Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz



Podobné dokumenty
Copyright 2013 Martin Kaňka;

Pythagorova věta

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

Copyright 2013 Martin Kaňka;

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

Šablona klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

5. P L A N I M E T R I E

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Prezentace. Prezentace. 5. InDesign vzory, znakové styly. Vytvořil: Tomáš Fabián vytvořeno

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

GeoGebra známá i neznámá

Základy práce s programem pro interaktivní tabuli SMART notebook

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3

Pythagorova věta výpočet odvěsny - přirozená čísla

Metodika. doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. -

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Závěrečná práce. AutoCAD Inventor (Zadání D1)

VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY

František Hudek. květen 2012

měřič vzdálenosti Součásti balení Uživatelská příručka

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

P L A N I M E T R I E

GeoGebra Prostředí programu

7.1.3 Vzdálenost bodů

Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/ EU PENÍZE ŠKOLÁM

GEOMETRICKÁ MÍSTA BODŮ V MATEMATICE ZŠ ÚVOD

Opravná zkouška 2SD (celý rok)

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

4.2.4 Orientovaný úhel I

Pythagorova věta výpočet přepony - přirozená čísla

Pythagorova věta výpočet přepony - přirozená čísla

Nápověda k používání mapové aplikace Katastrální mapy Obsah

Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je = + 444

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Návod k ovládání aplikace

Regionální kolo soutěže Baltík 2007, kategorie A a B

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)

POVLTAVSKÉ SETKÁNÍ BALTÍKŮ - 9.ročník a

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

VÝUKA PČ NA 2. STUPNI základy technického modelování. Kreslící a modelovací nástroje objekty, čáry

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce

4 Želva se učí nové příkazy

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

4.3.2 Koeficient podobnosti

Použité zdroje a odkazy: Nápověda Corel Draw X6, J. Švercl: Technické kreslení a deskriptivní geometrie pro školu a praxi

Základní geometrické tvary

Matematický KLOKAN kategorie Kadet

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

Návod na tvorbu časové přímky v programu Microsoft PowerPoint 2013

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Interaktivní modely pro Konstruktivní geometrii

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Matematický KLOKAN 2006 kategorie Junior

ARITMETIKA - TERCIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší,

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

Cabri pro začátečníky

Shodná zobrazení v rovině

DUM 02 téma: Corel - křivky

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

CVIČNÝ TEST 18. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

Sestavy. Téma 3.3. Řešený příklad č Zadání: V databázi zkevidence.accdb vytvořte sestavu, odpovídající níže uvedenému obrázku.

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení roviny, jejích částí a vztahů mezi nimi. Úhel ostrý a tupý

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Digitální učební materiál

Flash - animace. 17. Změna tvaru - Flash. Vytvořila: Radka Veverková Vytvořeno dne: Flash. DUM číslo: 16 Název: Flash

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

Transkript:

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Tato aplikace je koncipována jako hra, může být použita k demonstraci důkazu. Může žáky učit, jak manipulovat s dynamickými objekty, a umožňuje žákům interaktivní pohled na důkaz Pythagorovy věty. Tato aplikace umožňuje žákům pohybovat body a žáci tak mohou vidět závislosti mezi jednotlivými objekty. Pythagorova věta zní: Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Dosud není známo, kdo objevil tento vztah jako první. Někteří lidé si myslí, že byl objeven různými vědci nezávisle na sobě. Pravda je taková, že Pythagorova věta má více důkazů než jakékoli jiné věty. V současné době existuje několik stovek důkazů Pythagorovy věty [15]. Tato aplikace ukazuje interaktivní a vizuální formou platnost vztahů Pythagorovy věty. Ukázky vztahů jsou uvedeny na sedmi snímcích. Studenti mohou snímky postupně prohlížet, od začátku do konce nebo naopak. Tato aplikace umožňuje zobrazit důkaz s různým počátečním nastavením bodů. Toto nastavení se automaticky promítne na všechny následující snímky. Na všech snímcích lze s konstrukcí pohybovat [15].

Aktivity 1) snaž se pochopit jeden z mnoha důkazů Pythagorovy věty; projděte si snímky od prvního do posledního 2) ověř platnost důkazu, jestliže změníte počáteční nastavení bodů pravoúhlého trojúhelníku 3) zkus změnit nastavení pohyblivého bodu pravoúhlého trojúhelníku v jakékoli fázi důkazu a zkontroluj, jak to ovlivňuje geometrickou konstrukci 4) zkus sledovat důkaz v obráceném pořadí - od posledního k prvnímu snímku 5) nauč se, jak vytvořit interaktivní geometrické modely pro vizualizaci slavných vět [15] Návod Jakmile spustíme aplikaci, objeví se nám první snímek. Na tomto snímku vidíme tři čtverce sestrojené nad pravoúhlým trojúhelníkem. Jeden vrchol čtverce je červeně zvýrazněný, s tímto bodem lze horizontálně pohybovat a měnit rozměry zbylých dvou čtverců. V pravé horní části nás anglický nápis motivuje k pohybu s červeným bodem a k přemýšlení o tom, proč plocha většího čtverce je rovna součtu obsahů zbylých dvou čtverců. Tak s tímto bodem zkusíme pohnout. Obrázek 1: Pythagorean Theorem - první snímek

Pokud body necháme ve výchozí pozici, tak vidíme jeden čtverec sestrojený nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku a další dva, které jsou sestrojeny nad odvěsnami. Tedy jde o grafické znázornění Pythagorovy věty. Pokud bod posuneme do krajní pozice, vidíme, že oba čtverce mají stejně dlouhou stranu a zbylý třetí čtverec má stranu nulové délky. Na druhém snímku (obr. č. 30) jsou vidět čtyři trojúhelníky, které se dotýkají největšího čtverce. Dohromady vytváří také čtverec (tečkovaně ohraničený) a přitom nezáleží na aktuální poloze pohyblivého červeného bodu. Obsahy jednotlivých trojúhelníků jsou stejné i při pohybu červeným bodem. Pokud si označíme stranu nejmenšího čtverce a, stranu prostředního čtverce písmenem b a stranu největšího čtverce c, bude situace vypadat tak, jak je vyznačená na obrázku. Pokud posuneme červený bod na pravou nebo levou stranu uvidíme, že se velikost čtverce a zmenší na nulu a velikost strany c se bude rovnat velikosti strany b. Obrázek 2: Pythagorean Theorem - další snímky aplikace

Na třetím snímku (obr. č. 30) jsou také čtyři trojúhelníky jako na třetím snímku, ale nyní mají dvojčata uvnitř velkého čtverce. Všech osm trojúhelníků na třetím snímku je shodných s Pythagorejským trojúhelníkem z prvního snímku. Pohybem bodu lze měnit velikosti jednotlivých stran. Pokud umístíme pohyblivý bod doprostřed, vznikne nám osm rovnostranných trojúhelníků. Pokud bude bod v krajní pozici, všechny trojúhelníky zaniknou. Představme si, že dva z vnitřních trojúhelníků vyznačíme modře. Pohybem bodu přesuneme trojúhelníky na protější strany čtverce. Tuto situaci zobrazuje snímek číslo čtyři na obrázku č. 30. Modře můžeme vyznačit i trojúhelníky na vnější straně velkého čtverce. Oba tyto trojúhelníky jsou opět shodné. Tuto situaci lze vidět na snímku číslo pět (obr. č. 30). Pokud pohyblivým bodem posuneme doprostřed a vezmeme vyznačené trojúhelníky uvnitř i vně velkého trojúhelníku, vytvoří nám čtverce. Tyto dva čtverce jsou na snímku č. 6 (obrázek vlevo na obr. č. 31) označeny modrou barvou a jsou shodné s menšími bílými čtverci. Pokud posuneme pohyblivým bodem, vždy bude jeden modrý čtverec shodný s jedním bílým čtvercem a zbylé dva budou také shodné. Na posledním snímku (obr. č. 31) je ukázáno, proč jsou bíle a modré čtverce shodné. Obrázek 3:Pythagorean Theorem - poslední snímek Aplikace Pythagorean Theorem se poprvé objevila v balíku aplikací v roce 2003 [7]. V dnešní době existuje mnoho jiných grafických důkazů Pythagorovy věty a v mnohem lepším provedení.

Na této aplikaci je problematické, že nelze z jednotlivých snímků jednoznačně vidět, zda jsou opravdu jednotlivé části stejně veliké (to by se dalo snadno vyřešit posazením obrázku do čtvercové sítě). Rozhodl jsem se stejný důkaz vizualizovat v programu Geogebra ve verzi 4.2, který je novější, je také zdarmak dispozici na www.geogebra.org. Příprava apletu v programu Geogebra není triviální, ale její výhodou je dynamičnost a také možnost sledování objektů, závislostí a vztahů na dostatečném množství separovaných modelů. Soubor je umístěn i na CD ve složce Řešené příklady pod názvem Pythagorova_veta.ggb. Dále je soubor umístěn i na stránkách http://dalest.kenynet.cz pod aplikaci Pythagorean Theorem. Obrázek 4: Důkaz Pythagorovy věty v programu Geogebra Při otevření souboru Pythagorova_veta.ggb je prvním úkolem nastavit si délky odvěsen na posuvníku. Při změně délky jednotlivých stran se nám interaktivně změní veškeré vztahy platné v Pythagorově větě. Zajímavé jsou krajní pozice, kdy má jedna z odvěsen nulovou délku. Pokud vezmeme čtverec nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku a kolem každé jeho strany umístíme onen pravoúhlý trojúhelník, vznikne nám čtverec se stranou délky, která je rovna součtu obou odvěsen. Poté tyto trojúhelníky přesuneme jako na obrázku č. 32 vpravo a to konkrétně tak, že přisuneme trojúhelníky k sobě, aby měly společnou přeponu. Vznikne nám opět velký čtverec, kde je strana stejně velká jako součet odvěsen a vznikne nám tam i prázdný prostor (na obrázku nahoře vpravo, vybarven zeleně a modře). Zeleně vybarvená část vzniklého prostoru tvoří čtverec s délkou strany shodnou s delší

odvěsnou. Modrá část tvoří také čtverec s délkou strany shodnou s délkou kratší odvěsny. Jelikož se nám velký čtverec nezměnil a trojúhelníky také ne, musí se součet plochy zeleného a modrého čtverce rovnat ploše čtverci na prostředním obrázku. Nyní se vrátíme zpět k popisu aplikace Pythagorean Theorem. Popis ovládacích tlačítek Posunutí snímku o jeden zpět Posunutí snímku o jeden dopředu Ukončení programu Použití aplikace Pythagorean Theorem V době vzniku tato aplikace představovala užitečný nástroj. Nyní existují modernější a názornější nástroje na ukázku platnosti vztahů v Pythagorově větě. Osobně bych tuto aplikaci nedoporučil ve výuce, raději bych využil některý z dostupných programů dynamické geometrie, např. program Geogebra. Video návod Jelikož se v této aplikaci prochází pouze jednotlivé snímky, kde jsou odvozené vztahy, není potřeba k této aplikaci vytvářet video návod. Ale i tak jsem vytvořil krátké video, kde pouze prolistuji a okomentuji jednotlivé snímky aplikace. Video naleznete na CD ve složce Video návody pod názvem Pythagorean_Theorem.wmv. Za přínosnější považuji video ukázku vztahů v Pythagorově větě v programu Geogebra. Toto video naleznete ve složce Řešené příklady pod názvem Pythagorova_veta.wmv. Veškeré návody (textové i video návody) jsou umístěny na internetových stránkách http://dalest.kenynet.cz. Použité zdroje: [15] Elica Pythagorean Theorem. BOYTCHEV, Pavel. Elica DALEST [online]. [cit. 2013-03-11]. Dostupné z: http://www.elica.net/site/museum/pythagorean/pythagorean.html