Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32"

Transkript

1 Matematika přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

2 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 2 / 32

3 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy Bod v rovině nebo v prostoru ztotožníme s uspořádanou dvojicí [x, y] nebo trojicí [x, y, z] reálných čísel. Tyto množiny budeme značit E 2 nebo E 3. Vektorem budeme nazývat uspořádanou dvojici (x, y) nebo trojici (x, y, z) reálných čísel. Tyto množiny budeme značit V 2 nebo V 3. Orientovaná úsečka AB, kde A, B E 2 nebo A, B E 3 a platí B A = u je umístěním vektoru u do bodu A, je také reprezentantem vektoru u. Např. body [x, y, z] na kulové ploše se středem v bodě S = [3, 1, 0] a s poloměrem r = 3 splňují rovnici (x 3) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 9. Například skládání sil působících ve stejném bodě odpovídá součtu vektorů, které síly reprezentují. Je-li u = (0, 1, 2) a v = (1, 1, 0), je jejich součet w = u + v = (1, 0, 2). Dva body A = [1, 1, 3] a B = [3, 0, 0], mohou určovat vektor posunutí AB = B A = [3, 0, 0] [1, 1, 3] = (2, 1, 3). 12. přednáška ( ) Matematika 1 3 / 32

4 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 4 / 32

5 Skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je definován u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Skalární součin se někdy značí také (u, v) nebo jen uv. (Inner product, scalar product, dot product.) Např. (u, v) = ((1, 2, 5), (3, 4, 0)) = 5. Délka vektoru (velikost, norma, Euklidovská norma) je q u = u1 2 + u2 2 + u2 3. Tedy platí u = u u. Např. u = (1, 3, 5) = 35. Pro jakýkoliv nenulový vektor u platí, že délka vektoru 1 u je 1, neboť u 1 u u = 1 u = 1. u 12. přednáška ( ) Matematika 1 5 / 32

6 Odchylka (úhel) α, α 0, π, dvou vektorů lze spočítat pomocí cos α = u v u v. u u z Dva vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin 0. α v v Kolmá projekce v vektoru v do vektoru u je dána vztahem v = u v u 2 u. Odvození: Má platit v = c u a (v v, u) = 0. Tedy (v c u, u) = 0 v π/2 v v v u tedy c = v = (v, u) (v, u) = (u, u) u 2, (v, u) (u, u) u = u v u 2 u. 12. přednáška ( ) Matematika 1 6 / 32

7 Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je vektor u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (Cross product.) Pomůcka pro výpočet: Vlastnosti: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1 a) u v je kolmý k oběma vektorům u a v; b) velikost vektoru u v je rovna ploše rovnoběžníka určeného vektory u a v, tedy kde φ je odchylka u a v; u v = u v sin φ, c) orientace u v je dána pravidlem pravé ruky: je-li u ukazováček, v malíček, míří palec (neležící v rovině dlaně) směrem u v. 12. přednáška ( ) Matematika 1 7 / 32

8 Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je vektor u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (Cross product.) Pomůcka pro výpočet: Vlastnosti: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1 a) u v je kolmý k oběma vektorům u a v; b) velikost vektoru u v je rovna ploše rovnoběžníka určeného vektory u a v, tedy kde φ je odchylka u a v; u v = u v sin φ, c) orientace u v je dána pravidlem pravé ruky: je-li u ukazováček, v malíček, míří palec (neležící v rovině dlaně) směrem u v. 12. přednáška ( ) Matematika 1 7 / 32

9 Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je vektor u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (Cross product.) Pomůcka pro výpočet: Vlastnosti: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1 a) u v je kolmý k oběma vektorům u a v; b) velikost vektoru u v je rovna ploše rovnoběžníka určeného vektory u a v, tedy kde φ je odchylka u a v; u v = u v sin φ, c) orientace u v je dána pravidlem pravé ruky: je-li u ukazováček, v malíček, míří palec (neležící v rovině dlaně) směrem u v. 12. přednáška ( ) Matematika 1 7 / 32

10 Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je vektor u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (Cross product.) Pomůcka pro výpočet: Vlastnosti: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1 a) u v je kolmý k oběma vektorům u a v; b) velikost vektoru u v je rovna ploše rovnoběžníka určeného vektory u a v, tedy kde φ je odchylka u a v; u v = u v sin φ, c) orientace u v je dána pravidlem pravé ruky: je-li u ukazováček, v malíček, míří palec (neležící v rovině dlaně) směrem u v. 12. přednáška ( ) Matematika 1 7 / 32

11 Příklad. Určíme obsah trojúhelníka s vrcholy A = [0, 0, 2], B = [ 1, 3, 1], C = [1, 1, 5]. Určíme úhel při vrcholu A. Dvě strany trojúhelníka tvoří vektory např. u = B A a v = C A, tedy u = ( 1, 3, 1), v = (1, 1, 3). Obsah trojúhelníka je tedy S = 1 2 u v = 1 2 (10, 2, 4) = 1 2 q ( 4) 2 = 120/2 = 30. Pro úhel při vrcholu A platí cos α = (u, v) (( 1, 3, 1), (1, 1, 3)) = = 1 u v , tedy α = arccos přednáška ( ) Matematika 1 8 / 32

12 Smíšený součin vektorů u, v, w V 3 je u (v w). Vlastnosti: a) Hodnota smíšeného součinu je rovna determinantu matice, jejíž řádky (resp. sloupce) jsou tvořeny vektory u, v, w (v tomto pořadí). b) Absolutní hodnota smíšeného součinu je rovna objemu rovnoběžnostěnu jehož hrany jsou vektory u, v, w. c) Absolutní hodnota smíšeného součinu je rovna 6-tinásobku objemu čtyřstěnu jehož hrany jsou vektory u, v, w. Příklad. Určete objem čtyřstěnu určeného vektory u = (2, 0, 3), v = ( 1, 1, 0), w = (0, 5, 1) A = = přednáška ( ) Matematika 1 9 / 32

13 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 10 / 32

14 Přímka v prostoru může být určena dvěma body (P a Q) nebo bodem a směrovým vektorem (P a v). Každý bod [x, y, z] na přímce lze vyjádřit v parametrickém (vektorovém) tvaru [x, y, z] = P + s(q P), kde s R, nebo [x, y, z] = P + sv, kde s R. Míníme-li bodem X = [x, y, z] bod přímky, lze psát stručněji X = P + s(q P) nebo X = P + sv. Jestliže označíme P = [P 1, P 2, P 3 ] a v = (v 1, v 2, v 3 ), můžeme vzah přepsat do 3 rovnic X = P + sv x = P 1 + sv 1, y = P 2 + sv 2, z = P 3 + sv 3. Osamostatníme-li v každé z těchto tří rovnic s, dostaneme s = x P 1 v 1, s = y P 2 v 2, s = z P 3 v 3, a tedy x P 1 = y P 2 = z P 3. v 1 v 2 v 3 Tím jsme dostali kanonické (osové, polární) vyjádření přímky. 12. přednáška ( ) Matematika 1 11 / 32

15 Příklad. Určíme nějaký směrový vektor v a nějaký bod P přímky Podle předchozího textu je např. x 1 7 = y = 5 z 10. a tedy x 1 7 = y = 5 z 10 = s, x = 1 + 7s, y = 3 + 2s, z = 5 10s, a tedy v = (7, 2, 10) (pozor na znaménko poslední souřadnice) a P = (1, 3, 5). Dvě různé přímky v prostoru mohou být a) různoběžné - mají právě jeden společný bod, b) rovnoběžné - mají rovnoběžné směrové vektory a nemají žádný společný bod, c) mimoběžné - nemají rovnoběžné směrové vektory a nemají žádný společný bod. 12. přednáška ( ) Matematika 1 12 / 32

16 Příklad. Určete vzájemnou polohu přímek p a r. Přímka p je dána body A = [0, 2, 1] a B = [1, 3, 0]. Přímka r je dána bodem C = [1, 1, 1] a vektorem u = (0, 3, 1). Určíme směrový vektor přímky p: v = B A = (1, 5, 1). Vektory u a v nejsou lineárně závislé, proto přímky p a r nejsou rovnoběžné (ani totožné). Zjistíme, zda mají přímky společný bod. Budeme řešit soustavu rovnic (hledat s a t) tedy A + sv = C + tu, 0 + s = 1 + 0t 2 5s = 1 3t 1 s = 1 + t. Nutně s = 1, potom z poslední rovnice t = 1, ale to nevyhovuje druhé rovnici, tedy soustava nemá řešení, tedy přímky p a r jsou mimoběžky. 12. přednáška ( ) Matematika 1 13 / 32

17 Přímka v rovině může být určena dvěma body (P a Q) nebo bodem a směrovým vektorem (P a v). Tedy každý bod [x, y] na přímce lze vyjádřit v parametrickém tvaru kde s R nebo [x, y] = P + s(q P), [x, y] = P + sv, kde s R. Míníme-li bodem X = [x, y] bod přímky, lze psát stručněji X = P + s(q P) nebo X = P + sv. Jestliže označíme P = [P 1, P 2 ] a v = (v 1, v 2 ), můžeme vztah přepsat jako X = P + sv x = P 1 + sv 1, y = P 2 + sv 2. Osamostatníme-li v každé z těchto dvou rovnic s, dostaneme a tedy neboli s = x P 1 v 1, s = y P 2 v 2, x P 1 v 1 = y P 2 v 2, xv 2 yv 1 P 1 v 2 + P 2 v 1 = 0. Tím jsme dostali obecnou rovnici přímky, která je vždy typu ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou reálné konstanty. Vždy je vektor (a, b) kolmý ke směrovému vektoru přímky. 12. přednáška ( ) Matematika 1 14 / 32

18 Příklad. Určíme obecnou rovnici přímky, která je dána body A = [0, 1] a B = [2, 7]. Parametrické vyjádření přímky je např. s R, tedy [x, y] = A + s(b A) = [0, 1] + s((2, 7) (0, 1)) = [0, 1] + s(2, 6), s = x 0 2 = y 1 6, neboli 6x 2y + 2 = 0, což je totéž jako 3x y + 1 = 0. Obecná rovnice přímky je tedy 3x y + 1 = 0. V tomto příkladě jsme mohli postupovat ještě jinak. Víme, ze hodnoty a, b v obecné rovnici přímky tvoří vektor kolmý k přímce. Najdeme tedy nějaký. Je-li směrový vektor (2, 6) (nebo také (1, 3)), je k němu kolmý vektor např. ( 3, 1). Obecné rovnice bude tedy 3x + y + c = 0. Konstantu c určíme dosazením libovolného bodu přímky, např. A, tedy c = 1, tedy rovnice je neboli c = 0, 3x + y 1 = 0, 3x y + 1 = přednáška ( ) Matematika 1 15 / 32

19 Příklad. Určíme odchylku α a průnik S přímek p a q, kde p je dána rovnicí 3x y + 7 = 0 a q je určena body A = [1, 1] a B = [2, 5]. Směrový vektor přímky p je u = (1, 3) a směrový vektor přímky q je v = B A = (1, 4). Úhel α přímek p a q je roven úhlu vektorů u a v cos α = Odchylka přímek je tedy α = arccos Parametrické vyjádření přímky q je např. u v u v = = [x, y] = [1, 1] + s(1, 4), s R. Každý bod společný oběma přímkám bude vyhovovat rovnici pro p i vyjádření q, dosadíme tedy parametrické vyjádření q do obecné rovnice pro p a dostaneme s = 9. Společný bod je 3x y + 7 = 3(1 + s) (1 + 4s) + 7 = 0, S = [x, y] = [1, 1] + 9(1, 4) = [10, 37]. 12. přednáška ( ) Matematika 1 16 / 32

20 Rovina v prostoru může být určena třemi body (P, Q, R) nebo bodem a dvěma lineárně nezávislými směrovými vektory (P, u, v). Bod X = [x, y, z] roviny tedy můžeme vyjádřit ve tvaru r, s R, nebo X = P + r(q P) + s(r P), X = P + ru + sv, r, s R, to jsou parametrické (vektorové) rovnice roviny. Uvědomme si, že pro každý bod roviny X platí, že vektor X P je lineární kombinací vektorů u a v. Normálový vektor n = (n 1, n 2, n 3 ) roviny je kolmý k u i v, tedy k X P pro libovolné X. Tedy rovina může být dána rovnicí n (X P) = 0, neboli nebo nebo obecně n 1 (x P 1 ) + n 2 (y P 2 ) + n 3 (z P 3 ) = 0, n 1 x + n 2 y + n 3 z n 1 P 1 n 2 P 2 n 3 P 3 = 0, ax + by + cz + d = 0. Tento vztah se nazývá obecná rovnice roviny. Koeficienty a, b, c v rovnici tvoří vektor (a, b, c) kolmý k rovině, je to normálový vektor roviny. 12. přednáška ( ) Matematika 1 17 / 32

21 Odchylka α rovin ρ a τ je dána odchylkou jejich normálových vektorů n ρ a n τ cos α = nρ nτ n ρ n τ. Odchylka α přímky p od roviny ρ lze spočítat ze vztahu sin α = nρ vp n ρ v, p kde n ρ je normálový vektor roviny ρ a v p je směrový vektor přímky p. Přímka a rovina v prostoru mohou být a) různoběžné (mají právě jeden společný bod), b) rovnoběžné (nemají žádný společný bod nebo je přímka částí roviny). Přímka a rovina v prostoru NEMOHOU být mimoběžné. 12. přednáška ( ) Matematika 1 18 / 32

22 Příklad. Určíme obecnou rovnici roviny ρ, která je dána bodem P = [2, 0, 1] a vektory u = ( 1, 2, 2) a v = (3, 1, 0). Najdeme normálový vektor n roviny ρ jako vektorový součin vektorů u a v, Rovnice bude tedy Konstantu d určíme dosazením bodu P, n = u v = ( 1, 2, 2) (3, 1, 0) = ( 2, 6, 7). 2x + 6y 7z + d = d = 0, tedy d = 11. Obecná rovnice roviny ρ je tedy 2x + 6y 7z + 11 = 0, neboli 2x 6y + 7z 11 = přednáška ( ) Matematika 1 19 / 32

23 Příklad. Určíme průnik rovin ρ a τ, které jsou zadané obecnými rovnicemi 3x 2y + 1 = 0 a x + y + z + 2 = 0. Roviny nejsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory n ρ = (3, 2, 0) a n τ = (1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Směrový vektor v přímky p, která je jejich průnikem, je kolmý k n ρ i k n τ, v = n ρ n τ = ( 2, 3, 5). Zbývá najít nějaký bod p vyřešením soustavy rovnic 3x 2y + 1 = 0 x + y + z + 2 = 0. Zvolíme-li např. x = 1, dostaneme y = 2 a z = 5, tedy parametrické vyjádření přímky je s R. [x, y, z] = [1, 2, 5] + s( 2, 3, 5), 12. přednáška ( ) Matematika 1 20 / 32

24 Příklad. Najdeme průnik P přímky zadané [x, y, z] = [1, 2, 5] + s( 3, 2, 5), s R, s rovinou x y + 2z 7 = 0. Dosadíme vyjádření přímky do rovnice roviny (1 3s) (2 2s) + 2( 5 + 5s) 7 = 0, dostaneme 9s = 18, tedy s = 2, tedy průnikem je bod P = [1, 2, 5] + 2( 3, 2, 5) = [ 5, 2, 5]. 12. přednáška ( ) Matematika 1 21 / 32

25 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 22 / 32

26 Vzdálenost množin bodů M 1 a M 2 je infimum délek úseček spojujících nějaký bod z M 1 s nějakým bodem z M 2. Vzdálenost bodu od roviny. Vzdálenost d(p, τ) bodu P = [p 1, p 2, p 3 ] od roviny τ dané rovnicí ax + by + cz + d = 0 je d(p, τ) = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p. a 2 + b 2 + c 2 Odvození. Přímka kolmá k τ a procházející bodem P je X = P + t(a, b, c). Její průnik s rovinou τ najdeme dosazením a(p 1 + sa) + b(p 2 + sb) + c(p 3 + sc) + d = 0, s = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d a 2 + b 2 + c 2. Bod průniku je tedy T = P + s(a, b, c) a vzdálenost T od P je d(p, τ) = s(a, b, c), tedy d(p, τ) = s pa 2 + b 2 + c 2 = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p. a 2 + b 2 + c přednáška ( ) Matematika 1 23 / 32

27 Příklad. Určíme vzdálenost d(p, τ) bodu P = [6, 1, 0] od roviny τ dané bodem A = [3, 0, 0] a vektory u = (1, 2, 0) a v = (0, 1, 1). (První postup.) Najdeme obecnou rovnici roviny τ a použijeme předchozí vzorec. Normálový vektor je n = (2, 1, 1), tedy rovnice je 2x y + z + d = 0, kde d = 6. Vzdálenost je tedy d(p, τ) = p ( 1) = 5 6. (Jiný postup.) Vektory u, v a w = P A = (3, 1, 0) určují rovnoběžnostěn, jehož objem je roven absolutní hodnotě determinantu V = det A = = Objem je ale současně roven obsahu podstavy, určené vektory u a v, násobenému vzdáleností d(p, τ), tedy V = u v d(p, τ) = (2, 1, 1) d(p, τ) = 6 d(p, τ), tedy d(p, τ) = přednáška ( ) Matematika 1 24 / 32

28 Vzdálenost bodu od přímky. Vzdálenost bodu P = [p 1, p 2, p 3 ] od přímky s dané bodem A a směrovým vektorem v je (P A) v d(p, s) =. v P A u v d(p,s) s Odvození. Použijeme známé vztahy. Označme u = P A. Rovnoběžník určený vektory u a v má obsah S = u v. Tento obsah je roven součinu kde d je vzdálenost bodu P od přímky s. Tedy d(p, s) = S = d v, (P A) v. v 12. přednáška ( ) Matematika 1 25 / 32

29 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 26 / 32

30 Příčky mimoběžek Jestliže p a q jsou mimoběžky, nazývá se každá přímka, která protíná p i q, jejich příčka. Příčka, na které tyto dva průsečíky vytínají úsečku nejmenší délky, se nazývá osa mimoběžek. Příklad. Určete osu r mimoběžek p a s. Přímka p je určena pravým svislým okrajem promítacího plátna, které sledujete, přímka s je určena horním okrajem vašeho sešitu. Určíme směr w, kolmý ke směrům přímek p a s. To bude směr hledané osy r. Sestrojíme rovinu ρ, která prochází přímkou p a je rovnoběžná se směrem w. Najdeme průnik T roviny ρ a přímky s. Osa r je dána bodem T a vektorem w.? Co bude řešením, budou-li přímky p a s rovnoběžné?? Co bude řešením, budou-li přímky p a s různoběžné?? Jak určíme vzdálenost mimoběžek? 12. přednáška ( ) Matematika 1 27 / 32

31 Příklad. Najděte osu r mimoběžek p a q, vyjádřených vztahy p : X = A + sv, q : X = B + tu, s, t R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = ( 2, 0, 1). (Ověření mimoběžnosti p a q by se provedlo například zjištěním, že determinant matice složené z vektorů u, v a B A je nenulový.) Určíme směr přímky r - směr kolmý k p i q, w = v u = (1, 1, 2). Určíme rovinu ρ procházející přímkou p a rovnoběžnou se směrem w. Rovina ρ má tedy normálový vektor (a, b, c) = w v = ( 2, 2, 2) = 2(1, 1, 1) a rovnici Konstantu d spočteme dosazením A do rovnice, x y z + d = d = 0, tedy d = 0. Průnik q a ρ označíme C a spočteme dosazením vyjádření q do obecné rovnice ρ, (0 2t) (2) (2 + t) = 0. Máme t = 4 3, a tedy C = [0, 2, 2] 4 3 ( 2, 0, 1) = [ 8 3, 2, 2 ]. Osa mimoběžek p a q je tedy 3 k R. X = C + sw = [ 8 3, 2, 2 ] + k(1, 1, 2), přednáška ( ) Matematika 1 28 / 32

32 Příklad. Najdeme příčku r mimoběžek p a q rovnoběžnou se směrem w = (0, 1, 0). Přímky p a q jsou vyjádřeny vztahy p : X = A + sv, q : X = B + tu, s, t R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = ( 2, 0, 1). Nejdříve určíme rovinu ρ procházející přímkou p a rovnoběžnou se směrem w. Rovina ρ má normálový vektor n = v w = (0, 0, 1), a tedy obecnou rovnici z + d = 0. Určíme d dosazením bodu A do rovnice ρ, d = 0. Dostaneme d = 1. Průnik ρ a q dostaneme dosazením vyjádření q do ρ, 1(2 + t) 1 = 0, máme t = 1, tedy průnik je C = [0, 2, 2] ( 2, 0, 1) = [2, 2, 1]. Příčka je tedy kde k R. X = C + kw = [2, 2, 1] + k(0, 1, 0), 12. přednáška ( ) Matematika 1 29 / 32

33 Otázky. 1. Co lze obecně říci o rovině zadané obecnou rovnicí ax + by + cz + d = 0, kde a) a = 0, b) a = b = 0, c) d = 0? 2. Jak najít kolmý průmět přímky do roviny? 3. Jak najít kolmý průmět bodu do roviny? 4. Jak najít bod souměrně sdružený s daným bodem podle dané roviny? 5. Jak určit vzdálenost bodu od roviny? 12. přednáška ( ) Matematika 1 30 / 32

34 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika; přednáška ( ) Matematika 1 31 / 32

35 Zkouška: 120 minut, sešité papíry,... Odpovědi na otázky - větami. Náhledy, zkoušení na A, zápis známky do indexu - následující den po písemné zkoušce. Výběrová Matematika 2... web Katedry matematiky Vyčichlova soutěž, Rektorysova soutěž, Kapitoly ze současné matematiky, seminář... web Katedry matematiky Katedra matematiky - předmět YZAI (Základy informatiky) MATLAB, SCILAB - volně, atd. 12. přednáška ( ) Matematika 1 32 / 32

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Rovnice přímky v prostoru

Rovnice přímky v prostoru Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

Euklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25

Euklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25 n 3 GeometrievÊ zvláštěvê Euklidovský prostor n Ê Norma, úhel vektorů, skalární a vektorový součin Parametrické rovnice přímky Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny. p.1/25 Euklidovskýprostor

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Kulová plocha, koule, množiny bodů

Kulová plocha, koule, množiny bodů Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3

Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3 Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu

s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Kolmost rovin a přímek

Kolmost rovin a přímek Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více