice získané výpočtem odpovídají přímkám, které jsme získali grafick

3 Př. : Najdi bod, ve kterém má tečna grafu funkce normál v tomto bodě. Zderivujeme funkci = + =. = + : = + směrnici,5. Urči rovnici + Tečna má mít směrnici,5 derivace se rovná,5: = =,5 řešíme rovnici: + = + / = + = =,5 / = + = ± = ± Řešením rovnice je pouze číslo jeho hodnota záporná. Funkční hodnota v bodě normála prochází bodem : +. Pokud bchom dosadili do zlomku číslo, bude = + = + = + = = 9 9. = f ; Dosazení do rovnice tečn:,5 = Dosazení do rovnice normál: =,5 = = f tečna i Derivace mohou značně usnadnit výpočt některých it: L Hospitalova pravidla: Nechť f g = = a nechť eistuje vlastní nebo nevlastní a a Potom eistuje také f a g a a a f f a a a platí =. g g f a g a.

4 Nechť g a eistuje také f a = + a nechť eistuje vlastní nebo nevlastní g a a platí f f a a = g g a a f a g a. (O f a. Potom nepředpokládáme nic, ani eistenci této it. Obě pravidla platí také pro it v bodě zleva, zprava a it v nevlastních bodech. Př. 5: Vpočti pomocí L Hospitalova pravidla +. ( + = = = = Pedagogická poznámka: Část studentů příklad samozřejmě nespočítá a proto si ho musíme spočítat i na tabuli, ale všichni b měli dostat šanci zkusit pochopit smsl předchozí vět sami. Jak používáme L Hospitalova pravidla? Pokud při dosazení vjde v itě neurčitý výraz cokoliv nebo zderivujeme samostatně ± čitatel a jmenovatel zlomku a zkusíme dosadit znova. Tento postup můžeme opakovat i vícekrát. Př. 6: Vpočti it a a ( 5 ( 8 = = = = ( + = = = + = ( + = + ( + + ( = = = = = 6 6 6

5 Př. 7: Vpočti it: sin a cos tg sin cos π a sin cos = = = 6 cos( = 6 ( sin ( ( cos cos cos sin cos sin = = = = sin sin + cos cos = = sin cos = tg ( tg = = cos = cos = π sin cos π π sin cos cos sin π cos + sin = = = = = π cos ( cos + sin π π π cos cos sin + + Př. 8: Vpočti it: a + + log + log e 6 a = = = = log + = ln = ln = = log ln ln = = = e e e Př. 9: Vpočti it: a ln + V tomto stavu nemůžeme L Hospitalovo pravidlo použít, v itě není žádný podíl musíme podíl vrobit: ln ( ln ln = = = = ( =

6 Pedagogická poznámka: Protože studenti určitě nestihnou spočítat všechn příklad s itami, na konci hodin si ukážeme poslední příklad, který obsahuje trik, na který naprostá většina studentů sama nepřijde. Př. : Petáková: strana 56/cvičení 6 d f strana 57/cvičení 7 f strana 57/cvičení strana 6/cvičení 6 e g h Shrnutí: Použití derivace dělá z výpočtu některých it mechanickou záležitost. 6