ZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: číslo skupiny: Spolupracovali: 1 Úvod 1.1 Pracovní úkoly [1] Úloha 5: Měření tíhového zrychlení Jméno: Ročník, kruh: Klasifikace: 1. V domácí přípravě odhadněte chybu, s jakou můžete změřit g. Tíhové zrychlení počítáte ze vzorce (4), dostáváte ho tedy jako funkci vzdálenosti l břitů a doby kmitu T. Vzdálenost břitů l = (803±1) mm, doba kmitu je asi 1, 8 s a změříte ji s přesností na 0, 001 s. 2. Pomocí programu PENDULUM nalezněte vhodnou polohu vnitřní čočky Č 1. 3. Vnější čočku Č 2 umístěte do několika poloh poblíž předpokládanému průsečíku křivek; pro tyto polohy změřte doby kmitu kyvadla T, T kolem os o, o a sestrojte graf. 4. Z grafu stanovte polohu vnější čočky (čočky Č 2 ), pro kterou jsou osy o, o sdružené (průsečík křivek). Do této polohy čočku upevněte a změřte doby kmitu T, T. Jestliže se budou od sebe lišit o více než 0, 001 s, opravte polohu vnější čočky. Tuto proceduru opakujte tak dlouho, až podmínku T T 0, 001 s splníte. Potom změřte doby kmitu T, T alespoň desetkrát. 5. Vypočítejte tíhové zrychlení g podle vzorce (4) a určete chybu, s jakou jste ho měřili. 2 Teorie 2.1 Základní pojmy, vztahy a veličiny [1] Doba kmitu T matematického kyvadla délky l v gravitačním poli s tíhovým zrychlením g je dána pro malý rozkyv vztahem l T = 2π g. (1) Doba kmitu fyzického kyvadla pro malý rozkyv je I T = 2π mgx kde I je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose, kolem které kývá, x je vzdálenost těžiště kyvadla od této osy a m je hmotnost kyvadla. Redukovaná délka fyzického kyvadla je délka matematického kyvadla, které by mělo stejnou dobu kmitu jako fyzické kyvadlo. Z rovnic (1) a (2) pro redukovanou délku fyzického kyvadla dostaneme l = (2) I mx. (3) Představme si, že redukovanou délku kyvadla l naneseme na přímku procházející těžištěm a kolmou na osu, kolem které kyvadlo kývá. Takto vzniklým bodem proložíme novou osu rovnoběžnou s osou původní. Dá se ukázat, že doby kmitu kolem těchto dvou os, které nazýváme osy sdružené, jsou stejné. Fyzické kyvadlo, u kterého lze najít dvě rovnoběžné osy nesouměrně položené vzhledem k těžišti, pro které jsou doby kmitu stejné, se nazývá kyvadlo reverzní. Reverzní kyvadlo je v našem případě realizováno jako kovová tyč, na níž jsou upevněny dva kovové 1
trojboké hranoly, obrácené svými břity (osami o, o ) k sobě. Břity jsou kolmé k ose tyče. Po tyči se obyčejně posouvají dvě kovové čočky Č 1, Č 2, jimiž se mění poloha těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k břitům. Obr. 1: Reverzní kyvadlo. Při měření s reverzním kyvadlem je třeba rozmístit čočky tak, aby se břity staly sdruženými osami, takže kyvadlo kývá kolem obou břitů se stejnými dobami kmitu T = T = T. Vzdálenost obou břitů l je pak redukovaná délka kyvadla a tíhové zrychlení vypočítáme ze vztahu 2.2 Statistické zpracování dat [2] g = 4π 2 l T 2. (4) Mějme nějakou fyzikální veličinu x, jejíž přesnou hodnotu se snažíme měřením zjistit. Provedeme-li n měření této veličiny, dostaneme soubor hodnot x i, které se budou od přesné hodnoty více či méně lišit. To je způsobeno chybami měření, které vznikají díky omezené přesnosti měřících přístrojů, působením měřícího zařízení na měřenou veličinu a podobně. Pokud se nám podaří odstranit hrubé chyby měření a chyby systematické, bude výsledek zatížen pouze chybami náhodnými, které se sestávají z velkého počtu navzájem nezávislých náhodných procesů, jenž mají rozložení blízké normálnímu (Gaussovu) rozložení a nejpravděpodobnější hodnotu výsledku měření můžeme vypočítat pomocí aritmetického průměru x = 1 n n x i. (5) i=1 Nejistotu, s jakou přesností jsme aritmetickým průměrem určili měřenou veličinu můžeme odhadnout pomocí střední kvadratické chyby aritmetického průměru, která je definována vztahem n ( x x i ) 2 i=1 σ x =. (6) n(n 1) Chybu nepřímého měření veličiny u = f(x, y, z,...) určíme ze vztahu [3] ( f ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f σ u = σx x 2 + σy y 2 + σz z 2 +.... (7) 2
3 Vypracování 3.1 Výpočet chyby, s jakou lze změřit g σ g = ( g l ) 2 ( ) 2 g σl 2 + σt 2 T = ( 4π ) 2 2 ( ) 2 8π2 0, 001 2 l + 0, 001 2 T 2 T 3 = 0, 02 m.s 2 3.2 Stanovení polohy čoček 3.2.1 Popis principu metody [1] U reverzního kyvadla je obtížné zkusmým posouváním čoček dosáhnout přesně stejné doby kmitu kolem obou os. K tomu, abychom toho dosáhli, použijeme metodu grafické interpolace. Vnitřní čočku (čočku Č 1 ) ponecháme pevně v nějaké vhodné poloze, vnější čočkou (čočku Č 2 ) pohybujeme. Polohy čočky Č 2 je možné odečíst na pomocném měřítku na tyči. Pro několik poloh této čočky změříme doby kmitů T, T kolem os o, o. Výsledek graficky znázorníme tak, že na vodorovnou osu nanášíme polohu čočky Č 2 a na svislou osu doby kmitů kolem os o, o (viz. Obr. 1). Vhodnou polohu vnitřní čočky Č 1 a přibližnou polohu vnější čočky Č 2, kdy břity kyvadla jsou osami sdruženými, je možné nalézt pomocí programu PENDULUM, což je počítačový model kyvadla. V manuálu Nápověda k užití programu PENDULUM jsou uvedeny instrukce k tomuto programu. Manuál je přiložen u úlohy. Grafy zobrazené na obrazovce PC jsou počítány pro model skládající se z tyče délky 1,2 m, hmotnosti 1,32 kg a dvou čoček o hmotnostech 0,875 kg. Osy otáčení jsou symetrické vzhledem k tyči a jejich vzdálenost je 0,8 m. Při výpočtech dob kmitu je tyč kyvadla pokládána za hmotnou úsečku, čočky za hmotné body a tíhové zrychlení g = 9,81 m.s 2. Pomocí kláves Page Up a Page Down je možné zvolit polohu vnitřní čočky (čočky Č 1 ) a pro tuto polohu program vypočítá a graficky zobrazí doby kmitu kyvadla kolem os o, o v závislosti na poloze vnější čočky (čočky Č 2 ). Průsečík těchto křivek (jehož polohu je možné určit pomocí kurzoru) udává polohu vnější čočky, kdy jsou osy o, o sdružené a dobu kmitu T. Prohlédněte si několik těchto grafů a zvolte si polohu vnitřní čočky, pro kterou bude vhodné měřit doby kmitu T, T. 3.2.2 Použité přístroje a pomůcky Reverzní kyvadlo, personální počítač, snímač průchodů kyvadla PASCO, rozhraní PASCO, program PASCO, program PENDULUM. 3.2.3 Výsledek měření Vhodná poloha vnitřní čočky (čočky Č 1 ) byla stanovena za pomoci programu PENDULUM do vzdálenosti x 1 = 0,76 m od osy o. Vnější čočku jsme umístili do několika poloh poblíž předpokládanému průsečíku křivek. Pro tyto hodnoty jsme naměřili doby kmitu kyvadla T, T kolem os o, o (Tab. 1). poloha Č 2 (cm) T (s) T (s) 87 1,7857 1,7518 88 1,7907 1,7720 89 1,7965 1,7926 90 1,8022 1,8151 91 1,8073 1,8380 92 1,8125 1,8607 93 1,8178 1,8848 Tab. 1: Polohy vnější čočky Č 2 a doby kmitu kyvadla T, T. 3
Z hodnot T, T pro polohy čočky Č 2 poblíž předpokládanému průsečíku křivek jsem sestrojil graf (Obr.2). Poloha čočky Č 1 je napevno umístěna ve vzdálenosti x 1 = 0,76 m od osy o. 1.9 1.88 T 1.86 1.84 t (s) 1.82 1.8 T 1.78 1.76 1.74 86 87 88 89 90 91 92 93 94 x (cm) 2 Obr. 2: Závislost doby kmitu kyvadla T, T na poloze x 2 vnější čočky Č 2. Po nalezení polohy čočky Č 2, pro kterou jsou osy o, o sdružené, bylo naměřeno deset hodnot doby kmitu T, T (Tab.2). Každá z hodnot je aritmetickým průměrem 6 kmitů, pro všechny naměřené hodnoty platí podmínka T T 0, 001 s. číslo měření T (s) T (s) 1 1,79903 1,79908 2 1,79832 1,79878 3 1,79888 1,79823 4 1,79887 1,79933 5 1,79918 1,79900 6 1,79868 1,79807 7 1,79851 1,79837 8 1,79868 1,79808 9 1,79851 1,79859 10 1,79847 1,79868 Tab. 2: Doby kmitu T, T. 4
3.3 Výpočet tíhového zrychlení g 3.3.1 Výsledek měření Pro naměřené hodnoty T, T (Tab.2) je rozmístění čoček Č 1 a Č 2 takové, že jsou oba břity přibližně osami sdruženými. Můžeme brát T = T = T. Jejich vzdálenost l je pak redukovaná délka T = (1, 79867 ± 0, 00008) s l = (0, 803 ± 0, 001) m a tíhové zrychlení vypočítáme dle (4). Chybu, s jakou jsme ho změřili, pak snadno můžeme zjistit dle (7). 3.3.2 Diskuze g = (9, 80 ± 0, 01) m.s 2 Hodnota tíhového zrychlení činí v naší zeměpisné šířce (49 ) přibližně 9,81 m.s 2. Toto zrychlení však nezahrnuje odpor vzduchu a bez zkreslení se projeví pouze ve vakuu. Hodnota místního tíhového zrychlení závisí podle [4] na geografické šírce, nadmořské výšce a nepatrně i na lokální hustotě hornin. Tíhové zrychlení je mírně ovlivňováno i pozicí Měsíce vůči Zemi. Vezmeme-li v úvahu tyto a další vlivy (v našem případě např. tření břitů o podstavu či počáteční výchylku kmitu, která výrazně měnila jeho dobu), můžeme bez jakýchkoli pochybností tvrdit, že naše měření bylo úspěšné. 4 Použitá literatura [1] Měření tíhového zrychlení, dokumentace k úloze 5 předmětu 02ZFM2, FJFI ČVUT v Praze, 26. 2. 2011, [cit. 28. 4. 2012], http://praktikum.fjfi.cvut.cz/mod/resource/view.php?id=341 [2] Chyby měření, [cit. 29. 4. 2012], http://herodes.feld.cvut.cz/mereni/chyby/chyby.php [3] Škoda, L., Chyby nepřímých měření, Podkladové texty pro přednášky předmětu 02ZFM1, FJFI ČVUT v Praze, [cit. 29. 4. 2012], http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/pers_hpgs/skoda/ neprime_mereni.pdf [4] Tíhové zrychlení, Wikipedie, otevřená encyklopedie, 27. 2. 2012, [cit. 29. 4. 2012], http://cs. wikipedia.org/wiki/t%c3%adhov%c3%a9_zrychlen%c3%ad 5