magnetickým polem, které zakřivuje jejich dráhu. Míra, jakou je částice magnetickým

Kapitola 5 Šíření 5.1 Pohyb částic v magnetickém poli Nabité částice kosmického záření jsou v mezihvězdném i mezigalaktickém prostoru ovlivňovány magnetickým polem, které zakřivuje jejich dráhu. Míra, jakou je částice magnetickým polem odkloněna závisí na její rigiditě R = p/q a vyplývá z Lorentzovy síly, která má v absenci elektrického pole tvar: F L = q v B. (5.1) c Z rovnice vyplývá, že částice je vychylována B-polem v kolmém směru ke svému pohybu a pohybuje se po kružnici. Poloměr této kružnice je nazýván Larmoroým poloměrem nebo také gyračním poloměrem.jehohodnotur L určíme, pokud položíme Lorentzovu sílu rovnu odstředivé síle (síly působí v jedné přímce a v opačném směru, proto jsou použity jen absolutní hodnoty veličin): mv 2 = qvb. Larmorův poloměr tak lze spočíst jako: r L r L = pc qb (5.2) Je tedy zřejmé, že tento poloměr lineárně roste s magnetickou rigiditou R. Pro kvantitativní odhady nejběžnějších případů, kdy E m 0 c 2, můžeme rovnici přepsat jako: r L 1pc E PeV qb µg, (5.3) kde E PeV je hodnota energie v jednotkách PeV=10 15 ev a B µg je hodnota B-pole v jednotkách µg. Poznámka: Pro kvantitativní představu je instruktivní uvést, že magnetická intenzita v naší Galaxii má hodnotu přibližně 3 µg. Hodnota Larmorova poloměru je tak např. 3 pc pro proton o energii 10 PeV a stejná pro jádro železa o energii 260 PeV. Pro srovnání připomeňme, že nejbližší hvězda je vzdálena 1 pc a naše Galaxie je diskem o tloušt ce 300 pc. Je tedy zřejmé, že pokud chceme přímo (bez využití sekundárních částic) identifikovat zdroje nabitého kosmického záření, je třeba studovat částice o energiích > 10 19 ev. 35

Šíření V závislosti na rigiditě částice v B-poli tak můžeme oddělit dva mezní případy, podle vztahu mezi Larmorovým poloměrem r L a velikostí B-pole r B. 1. r L r B V tomto případě si částice magnetického pole nestihne všimnout a její trajektorie je ovlivněna pouze zanedbatelně. Magnetická pole tak mohou začít hrát roli pouze tehdy, pokud jich na své cestě částice prolétne větší počet. 2. r L r B Částice je B-polem velmi významně ovlivněna a často je tak uvnitř tohoto většinou nehomogenního pole naprosto izotropizována a zapomíná směr, odkud do něj přilétla (viz ilustrace na obr. 5.1. V přítomnosti dalších magnetických polí tak může vykonávat pohyb připomínající náhodnou procházku (random walk).!" (a) (b) Obrázek 5.1: Schématické znázornění limitních případů interakce částice s magnetickým polem. V případě (a) velké rigidity magnetické pole zmagnetizovaného mračna částici vychýlí o zanedbatelně malý úhel δφ. Vychýlení se projeví až při interakci s více podobnými mračny. V případě (b) je Larmorův poloměr mnohem menší než typická velikost magnetického pole. Částice je tak v zmagnetizovaném mračnu isotropizována a provádí pohyb typu random walk. Náhodná procházka popisuje diskrétní pohyb částice, která v každém kroku urazí vzdálenost λ, je rozptýlena do náhodného směru, v němž opět urazí vzdálenost λ. Střední kvadratická vzdálenost uražená po N krocích je pak: r 2 = Nλ 2 Pokud se částice pohybuje rychlostí v, tak za čas t urazí střední vzdálenost: r(t) = λ vt. (5.4) Je třeba si uvědomit, že realistický případ se většinou pohybuje mezi těmito dvěma limitními situacemi a jeho popis je pak mnohem složitější. Do studia šíření KZ je pak třeba zahrnout hustotu magnetických polí, na nichž se částice rozptyluje a rovněž jejich intenzitu a velikost. Rozdělení velikostí těchto magnetických center není jednoznačně známo. Ke studiu šíření částic se tak většinou používá difúzního modelu, který průchod toku částic systémem popisuje jako difúzní pohyb. Rychlost průchodu systémem pak popisuje rychlost difúze, matematicky vyjádřená difúzní konstantou D (viz následující oddíl), která v sobě zahrnuje informace o spektru a hustotě magnetických rozptylových center. Tato konstanta se pak určuje empiricky na základě pozorování. 36

(a) (b) Obrázek 5.2: (a) Simulace dvou případů náhodné procházky. (b) Vývoj vzdálenosti od počátku. 5.2 Difúze Difúze je proces, při kterém se libovolné částice pohybují náhodnými pohyby ve směru gradientu hustoty částic (z husté do řidší). Tok částic j způsobený difúzí popisuje Fickův první zákon: j = D n, (5.5) kde n je hustota částic a D > 0 je difúzní koeficient, charakterizující rychlost difúze v daném prostředí. Z jeho definice rovnicí 5.5 vyplývá i jeho rozměrm 2 /s. Difúzní tok částic je dle tohoto zákona nejrychlejší ve směru, ve kterém nejrychleji ubývá hustota částic n. Rychlost difúze (t.j. velikost D) je v případě astrofyzikálních horkých prostředí dána především rozptylem částic na magnetických polích, která v závislosti na energii částic jejich tok zpomalují. Fickův zákon platí obecně pro libovolné prostředí s gradientem hustoty. Podoba tohoto zákona vyplývá z výsledků pokusů. Typickým příkladem je prostředí, kdy se dvě různorodé kapaliny či plyny difúzí promíchávají až do rovnovážného stavu, kdy difúze končí. Změny hustoty v čistě difúzním prostředí popisuje difúzní rovnice. Tu lze odvodit s použitím rovnice kontinuity n t + j =0, která zaručuje zachování hmoty. Kombinací s prvním Fickovým zákonem dostáváme obecnou difúzní rovnici: n(x, t) = [D(n, x) n(x, t)], (5.6) t která se nazývá rovněž Fickovým druhým zákonem. Poznámka: Rovnice 5.5 a 5.6 popisují rovněž vedení tepla. Stačí zaměnit hustotu n za teplotu T a tok částic j za tok tepla. 37

je: Šíření Pokud je difúzní koeficient nezávislý na poloze, zjednoduší se tvar difúzní rovnice na: n(x, t) = D(n) n(x, t), (5.7) t Řešením případu sférické symetrie v rovnici 5.7, kde D je konstantní v celém objemu, n(r, t) = n(0) ) exp ( r2. 4π D 4Dt n(r, t)/n(0) zde udává pravděpodobnost nalezení částice v čase t ve vzdálenosti r od počátku. Můžeme tedy nalézt nejpravděpodobnější vzdálenost R jako střední hodnotu tohoto rozdělení: R = r 2 Dt. (5.8) Vzdálenost částice od počátku tudíž roste pouze s odmocninou času, tudíž mnohem pomaleji než bez difúze, kde R t. Pokud difúze probíhá jako náhodná procházka, můžeme porovnáním s rovnicí 5.4 odhadnout, že D λ v. Je zřejmé, že rychlost difúze (velikost D) je tím vyšší, čím vzdálenější od sebe jednotlivá magnetická pole jsou a čím rychleji se částice pohybuje. Detailním odvozením lze ukázat, že pro náhodnou procházku platí přesně: D = 1 λ v. (5.9) 3 5.3 Transportní rovnice Šíření kosmického záření lze efektivně popsat pomocí transportní rovnice, jak ji zavedli Ginzburg and Syrovatskii (1964): n t = [D(E) n i ]+ E [b(e)n i]+q i (E) v n i (5.10) ( cρ λ i (E) + 1 ) n i γτ d + cρ de n k (E ) m E σ ki(e,e) k i E Tato rovnice popisuje vývoj spektra vysokoenergetických částic v mezihvězdném prostoru, kde částice procházejí difúzí, energetickými ztrátami a urychlováním a kde existují zdroje nových částic. Tato rovnice je základem všech analytických i numerických popisů šíření částic, modifikace jejich spekter při průchodu hmotou i modelů urychlování kosmického záření. Členy na pravé straně mají následující význam: 38 [D(E) n i ] popisuje difúzi (viz oddíl 5.2)

[b(e)n E i] energetické ztráty částic. Rychlost, jakou částice mění (ztrácí) svou energii je charakterizována funkcí ( ) de b(e). dt Ztráty jsou nejdůležitější v případě elektronů, které ztrácejí mnohem rychleji energii zářivým způsobem než jiné částice. Tento člen samozřejmě kromě ztrát (např. ionizačních nebo radiačních) zastupuje i rychlost urychlování částic. Q i (E) zdrojový člen (v částicích za jednotku času na jednotku objemu a energie), používaný v případě, že částice v systému vznikají nějakým dalším procesem. v n i konvekční člen, reprezentuje únik částic ze systému rychlostí v. cρ n λ i (E) i inelastické interakce. λ i je střední volnou dráhou mezi interakcemi částic typu i. 1 γτ d n i rozpady částic, přičemž γτ d je lorentzovsky prodloužená vlastní doba rozpadu. cρ m k i E de n k (E ) σ E ki(e,e) člen popisující fragmentaci těžších jader. ρ a m se vztahují na střední hustotu a hmotnost částic mezihvězdné hmoty. 5.4 Leaky box model Vyřešením parciální diferenciální transportní rovnice 5.10 se zadanými okrajovými podmínkami lze určit hustotu a spektrum kosmického záření na libovolném místě v naší Galaxii. Přímé řešení je však komplikováno mimo jiné například závislostí D na vzdálenosti od galaktické roviny z. Je proto mimo rámec této práce a zde omezíme na zjednodušený model, tzv. Leaky box model. Výchozí předpoklady modelu Galaxii je možné si představit jako krabici se stěnami Kosmické záření se pohybuje v rámci této krabice volně bez energetických ztrát Částice se od stěny mohou odrazit Při každém nárazu do stěny mají částice konečnou nenulovou pravděpodobnost úniku z krabice, která je konstantní a závisí pouze na energii τ i (t, E) τ(e). Kosmické záření je v této krabici prostorově rovnoměrně rozděleno. Za těchto předpokladů lze difúzní člen nahradit jednoduchým výrazem : [D(E) n i ] n i τ(e), (5.11) 39

Šíření kde τ(e) lze interpretovat jako střední dobu, kterou částice v uzavřeném objemu stráví než uniknou. Zaměřme se na řešení rovnovážné situace, kdy se hustota částic nemění, t.j. n t 0 Transportní rovnice se pak zjednoduší na tvar: ( n i (E) cρ τ(e) = Q i(e) λ i (E) + 1 ) n i + cρ γτ d m 5.5 Stáří kosmického záření k i E de n k (E ) E σ ki(e,e) Lehké prvky jako lithium, berylium i bór mohou vznikat spalací, t.j. procesem, při kterém kosmické záření interaguje s okolní hmotou a dochází k jeho fragmentaci na lehčí prvky. Jelikož nevznikají jako primární produkt nukleosyntézy ve hvězdách, je jejich relativní četnost ve Sluneční soustavě na rozdíl od spektra KZ zanedbatelná (ciz oddíl 1.4 pojednávající o složení KZ). Můžeme proto předpokládat, že tyto prvky v kosmickém záření vznikají téměř výlučně spalací. Ze znalosti fragmentačních účinných průřezů a poločasů rozpadu, můžeme určit cenné informace o stáří kosmického záření a také o integrální hustotě prošlé hmoty. 5.5.1 Beryliové kosmické hodiny K určení stáří KZ lze využít nestabilních isotopů podobně jako v uhlíkové metodě. Poločas rozpadu musí být i zde řádově podobný skutečnému stáří (v opačném případě by se bud rozpadl všechen, nebo by naopak byla změna původní četnosti zanedbatelná). Obzvláště příhodný se ukazuje radioizotop 10 Be s charakteristickou dobou rozpadu τrozpad 10Be 1.5 10 6 let. Tento prvek se při vzniku kosmického záření v jeho složení téměř nevyskytuje (viz výše), tudíž zdrojový člen v transportní rovnici Q Be = 0. Předpokládáme ještě, že interakce isotopu hrají zanedbatelnou roli v porovnání s jeho rozpadem, t.j. cρ/λ i τ rozpad. Změnu hustoty isotopu během šíření můžeme popsat rovnovážnou transportní rovnicí: 0= n i n i + C i, (5.12) γτ rozpad,i τ esc,i kde C i = P ij j>i τ j n j je rychlost produkce isotopu i spalací z těžších prvků j (odpovídá poslednímu členu rovnice 5.10) a τ rozpad je střední doba života v systému částice (v laboratorním systému proto γτ rozpad ). Pro hustotu isotopů n i pak platí 1 : n i = C i 1 γτ rozpad,i + 1 τ esc,i Plausibilním předpokladem dále je, že všechny isotopy Be mají stejnou pravděpodobnost úniku z Galaxie, t.j. τ esc,i τ esc. Pro poměr nestabilních a všech Be isotopů pak bude platit: 1 Pokud bychom nezanedbali inelastické interakce, byl by výraz velmi podobný n i = C i 1/(γτ rozpad,i )+1/τ esc,i+cρ/λ i 40

n 10Be n Be = 1 τ esc,be C 10Be 1 γτ rozpad,10be + 1 τ esc,be C Be V případě 10 Be navíc víme z urychlovačových experimentů, že tento isotop vzniká v 10% případů spalace, při nichž vzniká jakýkoliv isotop Be, t.j. C 10Be /C Be 1/10. Z experimentů měřících zastoupení izotopů v KZ pak víme, ž e n 10Be /n Be 0, 028. Ze známého τ rozpad,10be, tak můžeme přímo dopočíst střední dobu τ esc mezi vznikem KZ a detekcí (resp. střední dobu, po kterou KZ v rovnovážném systému zůstává než unikne): 5.6 Hustota prošlého materiálu τ esc 10 7 let. (5.13) Integrální hustotu materiálu, kterým kosmické záření během své existence prošlo, je možné odhadnout na základě poměru četnosti primárních (C, N, O) a sekundárních prvků (Li, Be, B). Pokud budeme uvažovat pouze proces spalace, můžeme vývoj hustot primárních prvků n p a sekundárních prvků n s popsat diferenciálními rovnicemi: dn p dx = n p λ p (5.14) dn s dx = n s λ s + p sp n p λ p Zde využíváme typické notace, kde je hlavní parametr rovnic nahrazen hmotností sloupce na čtvereční metr, kterou jádro či částice prošla X = ρx = ρ vt. p sp je pravděpodobností spalace a λ je střední volná dráha mezi událostmi spalace vyjádřená v jednotkách hmot - nosti na plochu. Rovnice 5.14 má řešení ) n p (X) =n p (0) exp ( Xλp. Po dosazení do rovnice pro sekundární prvky, dostáváme výraz pro jejich poměr: n s (X) n p (X) = p { [ ( spλ s 1 exp X 1 )] } 1 (5.15) λ s λ p λ p λ s Ze současných experimentů vyplývají hodnoty: λ LiBeB 10 g cm 2 λ CNO 6, 7gcm 2 p 0, 35 Růst počtu sekundárních částic v poměru k primárním je znázorněn na obr. 5.3. Po vyjádření X z rovnice 5.15 a dosazení konkrétních hodnot dostáváme hledanou hodnotu X: X 4, 3gcm 2. (5.16) 41

Šíření Obrázek 5.3: Poměr sekundárních a primárních částic v závislosti na sloupci prošlé hmoty. Tuto hodnotu můžeme porovnat s tloušt kou galaktického disku v g/cm 2 : X GD = h 0 ρ(h)d 10 3 g/cm 2. Kosmické záření tedy urazí mnohem větší vzdálenost, než kdyby prošlo přímo galaktickou rovinou, což odpovídá představě pomalého difúzního pohybu skrze Galaxii. 5.7 Změna spektra kosmického záření při průchodu Galaxií Jak bylo řečeno v sekci 5.1 o šíření částic v magnetickém poli popisujeme průchod toku částic Galaxií jako difúzní pohyb (ovlivněný energetickými ztrátami, rozpady, interakcemi, zdroji a spalací viz transportní rovnice) o rychlosti dané difúzní konstantou D. Ta v sobě zahrnuje hustotu a spektrum magnetických polí v Galaxii, na nichž se částice o dané energii rozptylují. Jelikož tento rozptyl závisí na energii E (resp. magnetické rigiditě R) částic, musí i difúzní konstanta být závislá na energii. Jelikož charakterizuje, jak rychle částice procházejí systémem (resp. nakolik jsou bržděny magnetickým polem), závisí na ní i λ esc (E), střední vzdálenost, kterou kosmické záření proletí odzdrojeažkjehodetekci na Zemi (měřená v g/cm 2 ). Její hodnotu i funkční závislost na energii je obtížné modelovat analyticky a je většinou získávána na základě fitování experimentálních dat. Při dostatečně vysokých energiích částice ze systému dříve unikne, než dojde k jejímu rozpadu. Můžeme pak zanedbat rozpadový a fragmentační člen v rovnici 5.12 Leaky box modelu dostaneme: 42 n i (E) τ esc (E) = Q i(e) cρ λ i (E) n i(e),

která má přímočaré řešení: n i (E) = Q i(e)τ(e) 1+λ esc (E)/λ i, (5.17) kde jsme zavedli λ esc ρτ esc jako střední hodnotu hmoty, kterou částice projde než unikne ze systému (resp. střední vzdálenost, kterou urazí ze zdroje k Zemi). Její hodnota závisí na tom, jak je daná částice bržděna B-polem a tudíž hlavně na hybnosti p a protonovém čísle Z. Z analýzy prací jako např. Garcia-Munoz et al. (1987) vyplývá, že ji lze parametrizovat funkcí: λ esc 11 g ( ) δ 4Z GeV, δ 0, 6. (5.18) cm 2 p Hodnota λ esc klesá s rostoucí energií, což odpovídá představě, že energetičtější částice difundují rychleji a setrvají v systému kratší dobu. Hodnota δ 0, 6 byla určena z experimentů zjišt ujících poměr primárních a sekundárních částic ve spektru kosmického záření v závislosti na energii. Tento poměr pro B/C je znázorněn na obr. 5.4. Obrázek 5.4: Poměr B/C (sekundárního ku primárnímu prvku) v závislosti na energii podle Strong et al. (2007). Nafitováním dat je možné získat závislost λ esc (E) E δ,kde δ 0.6. Jeden z důležitých důsledků rovnice 5.17 je, že nám dává přímý vztah mezi spektrem kosmického záření přímo v jeho zdroji Q(E) a spektrem pozorovaným na Zemi n(e). Podívejme se ve dvou modelových případech, jak se změní spektrum částic kosmického záření: Protony Jejich inelastickým interakcím dominují interakce pp se známým účinným průřezem, který odpovídá střední interakční vzdálenosti λ p 55 g/cm 2. Porovnáním shodnotouλ esc je zřejmé, že λ p λ esc, t.j. většina protonů unikne ze systému než stihnou být absorbovány inelastickou interakcí. Vzhledem k tomu, že λ esc /λ p 0, 43

vyplývá z rovnice 5.17, že n p (E) τ esc spektrum KZ E 2,7 tedy: Šíření Q p E δ.proδ = 0, 6apozorované Q p E 2,7+0.6 = E 2,1. (5.19) Zdrojové spektrum je tvrdší než pozorované (méně strmé), což souhlasí s intuitivní představou, že energetičtější částice ze systému unikají rychleji. Jádra železa Mají mnohem větší pravděpodobnost inelastické interakce, odpovídající λ Fe 2, 5g/cm 2.Protoλ Fe < λ esc pro nézké energie, kde pak dominují ztráty v inelastických interakcích, které neovlivňují příliš spektrum. Ve vyšších energiích nabírá na významu difúze a spektrum se stává strmějším. Tyto závěry jsou velmi hrubou aproximací, popisují však kvalitativně správně experimentální výsledky (viz např. Hörandel, 2008). 44

Literatura M. Garcia-Munoz, J. A. Simpson, T. G. Guzik, J. P. Wefel, and S. H. Margolis. Cosmicray propagation in the Galaxy and in the heliosphere - The path-length distribution at low energy. ApJS, 64:269 304, May 1987. doi: 10.1086/191197. V. L. Ginzburg and S. I. Syrovatskii. The Origin of Cosmic Rays. 1964. J. R. Hörandel. Cosmic-ray composition and its relation to shock acceleration by supernova remnants. Advances in Space Research, 41:442 463, 2008. doi: 10.1016/j.asr.2007. 06.008. A. W. Strong, I. V. Moskalenko, and V. S. Ptuskin. Cosmic-Ray Propagation and Interactions in the Galaxy. Annual Review of Nuclear and Particle Science, 57:285 327, November 2007. doi: 10.1146/annurev.nucl.57.090506.123011. 45