Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je rovna 3, 40% kvantil je roven 3, 80% kvantil je roven 7. Úloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota (intervalově tříděná data): Určete typickou hodnotu a 40% kvantil z následujících hodnot: interval četnost 1200 1600 12 1600 2000 11 2000 2400 19 2400 2800 38 2800 3200 24 3200 3600 20 3600 4000 27 4000 4400 8 součet 159 Typická hodnota je 2630.3, 40% kvantil je 2627.3
Úloha č. 3 - Mocninové průměry (intervalově tříděná data) : Vypočtěte aritmetický, harmonický a kvadratický průměr z tříděných dat v tabulce. Vypočtené hodnoty průměrů seřaďte podle velikosti. interval četnost 1200 1700 7 1700 2200 20 2200 2700 37 2700 3200 32 3200 3700 25 3700 4200 18 4200 4700 14 součet 153 V pořadí podle velikosti je harmonický průměr, aritmetický průměr a kvadratický průměr Úloha č. 4 - Harmonický versus aritmetický průměr (a): Zvolte druh průměru odpovídající datům a vypočtěte ho. Průměrovaná veličina je zisková marže v % (100*zisk/tržba). Vahou je zisk v tis. Kč. Zisková marže (%) Zisk (tis. Kč) 20 213 17 398 40 221 29 388 Průměrná hodnota stanovená harmonickým průměrem je. 2
Úloha č. 5 - Harmonický versus aritmetický průměr (b): Vypočtěte průměrnou hodnotu. Použijte harmonický průměr. Průměrovaná veličina je hustota obyvatelstva (počet obyvatel/1 km 2 ). Dále znáte plochu územních celků v tis. km 2. Hustota obyvatelstva (obyv./km 2 ) Plocha km 2 82 80 294 91 204 111 Průměrná hodnota stanovená harmonický průměrem je obyv./km 2. Úloha č. 6 - Odchylky od mediánu (netříděná data): Vypočtěte průměrnou odchylku od mediánu v absolutním a relativním vyjádření v datovém souboru netříděných dat. Data: 127, 81, 80, 156, 81, 121, 92, 95, 128, 143, 110, 83, 83, 92 Průměrná absolutní odchylka od mediánu je, v relativním vyjádření. Úloha č. 7 - Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient (netříděná data): Vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient z netříděných dat. Data: 817, 245, 176, 463, 696, 396, 725, 762, 145, 111, 663, 581, 762, 206, 642, 239, 765, 672 Rozptyl je roven, směrodatná odchylka je, variační koeficient je. 3
Úloha č. 8 - Rozptyl z obecných momentů (netříděná data): S využitím vztahů mezi obecnými a centrálními momenty vypočtěte rozptyl z netříděných dat. Data: 834, 354, 713, 996, 529, 398, 360, 659, 213, 160, 282, 642, 400, 371, 157, 662, 373, 180, 660, 321 Rozptyl s využitím vztahů mezi obecnými a centrálními momenty je Úloha č. 9 - Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient (intervalově tříděná data): Vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient z dat tříděných intervalovým tříděním. interval četnost 100 500 7 500 900 13 900 1300 22 1300 1700 24 1700 2100 24 2100 2500 29 2500 2900 26 2900 3300 5 součet 150 Rozptyl je roven, směrodatná odchylka a variační koeficient 4
Úloha č. 10 - Výpočet společného aritmetického průměru a rozptylu: Vypočtěte společný aritmetický průměr a společný rozptyl pro dílčí soubory v tabulce. Dílčí soubor 1 2 3 4 5 Rozsah dílčího souboru 55 33 61 55 37 Dílčí aritmetický průměr 211 55 55 506 506 Dílčí rozptyl 8029 6228 6912 8029 7078 Společný průměr je roven. Průměrný rozptyl uvnitř dílčích souborů je roven. Rozptyl mezi dílčími soubory je roven. Společný rozptyl je roven. Úloha č. 11 - Asymetrie pomocí Pearsonovy míry šikmosti (intervalově tříděná data): Změřte asymetrii pomocí Pearsonovy míry šikmosti. interval četnost 4000 5000 35 5000 6000 62 6000 7000 39 7000 8000 15 8000 9000 17 9000 10000 24 10000 11000 14 součet 206 Pearsonova míra šikmosti je 5
Úloha č. 12 - Momentový koeficient špičatosti (intervalově tříděná data): Změřte špičatost pomocí momentové míry špičatosti v datovém souboru tříděném intervalovým tříděním. interval četnost 30 45 9 45 60 14 60 75 56 75 90 39 90 105 9 105 120 3 součet 130 Momentový koeficient špičatosti je 6
Úloha č. 13 - Reakce charakteristik na lineární transformaci hodnot znaku: Mezi znaky je vztah. Vybrané charakteristiky znaku jsou uvedeny v tabulce. Vypočtěte charakteristiky pro znak. Charakteristika Hodnota Aritmetický průměr 538 Medián 522 Modus 511 Rozpětí kvartilů 183 Průměrná absolutní odchylka od mediánu(absolutní vyjádření) 93 Průměrná absolutní odchylka od mediánu(relativní vyjádření) 17.29 Rozptyl 12544 Směrodatná odchylka 112 Variační koeficient 20.82 Pearsonova míra šikmosti 0.211 Momentová míra šikmosti 0.187 Momentová míra špičatosti -0.128 Výsledky: 398.5, 386.5, 378.25, 137.25, 69.75, 17.50 %, 7056, 84, 21.08 %, 0.211, 0.187, -0.128 7
Postup řešení úloh (úlohy mají jiné zadání) Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Najdeme řádek s největší četností a varianta na tomto řádku je typická hodnota (modus). Vypočteme součtové relativní četnosti hodnota, pro kterou je poprvé překročeno číslo.. Příslušným kvantilem je ta Varianta Četnost 0 2 3.28 1 11 21.31 2 11 39.34 3 16 65.57 4 18 95.08 5 3 100.00 Kvantily: 60% kvantilem je hodnota 3 a 95% kvantilem je hodnota 4. 8
Úloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota (intervalově tříděná data): Určíme relativní a kumulativní četnosti intervalů. Interval četnost 1400 1800 6 3.11 3.11 1800 2200 12 6.22 9.33 2200 2600 24 12.44 21.77 2600 3000 19 9.84 31.61 3000 3400 20 10.36 41.97 3400 3800 20 10.36 52.33 3800 4200 59 30.57 82.9 4200 4600 19 9.84 92.74 4600 5000 14 7.25 99.99 součet 193 99.99 Interval, který obsahuje největší relativní četnost, je 3800 4200. Vypočteme v tomto intervalu typickou hodnotu Dále je patrné, že v intervalu 3800 4200 je poprvé překročena kumulativní četnost 75 %. V tomto intervalu se nachází příslušný kvantil. 9
Úloha č. 3 - Mocninové průměry (intervalově tříděná data) : interval četnost 1200 1700 7 1700 2200 20 2200 2700 37 2700 3200 32 3200 3700 25 3700 4200 18 4200 4700 14 součet 153 Vážený součet Vážený součet převrácených hodnot: Vážený součet čtverců: Aritmetický průměr: Harmonický průměr: Kvadratický průměr: 10
Úloha č. 4 - Harmonický versus aritmetický průměr (a): Zisková marže (%) Zisk (tis. Kč) 20 213 10.65 17 398 23.41 40 221 5.53 29 388 13.38 součet 1220 52.97 Vážený harmonický průměr: Úloha č. 5 - Harmonický versus aritmetický průměr (b): Hustota obyvatelstva (obyv./km 2 ) Plocha km 2 Váha 82 80 6560 80 294 91 26754 91 204 111 22644 111 součet 55958 282 Vážený harmonický průměr: 11
Úloha č. 6 - Odchylky od mediánu (netříděná data): 80 80 5.56 100.00 10.5 138 80 11.11 94.44 10.5 102 80 16.67 88.89 10.5 80 80 22.22 83.33 10.5 90 80 27.78 77.78 10.5 81 81 33.33 72.22 9.5 185 84 38.89 66.67 6.5 117 85 44.44 61.11 5.5 80 90 50.00 55.56 0.5 80 91 55.56 50.00 0.5 84 99 61.11 44.44 8.5 99 102 66.67 38.89 11.5 119 117 72.22 33.33 26.5 91 119 77.78 27.78 28.5 221 138 83.33 22.22 47.5 186 185 88.89 16.67 94.5 85 186 94.44 11.11 95.5 80 221 100.00 5.56 130.5 součet 1998 518 Definici mediánu vyhovuje hodnota: Aritmetický průměr: Průměrná absolutní odchylka od mediánu: Průměrná absolutní odchylka v relativním vyjádření: 12
Úloha č. 7 - Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient (netříděná data): 392-91.31 8337.52 344-139.31 19407.28 869 385.69 148756.78 120-363.31 131994.16 110-373.31 139360.36 756 272.69 74359.84 303-180.31 32511.70 159-324.31 105176.98 125-358.31 128386.06 782 298.69 89215.72 484 0.69 0.48 855 371.69 138153.46 984 500.69 250690.48 6283 1266350.82 Aritmetický průměr: Rozptyl: Směrodatná odchylka: Variační koeficient: 13
Úloha č. 8 - Rozptyl z obecných momentů (netříděná data): 171 29241 186 34596 330 108900 613 375769 877 769129 882 777924 911 829921 446 198916 100 10000 155 24025 800 640000 103 10609 109 11881 524 274576 262 68644 384 147456 6853 4311587 První obecný moment: Druhý obecný moment: Druhý centrální moment (rozptyl): 14
Úloha č. 9 - Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient (intervalově tříděná data): interval četnost 100 500 11 300 3300 2228720.55 24515926.07 500 900 23 700 16100 1194408.55 27471396.70 900 1300 23 1100 25300 480096.55 11042220.70 1300 1700 51 1500 76500 85784.55 4375012.16 1700 2100 43 1900 81700 11472.55 493319.74 2100 2500 40 2300 92000 257160.55 10286422.08 2500 2900 38 2700 102600 822848.55 31268244.98 2900 3300 10 3100 31000 1708536.55 17085365.52 součet 239 428500 126537907.95 Aritmetický průměr: Rozptyl: Směrodatná odchylka: Variační koeficient: 15
Úloha č. 10 - Výpočet společného aritmetického průměru a rozptylu: Dílčí soubor 1 2 3 4 5 Rozsah dílčího souboru 55 33 61 55 37 Dílčí aritmetický průměr 211 55 55 506 506 Dílčí rozptyl 8029 6228 6912 8029 7078 Společný průměr: Průměrný rozptyl uvnitř dílčích souborů: Rozptyl mezi dílčími soubory: Společný rozptyl: 16
Úloha č. 11 - Asymetrie pomocí Pearsonovy míry šikmosti (intervalově tříděná data): interval četnost 4000 5000 27 4500 121500-2157.14 4653252.98 125637830.46 5000 6000 34 5500 187000-1157.14 1338972.98 45525081.32 6000 7000 33 6500 214500-157.14 24692.98 814868.34 7000 8000 14 7500 105000 842.86 710412.98 9945781.72 8000 9000 10 8500 85000 1842.86 3396132.98 33961329.8 9000 10000 12 9500 114000 2842.86 8081852.98 96982235.76 10000 11000 10 10500 105000 3842.86 14767572.98 147675729.8 součet 140 932000 460542857.2 Aritmetický průměr: Modus: Směrodatná odchylka: Pearsonova míra šikmosti: 17
Úloha č. 12 - Momentový koeficient špičatosti (intervalově tříděná data): interval četnost 30 45 38 37.5-1.32 3.036 115.368 45 60 58 52.5-0.61 0.138 8.004 60 75 50 67.5 0.10 0.000 0.000 75 90 28 82.5 0.82 0.452 12.656 90 105 26 97.5 1.53 5.480 142.480 105 120 8 112.5 2.24 25.176 201.408 součet 208 x x x 479.916 Aritmetický průměr: Směrodatná odchylka: Normování: Koeficient špičatosti: 18
Úloha č. 13 - Reakce charakteristik na lineární transformaci hodnot znaku: Dosazení do vzorců: 100d d k d x0. 5 100 = kx + y0. 5 y = 0. 5 y 0. 5 a 100 100v y sy k sx = 100 = 100 y k x + a 19