Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Transkript

1 Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů [existují podobné problémy?] Třídy optimalizačních algoritmů [existují algoritmy na řešení mého problému?] Příklady

2 Optimalizace obecný úvod 2 Motivace optimalizačních úloh Jak se nejlevněji najíst? Cíl: Z daného seznamu potravin sestavit nejlevnější jídlo Omezení: Výsledné jídlo musí mít dostatečnou nutriční hodnotu Poprvé zkoumáno v 40. letech minulého století pro armádní účely Položka Cena Nutriční hodnota [Kč/1kg] [Cal/100g] Vepřová pečeně s kostí 120, Kuře 51, Brambory rané 8,39 93 Chléb konzumní kmínový 15,

3 Optimalizace obecný úvod 3 Motivace optimalizačních úloh Jak nejbezpečněji uložit peníze? Cíl: Uložit peníze do vybraných akcií s nejmenším rizikem Omezení: Dosáhnout alespoň předepsaného výnosu Základní problém Managementu portfolia [3] Akcie Cena [Kč] Komerční banka ČEZ Unipetrol Philip Morris ČR

4 Optimalizace obecný úvod 4 Motivace optimalizačních úloh Jak nejúsporněji cestovat? Cíl: Vykonat co nejkratší okružní jízdu po vybraných městech Omezení: Každé město navštívit alespoň jednou Úloha obchodního cestujícího, poprvé uvedená v roce 1930 Aplikace v návrhu spojů, automatické výrobě... Praha Brno Ostrava Cheb Praha 0 km Brno km Ostrava km 550 Cheb km Vzdálenosti mezi vybranými městy

5 Optimalizace obecný úvod 5 Motivace optimalizačních úloh Jaký počítač si vybrat? Cíl: Nakoupit nejvhodnější notebook Kritéria výběru: Cena, výkon, velikost paměti, disku, úhlopříčka... Typický příklad hledání kompromisního řešení [teorie rozhodování] Typ Cena Úhlopříčka Disk Váha [Kč] [ ] [GB] [kg] AMILO Pro V ,4 60 2,9 Aspire 9814WKMi ,5 Qosmio G ,5 Lifebook Q2010 U ,9 Vybrané parametry notebooků (prosinec 2006)

6 Optimalizace obecný úvod 6 Formalizace optimalizačních úloh Obecná formulace: Najdi x opt O, které splňuje f (x opt ) H f (x) pro všechna x O x proměnné vystupující v [matematické] formulaci problému O množina přípustných řešení (odpovídá omezení) f cílová funkce [ f : O H] H obor hodnot cílové funkce H [částečné] uspořádání oboru hodnot cílové funkce umožňuje určit, které řešení je lepší x opt optimální řešení úlohy

7 Optimalizace obecný úvod 7 Formalizace optimalizačních úloh Optimální dieta N různých potravin Neznámé hmotnost jednotlivých potravin v kg: x i R, x i 0 Cílová funkce f (x) = x 1 c 1 + x 2 c x N c N, kde c i je cena za 1 kg i-té potraviny Obor hodnot H = R + 0, H odpovídá < Omezení x 1 k 1 + x 2 k x N k N K, kde k i je nutriční obsah i-té potraviny a K požadovaný nutriční obsah O odpovídá poloprostoru v R N

8 Optimalizace obecný úvod 8 Formalizace optimalizačních úloh Nákup počítače Neznámá pořadové číslo notebooku x N Cílová funkce: M různých kritérií f(x) = [ f 1 (x), f 2 (x),..., f M (x)], H R M Porovnání dvou řešení x 1 H x2 f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 ) f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) f 3 (x 1 ) f 3 (x 2 ) f 4 (x 1 ) f 4 (x 2 ) Optimální portfolio cvičení Obchodní cestující přednáška č. 6

9 Optimalizace obecný úvod 9 Základní klasifikace optimalizačních úloh Dimenze problému N počet [nezávislých] složek x Jak roste počet operací potřebných k získání x opt s dimenzí? CN k Polynomiální problém (P) [dieta, portfolio, volba notebooku] 2 N Exponenciální problém (E) Nedeterministický Polynomiální problém (NP) problém řešitelný pomocí polynomiálního počtu kroků, ale jen pomocí stochastického počítače, který umí uhádnout správnou variantu [2] [obchodní cestující]? má cenu 1 mil USD P? = NP E

10 Optimalizace obecný úvod 10 Praktičtější klasifikace optimalizačních úloh Příklad optimalizačního stromu

11 Optimalizace obecný úvod 11 Jaká je souvislost mezi předchozími přístupy? Konvexní množina [Ostře] konvexní funkce O konvexní + f konvexní = P [Ostře] konvexní funkce na konvexní množině má právě jedno minimum Efektivní metody matematického programování [1]

12 Optimalizace obecný úvod 12 Shrnutí Optimalizační úloha: [Matematický] model problému Optimalizační proměnné x Cílová funkce f Definiční obor O Obor hodnot H + metodika porovnávání Metody řešení Konvexní úloha P matematické programování přednášky 2 3 Nekonvexní úloha NP/E heuristické metody přednášky 4+

13 REFERENCE 13 Reference [1] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex optimization, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2004, edu/~boyd/cvxbook. [2] K. Devlin, Problémy pro třetí tisíciletí: Sedm největších nevyřešených otázek matematiky, Edice Atelier, vol. 24, Nakladatelství Dokořán a Argo, Praha, [3] J. Veselá, Analýza trhu cenných papírů. I. Díl, Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakulta financí a účetnictví, Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Verze 002