Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 6: Geometrická optika Datum měření: 8. 4. 2016 Doba vypracovávání: 10 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V přípravě odvoďte rovnici (8) uvedenou v [1], načrtněte chod paprsků pro obě metody a zdůvodněte nutnost podmínky e > 4f. Vysvětlete rozdíl mezi Galileovým a Keplerovým dalekohledem. Zjistěte, co je konvenční zraková vzdálenost. 2. Určete ohniskovou vzdálenost spojné čočky +200 ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu (pro minimálně pět konfigurací, proveďte též graficky) a Besselovou metodou. 3. Změřte ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru Besselovou metodou. V přípravě vysvětlete rozdíl mezi Ramsdenovým a Huygensovým okulárem. 4. Změřte zvětšení lupy při akomodaci oka na konvenční zrakovou vzdálenost. Stanovte z ohniskové vzdálenosti lupy zvětšení při oku akomodovaném na nekonečno. 5. Určete polohy ohniskových rovin tlustých čoček (mikroskopický objektiv a Ramsdenův okulár) nutných pro výpočet zvětšení mikroskopu. 6. Z mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici mikroskop a změřte jeho zvětšení. 7. Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici dalekohled. Změřte jeho zvětšení přímou metodou. 8. Výsledky měření zvětšení mikroskopu a dalekohledu porovnejte s hodnotami vypočítanými z ohniskových vzdáleností. 2 Pomůcky Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický objektiv, Ramsdenův okulár v držáku s Abbeho kostkou, spojné čočky +200, matnice, clona se šipkou, pomocný světelný zdroj s milimetrovou stupnicí, křížový vodič s objektivovým mikrometrem, matnička se stupnicí 50 x 0,1 mm, pomocný mikroskop s měřícím okulárem, pomocný dalekohled, kovové měřítko, pásový metr. 1

3 Teoretický úvod Pro zobrazování tenkou spojnou čočkou platí čočková rovnice 1 a + 1 a = 1 f, (1) kde a, a jsou vzdálenosti předmětu a obrazu od středu čočky a f je ohnisková vzdálenost čočky. Změříme-li vzdálenosti a, a (obrázek 1), potom ze vztahu (1) pro ohniskovou vzdálenost f plyne vztah f = aa a + a. (2) Obrázek 1: Měření ohniskové vzdálenosti spojné čočky S ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu. Besselova metoda (obrázek 2) určování ohniskové vzdálenosti je založena na změření vzdálenosti e > 4f mezi předmětem a stínítkem a vzdálenosti d coby vzdálenosti dvou poloh spojné čočky, při kterých se na stínítku vytvořil ostrý obraz. Potom pro ohniskovou vzdálenost čočky platí f = e2 d 2 4e. (3) Obrázek 2: Měření ohniskové vzdálenosti Besselovou metodou. S - spojná čočka. 2

Pro důkaz vzorce (3) vyjdeme z rovnice (2) a logického vztahu e = a + a. Dosazením dostáváme a(e a) f = e a 2 ae + ef = 0 Diskriminant D je potom roven D = e(e 4f), odkud plyna podmínka pro existenci dvou řešení e > 4f. Potom pro vzdálenosti a 1, a 2, jakožto dvě vzdálenosti spojky od předmětu ve kterých je ostrý obraz dostáváme a 1 = e + e2 4ef, a 2 2 = e e2 4ef. 2 Pro vzdálenost d, jakožto vzdálenost spojky v první a druhé poloze platí d = a 1 a 2 a tedy d = e 2 4ef. Z čehož po vyjádření ohniskové vzdálenosti f již dostáváme vztah (3). Lupa je nejjednodušším optickým přístrojem skládajícím se ze spojné čočky. Zvětšením lupy Z rozumíme poměr tangenty zorného úhlu u, pod nímž vidíme předmět lupou, k tangentě zorného úhlu u, pod nímž se oku jeví v konvenční zrakové vzdálenosti (nejmenší vzdálenost oka od předmětu, ze které lze pozorovat předměty) l = 25 cm. Pod zvětšením lupy se rozumí zvětšení při oku akomodovaném na nekonečno, a tedy platí Z = tan u tan u = l f. (4) Mikroskop se skládá ze dvou spojných čoček objektivu o ohniskové vzdálenosti f 1 a okuláru o ohniskové vzdálenosti f 2. V našem měření budeme sestavovat mikroskop s pomocí Ramsdenova okuláru, jehož čočky jsou, na rozdíl od Huygensova okuláru, vydutou stranou převráceny k sobě. Výsledné zvětšení mikroskopu se dá vyjádřit vztahem Z = l f 1 f 2, (5) kde l = 25 cm je konvenční zraková vzdálenost a je vzdálenost bližších ohniskových rovin neboli optický interval soustavy. Dalekohled je soustava dvou čoček objektivu a okuláru. V případě Galileova dalekohledu je objektiv tvořen spojnou a okulár rozptylnou čočkou, na rozdíl od Keplerova dalekohledu, kde je okulár rovněž tvořen spojkou. Jestliže je ohnisková vzdálenost objektivu f 1 a okuláru f 2, potom pro zvětšení dalekohledu platí vztah a Z = f 1 f 2 (6) 4 Postup měření 4.1 Určení ohniskové vzdálenosti ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu Na optickou lavici umístíme clonu s výřezem ve tvaru šipky, který budeme osvětlovat a světelné paprsky přes spojnou čočku promítat na stínítko - matnici. Uvidíme-li ostrý obraz, pásovým metrem změříme vzdálenost od předmětu k čočce jako a a od čočky k obrazu jako a. 4.2 Určení ohniskové vzdálenosti Besselovou metodou Na optickou lavici umístíme clonu s výřezem šipky, který budeme osvětlovat a na druhý konec stínítko. Tuto vzdálenost změříme posuvným metrem. Mezi stínítko a clonu umístíme spojnou čočku a budeme hledat dvě polohy, ve kterých se vzniknuvší obraz na stínítku jeví ostrý. 3

4.3 Měření ohniskové vzdálenosti mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru Besselovou metodou Místo clony se šipkou použijeme jako předmět skleněný kvádřík se stupnicí o velikosti 5 mm, dělenou po 0,1 mm a místo matnice budeme používat pomocný mikroskop. Mikroskopický objektiv je tedy umístěn mezi pomocným mikroskopem ve vzdálenosti předmětové roviny pomocného mikroskopu a předmětem. Ze znalosti dvou poloh mikroskopického objektivu, ve kterém vidíme obraz ostrý, Besselovou metodou určíme ohniskovou vzdálenost. Postup měření při měření Ramsdenova okuláru je stejný jako v případě mikroskopického objektivu, jen používáme Ramsdenův okulár. 4.4 Měření zvětšení lupy Jako lupu použijeme Ramsdenův okluár, jako předmět skleněný kvádřík se stupnicí a jako srovnávací stupnici milimetrové měřítko. Předmět umístíme do konvenční zrakové vzdálenosti l a Abbeho kostku umístíme mezi oko a okulár, což umožní současně pozorovat nezvětšené milimetrové měřítko a zvětšený obraz na stupnici. 4.5 Určení polohy ohniskových rovin tlustých čoček Měření provedeme pomocným dalekohledem. Jestliže se předmět nachází v ohniskové rovině, viděný obraz je ostrý. 4.6 Určení zvětšení mikroskopu Na optické lavici sestavíme mikroskop z mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru a zvětšení měříme obdobně jako v případě lupy. 4.7 Určení zvětšení dalekohledu Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru sestavíme na optické lavici dalekohled, umístíme na trojnožku a na protější stěně pozorujeme stupnici dělenou po 1 cm. Díky Abbeho kostce vidíme zvětšený i skutečný obraz zároveň a z jejich poměrů opět určíme zvětšení. 5 Naměřené hodnoty 5.1 Určení ohniskové vzdálenosti ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu V tabulce 1 jsou uvedeny naměřené vzdálenosti a mezi předmětem a čočkou, naměřené vzdálenosti a mezi čočkou a ostrým obrazem a vypočtené ohniskové vzdálenosti čočky f dle vzorce (2) spolu s aritmetickým průměrem f a chybou σ f. a [cm] a [cm f [cm] 28,4 53,1 18,50 26,1 67,1 18,79 23,4 99,3 18,94 20,9 182,8 18,76 22,1 132,0 18,93 f [cm] 18,78 σ f [cm] 0,18 Tabulka 1: Naměřené hodnoty při určování f. 4

Ohnisková vzdálenost čočky je rovna f = (18,78 ± 0,18) cm. Na obrázku 3 jsou naměřená data zpracována graficky, kde X obsahuje záznamy hodnot a, osa Y hodnoty a. Jelikož vzniklo více průsečíků než jeden, je vyobrazený průsečík dle mne nejpravděpodobnější a ohnisková vzdálenost má hodnotu f = (18,8 ± 0,2) cm. Obrázek 3: Grafické zpracování ohniskové vzdálenosti f. 5.2 Určení ohniskové vzdálenosti Besselovou metodou V tabulce číslo 2 jsou zaznamenány naměřené hodnoty e, coby vzdálenosti mezi předmětem a obrazem a d, coby vzdálenosti dvou poloh čoček, ve kterých byl ostrý obraz. Dále jsou dopočteny hodnoty ohniskové vzdálenosti f dle vzorce (3) s aritmetickým průměrem f a chybou σ f. e [cm] d [cm f [cm] 95,0 44,8 18,47 92,0 40,5 18,54 89,0 36,3 18,55 86,0 32,1 18,50 83,0 27,4 18,49 80,0 22,5 18,42 77,0 15,7 18,45 f [cm] 18,49 σ f [cm] 0,05 Tabulka 2: Ohnisková vzdálenost Besselovou metodou Ohnisková vzdálenost čočky je rovna f 1 = (18,49 ± 0,05) cm. 5.3 Měření ohniskové vzdálenosti mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru Besselovou metodou Předmětová rovina pomocného mikroskopu leží ve vzdálenosti e 0 = (25,6 ± 0,1) cm. 5

5.3.1 Měření ohniskové vzdálenosti mikroskopického objektivu V tabulce číslo 3 jsou uvedeny hodnoty e, coby vzdálenosti mezi předmětem a obrazem a d, coby vzdálenosti dvou poloh čoček, ve kterých byl ostrý obraz. Dále jsou dopočteny hodnoty ohniskové vzdálenosti f dle vzorce (3) s aritmetickým průměrem f a chybou σ f. e [cm] d [cm f [cm] 20,0 14,3 2,44 25,0 19,7 2,37 27,0 21,5 2,47 f [cm] 2,42 σ f [cm] 0,05 Tabulka 3: Ohnisková vzdálenost mikroskopického objektivu Ohnisková vzdálenost mikroskopického objektivu je f 1 = (2,42 ± 0,05) cm. 5.3.2 Měření ohniskové vzdálenosti Ramsdenova okuláru V tabulce číslo 3 jsou uvedeny hodnoty e, coby vzdálenosti mezi předmětem a obrazem a d, coby vzdálenosti dvou poloh čoček, ve kterých byl ostrý obraz. Dále jsou dopočteny hodnoty ohniskové vzdálenosti f dle vzorce (3) s aritmetickým průměrem f a chybou σ f. e [cm] d [cm f [cm] 70,0 38,4 12,23 50,0 18,0 10,88 f [cm] 11,56 σ f [cm] 0,96 Tabulka 4: Ohnisková vzdálenost Ramsdenova okuláru Ohnisková vzdálenost Ramsdenova okuláru je f = (11,56 ± 0,96) cm, což neodpovídá skutečnosti (viz. kap. 5.4). Pro výpočet ohniskové vzdálenosti tedy použijeme hodnotu pozorovaného zvětšení lupy, která činí Z = 10 a s pomocí vzorce (4) potom f 2 = (2,50 ± 0,12) cm. 5.4 Měření zvětšení lupy Zvětšení lupy jsme stanovili na Z = 10,0 ± 0,5. Pokud vypočteme zvětšení lupy pomocí vzorce (4) s využitím vypočtené ohniskové vzdálenosti v 5.3.2, dostáváme hodnotu Z = 2,1 ± 0,1. Od naší pozorované hodnoty se dosti liší, a udělali jsme chybu v postupu měření při měření ohniskové vzdálenosti Ramsdenova okuláru. Ohniskovou vzdálenost Ramsdenova okuláru jsme proto stanovili pozorovaného zvětšení lupy. 5.5 Určení polohy ohniskových rovin tlustých čoček Ohnisková rovina pro mikroskopický objektiv o 1 = (2,1 ± 0,1) cm. Ohnisková rovina pro Ramsdenův okulár o 2 = (2,7 ± 0,1) cm. 5.6 Určení zvětšení mikroskopu Pozorované zvětšení mikroskopu je Z = 66,7 ± 1,0. Optický interval = (16,0 ± 0,2) cm. Zvětšení mikroskopu dle vztahu (5) pro l = 25 cm, f 1 = (2,42 ± 0,05) cm a f 2 = (2,50 ± 0,12) cm je Z = 66,1 ± 4,4. 6

5.7 Určení zvětšení dalekohledu Zvětšení dalekohledu jsme změřili na Z = 7,1 ± 0,5. Teoretickým výpočtem dle vztahu (6) pro f 1 = (18,49 ± 0,05) cm a f 2 = (2,50 ± 0,12) cm je rovno Z = 7,4 ± 0,4. 6 Diskuse Ohniskovou vzdálenost spojné čočky +200 jsme metodou určování ohniskové vzdálenosti ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu určili na f = (18,78 ± 0,18) cm. Grafickou metodou vzniklo mnoho průsečíků, a tak jsme dle oka vytvořili nejpravděpodobnější průsečík a stanovili hodnotu ohniskové vzdálenosti na f = (18,8 ± 0,2) cm. Besselovou metodou bychom z principu měli dosáhnout přesnější hodnoty, což se projevilo v menší chybě měření a hodnota činí ohniskové vzdálenosti činí f = (18,49 ± 0,05) cm. Ohnisková vzdálenost určená Besselovou metodou i po započtení chyb liší. Za správnější hodnotu považujeme tu, získanou Besselovou metodou, jelikož obrazy byly na stínítku ostřejší a odečíst polohu tak bylo lehčí než v případě první metody určování tam je chyby třeba brát s rezervou, neboť ostrost obrazu byla na větším intervalu. Ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu jsme změřili na f 1 = (2,42 ± 0,05) cm a ohniskovou vzdálenost Ramsdenova okuláru na f 2 = (11,56 ± 0,96) cm. Tato hodnota se záhy ukázala jako chybná a to kvůli špatnému postupu měření, kdy jsme asi nepohlídali vzdálenosti optických přístrojů. Ohniskovou vzdálenost Ramsdenova okuláru jsme proto stanovili ze zvětšení lupy a činí f 2 = (2,50 ± 0,12) cm. Zvětšení lupy jsme naměřili na Z = 10,0 ± 0,5, kde chyby u všech zvětšení jsou stanoveny ze schopnosti našeho oka vidět rozdíl měřítek. Zvětšení mikroskopu jsme změřili na Z = 66,7 ± 1,0. Teoretickým výpočtem dle vztahu (5) jsme obdrželi hodnotu Z = 66,1 ± 4,4. Tyto hodnoty jsou si velmi podobné a dobře se překrývají, i přesto, že ohniskovou vzdálenost Ramsdenova okuláru jsme určili ze zvětšení lupy. Dalekohledem jsme pozorovali zvětšení Z = 7,1 ± 0,5. Výpočtem jsme potom získali hodnotu Z = 7,4 ± 0,4, což se opět kryje s pozorovaným zvětšením a potvrzuje správnost měření. 7 Závěr Ohniskovou vzdálenost spojné čočky +200 jsme určili na f = (18,49 ± 0,05) cm. Ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu na f 1 = (2,42 ± 0,05) cm a ohniskovou vzdálenost Ramsdenova okuláru na f 2 = (2,50 ± 0,12) cm. Zvětšení lupy jsme změřili na Z = 10,0 ± 0,5, zvětšení mikroskopu na Z = 66,7 ± 1,0 a zvětšení dalekohledu na Z = 7,1 ± 0,5. 8 Reference [1] Návod Ohniskové vzdálenosti čoček a zvětšení optických přístrojů. URL: http://praktikum.fjfi.c vut.cz/pluginfile.php/419/mod_resource/content/4/optika-2016-feb-27.pdf [Citace 7. 4. 2016.] 7