Vícekriteriální optimalizace Optimalizace více funkcí najednou Je zapot ebí další matematický aparát Obecn : minimize y f( x) ( ( x) ( x) ( x)) f1 f 2 f k subjected to g ( x) 0 j 1 ne j g ( x) 0 j ne 1 m ne ni j where x ( x x x ) X X { NR } n 1 2 1 2 k y ( y y y ) Y Y R k n Moderní metody optimalizace 1
Motivace cena Jedna funkce Více funkcí Jedno ešení Více ešení! výkon Jedno-kriteriální optimalizace je speciální p ípad multi-kriteriální optimalizace (ale nikoliv naopak!). Moderní metody optimalizace 2
Základní pojmy Min (y 1,y, 2,,y k ) = f (x 1,x 2,,x n ) dominované y 2 indiferentní horší y 2 indiferentní lepší y 1 y 1 Pareto-optimální = ne-dominované a b ( adominates b) iff i f ( a) f ( b) i f ( a) f ( b) i i i i Moderní metody optimalizace 3
Základní pojmy x 2 Decision/design space X (Prostor prom nných) (Pareto množina) Pareto set y 2 Objective space Y (Prostor funkcí) Pareto front/surface (Pareto povrch) x 1 decision vector (x 1,x 2,,x n ) f (y 1,y, 2,,y k ) objective vector (rozhodovací vektor) (vektor funkce) y 1 Moderní metody optimalizace 4
Optimalizace & Rozhodování (Decision making) y 2 Rozhodování ed optimalizací (definice jediné cílové funkce) => EA Rozhodování po optimalizaci (nalezení Pareto-optimální množiny) => MOEA Rozhodování v pr hu optimalizace (interaktivn ) => interaktivní algoritmy, nap. NIMBUS Pareto-optimalita: optimální/kompromisní množina ešení (všechny funkce mají stejnou d ležitost) y 1 Moderní metody optimalizace 5
Single-objectivization Nej ast ji pomocí vah: Problém: (P evedení MO problému na jednu funkci) k F' ( x) w f ( x), kde w 1 i i i Najít kombinaci vah jež vede na kompletní Pareto množinu (nebo-li optimalizace další optimalizace) Neschopnost postihnout nekonvexní Pareto povrch k i i Moderní metody optimalizace 6
Single-objectivization y 2 Nekonvexní Pareto povrch w 1 =0, w 2 =1 y 1 w 1 =1, w 2 =0 w 1 =0.5, w 2 =0.5 Moderní metody optimalizace 7
Average ranking (Pr rné po adí) y 2 [1,8]=4,5 [3,7]=5 [6,6]=6 [2,5]=3,5 [4,4]=4 [8,3]=5,5 [5,2]=3,5 [7,1]=4 y 1 Moderní metody optimalizace 8
Multikriteriální EA (MOEA) V multikriteriální optimalizaci je pot eba udržovat množinu Pareto-optimálních ešení => analogie s populací u EA Nejjednodušší implementace Paretodominance za len ná do procesu selekce (nap. Generalized Differential Evolution) Moderní metody optimalizace 9
Historie MOEA VEGA [Schaffer, 1985] Pionýrské ~1990 MOGA [Fonesca & Fleming, 1993] NPGA [Horn & Nafpliotis, 1993] NSGA [Srinivas & Deb, 1994] Klasické ~1995 SPEA [Zitzler & Thiele, 1999] PAES, PESA [Knowles & Corne, 1999] NSGA-II [Deb et al., 2000] SPEA 2 [Zitzler & Thiele, 2001] Elitistické ~2000 Moderní metody optimalizace 10
Obecný elitistický MOEA population archive EA update truncate new population new archive Moderní metody optimalizace 11
Jak ohodnotit ešení? Moderní metody optimalizace 12
Jak ohodnotit ešení? Moderní metody optimalizace 13
Jak ohodnotit ešení? Moderní metody optimalizace 14
Jak zajistit diverzitu? Moderní metody optimalizace 15
PAES Moderní metody optimalizace 16
NSGA II Non-dominated sorting Crowding distance sorting F 1 P t F 2 F 3 Q t rejected Moderní metody optimalizace 17
NSGA II Non-dominated ranking Moderní metody optimalizace 18
NSGA II Non-dominated sorting Crowding distance sorting F 1 P t F 2 F 3 Q t rejected Moderní metody optimalizace 19
NSGA II Crowding distance Moderní metody optimalizace 20
NSGA II Non-dominated sorting Crowding distance sorting F 1 P t F 2 F 3 Q t rejected Moderní metody optimalizace 21
NSGA II Moderní metody optimalizace 22
íklad F = 6 000 lb h,b ( 0.125, 5.0 ) [in] l,t ( 0.1, 10.0 ) [in] Minimalizuj: f 1 = cenu f 2 = pr hyb Moderní metody optimalizace 23
Pareto povrch: Deflection 0.0160 0.0140 0.0120 0.0100 0.0080 0.0060 0.0040 0.0020 0.0000 1.43 2.13 3.77 10.83 23.60 34.00 Price 12 10 Pareto množina: b,h,l,t [in] 8 6 4 b h t l 2 0 Price Moderní metody optimalizace 24
Výsledky Deflection 100.00 0.0160 90.00 80.00 0.0140 [%] 70.00 60.00 50.00 0.0120 0.0100 40.00 30.00 34.00 0.0080 20.00 10.00 0.00 t b h l 23.60 10.83 3.77 Price 2.13 1.43 0.0060 0.0040 0.0020 0.0000 Moderní metody optimalizace 25
Example 2: Adaptive update of meta-model Contours of the example (left) and starting DoE (right). Note that the red contour is for F(x) = 0. Moderní metody optimalizace 26
Pareto front (top), contours of the problem with DoEs (middle) and DoEs points (bottom). Key: Red added and computed solutions, Blue points that were too close to other Pareto front points, Green the remaining points of population and Blue empty points the original DoE. Moderní metody optimalizace 27
Pareto front (top), contours of the problem with DoEs (middle) and DoEs points (bottom). Key: Red added and computed solutions, Blue points that were too close to other Pareto front points, Green the remaining points of population and Blue empty points the original DoE. Moderní metody optimalizace 28
Reference [1] Zitzler, E. (1999). Evolutionary Algorithms for Multiobjective Optimization: Methods and Applications. PhD thesis, Swiss Federal Institute of Technology (ETH), Zurich, Switzerland. [2] Zitzler, E., Laumanns, M., and Thiele, L. (2001). SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm. In Giannakoglou, K., Tsahalis, D., Periaux, J., Papailou, P., and Fogarty, T., editors, EUROGEN 2001. Evolutionary Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial Problems, Athens, Greece. [3] Miettinen, K. (1999). Nonlinear Multiobjective Optimization. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Moderní metody optimalizace 29
Reference [4] Knowles, J. D. and Corne, D.W. (2000). Approximating the Nondominated Front Using the Pareto Archived Evolution Strategy. Evolutionary Computation, 8(2):149 172. [5] Kukkonen, S. and Lampinen, J. (2004). Comparison of generalized differential evolution to other multi-objective evolutionary algorithms. In European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2004). [6] Coello, C. A. C. (2004). List of references on evolutionary multiobjective optimization. http://www.lania.mx/~ccoello/emoo/emoobib.html. [7] Lepš, M. (2005). Single and Multi-Objective Optimization in Civil Engineering with Applications, PhD thesis, CTU in Prague. [8] NIMBUS: https://wwwnimbus.it.jyu.fi/ Moderní metody optimalizace 30
i p íprav této p ednášky byla použita ada materiál laskav poskytnutých Ing. Adélou Pospíšilovou ze Stavební fakulty VUT. Prosba. V p ípad, že v textu objevíte n jakou chybu nebo budete mít nám t na jeho vylepšení, ozv te se prosím na matej.leps@fsv.cvut.cz. Oprava 18.11.2009: P idán slide na Average Ranking, NSGA II a PAES Datum poslední revize: 18.11.2009 Verze: 002 Moderní metody optimalizace 31