M ATERIÁLOVÉ MODELY PRO ČASOVĚ ZÁVISLOU ANALÝZU

M ATERIÁLOVÉ MODELY PRO ČASOVĚ ZÁVISLOU ANALÝZU B E T O N O V Ý C H K O N S T R U K C Í MATERIAL MODELS F O R T I M E- D E P E N D E N T ANALYSIS OF CONCRETE S T R U C T U R E S O MAR RODRIGO BACARREZA, J AN ZATLOUKAL, PETR KONVALINKA V příspěvku jsou rozebírány materiálové moely pro časově závislou analýzu betonových konstrukcí. Zmíněny a násleně vzájemně porovnány jsou materiálové moely pro smršťování a otvarování z přepisu CEB-FIP Moel Coe 1990, jeho revize z roku 1999 a Bažantův moel B3. Material moels for time-epenent analysis of concrete structures are iscusse. Creep an shrinkage moels in the CEB-FIP Moel Coe 1990, its 1999 upate an Bažant s B3 moel are reviewe an then compare. Napětí a eformace konstrukcí z železobetonu a přepjatého betonu se mění v čase v louhoobém měřítku, v němž se projeví účinky otvarování a smršťování. Při analýze časově závislých napětí a eformací je třeba zavést časové funkce pro příslušné materiály. V tomto článku uvažujme beton jako stárnoucí lineárně viskoelastický materiál, jehož moul pružnosti se s časem zvyšuje. Vnesení napětí o betonu vyvolá okamžitou eformaci: je-li napětí uržováno, eformace se bue v čase stále zvětšovat v ůsleku otvarování. Na otvarování lze také pohlížet i z jiného úhlu: je-li betonové těleso zatíženo v čase konstantní eformací, otvarování se v čase projeví jako postupný pokles napětí. Rozlišit mezi okamžitou pružnou eformací a počátečním otvarováním je obtížné, ale toto rozlišení nemá praktický význam, protože rozhoující je celková eformace, vyvolaná vnesením zatížení. Velikost okamžité eformace a eformace způsobené otvarováním závisí na stáří betonu při vnesení zatížení a élce oby jeho působení. Ostatní parametry ovlivňující velikost eformace při otvarování i smršťování jsou závislé na kvalitě betonu, okolním prostřeí, tvaru zkoumaného betonového prvku, vlivu poměru velikosti napětí a pevnosti materiálu a teplotě. M ODUL PRUŽNOSTI Moul pružnosti je vstupní parametr při výpočtu funkce poajnosti při otvarování. Je efinován jako tečný moul pružnosti na počátku pracovního iagramu a může být ohanut ze stření honoty válcové pevnosti a stáří betonu. Tečný moul je přibližně roven sečnému moulu při otěžování, který je obvykle měřen při zkouškách. Kromě pevnosti betonu moul pružnosti závisí také na ruhu použitého kameniva, pomínkách při ošetřování betonu a metoice zkoušení. Tyto faktory se poté zásaně poílí na velkém rozptylu experimentálně zjištěných honot moulu pružnosti proti pevnosti betonu. Obecně se má za to, že pro časově závislou analýzu konstrukcí nehraje roli přesná velikost pružné a trvalé eformace, poku jejich součet ává správnou honotu. Jinými slovy, funkce poajnosti J je při stuiu otvarování mnohem ůležitější než samostatný moul pružnosti E a součinitel otvarování φ. Stanovení funkce poajnosti také ostraňuje riziko zkombinování rozměrově si neopovíajících honot moulu pružnosti a součinitele otvarování. Pro velké stavby se oporučuje krátkoobý test otvarování. Při ůklaném a přesném proveení může ostatečně přesné výsleky pro ověření teoretické funkce poajnosti poskytnout i test s obou trvání zatížení pouhé va ny [1]. CEB-FIP MODEL CODE 1990 Vztahy ze uveené ovoili Müller a Hilsorf [2] a byly publikovány ve finální verzi přepisu CEB-FIP Moel Coe 1990 [3]. Moel je založen na lineární aproximaci jenotlivých ílčích součinitelů bez separace o časově závislých složek eformace, a ukazuje se jenoušší než součtový moel. Moel je platný pro betony normálních hutností o tříy pevnosti C80, vystavené prostřeí s průměrnou relativní vlhkostí v rozmezí 40 až 100 %. V obě vzniku přepisu ještě nebyly etailně prozkoumány vlastnosti betonů pevností vyšších než 50 MPa, proto je při jeho užití v této oblasti pevností třeba postupovat s opatrností. Vztah mezi celkovou eformací, vyvolanou účinky napětí, a napětím popisuje funkce poajnosti, efinovaná jako: ( )= ( ) + ϕ ( ), (1) ke φ (t,t 0 ) je součinitel otvarování (viz vztah (2), t stáří betonu, t 0 stáří betonu při vnesení zatížení, E c moul pružnosti betonu ve stáří 28 ní, E c (t 0 ) moul pružnosti betonu v okamžiku vnesení zatížení t 0. Součinitel otvarování je ohanut ze vztahu ϕ( )= ϕ β ( ), (2) ke φ 0 je záklaní součinitel otvarování, β c (t-t 0 ) časová funkce, popisující vývoj otvarování v čase. Časová funkce β c (t-t 0 ) se asymptoticky blíží k nenulové koncové honotě. Znamená to, že i poajnost při otvarování se v čase blíží konečné honotě. Za tato konečná honota pro otvarování skutečně existuje, je stále otázkou oborných iskuzí. Z praktického hleiska má však pouze malý význam. Při obě trvání zatížení semesát let se rychlost otvarování stává velmi nízkou a je nepravěpoobné, že by se po této obě objevil výraznější nárůst otvarování. Časová funkce navíc bere v úvahu i velikost betonového prvku jako vstupní parametr pro ifuzní jevy, a to tím způsobem, že s rostoucí tloušťkou prvku klesá honota záklaního součinitele otvarování φ 0. Příjemnou vlastností tohoto moelu otvarování je to, že jako vstupní parametry jsou voleny veličiny snano ostupné projektantovi i v raných fázích návrhu konstrukce: průměrná pevnost betonu v tlaku, stáří betonu při vnesení zatížení, velikost betonového prvku (charakteristický rozměr), relativní vlhkost okolního prostřeí a typ cementu. 57

Vliv pevnosti betonu na záklaní součinitel otvarování je potenciálním zrojem velké části chyb v preikci otvarování [2], [3]. nezávisí přímo na pevnosti betonu, ale přeevším na jeho složení. Obecně platí, že čím větší množství cementu nebo čím vyšší voní součinitel, tím je větší i otvarování. Protože betony vyšších pevností mají obvykle nižší honotu voního součinitele a vyšší obsah cementu a vykazují nižší míru otvarování, je vonímu součiniteli přisuzována větší váha. Tento vztah vyplývá z pozorovaného trenu ostupných experimentálních měření. Přepis CEB-FIP Moel Coe 1990 nerozlišuje mezi složkami otvarování, jako je záklaní otvarování a otvarování vyvolané vysycháním. Vliv stáří betonu při vnesení zatížení na záklaní součinitel otvarování je án hyperbolickou funkcí, která poskytuje obrý oha vlivu stáří betonu i pro Obr. 1 Poajnost při otvarování u rozílných moelů Fig. 1 Creep compliance given by ifferent moels Obr. 2 Vývoj smršťování u rozílných moelů Fig. 2 Shrinkage evelopment given by ifferent moels Obr. 3 Autogenní smršťování a smršťování způsobené vysycháním u betonu běžné pevnosti a betonu vysokopevnostního, pole moelu MC90(99) Fig. 3 Autogenous shrinkage an rying shrinkage components in NSC an HPC as given by the MC90(99) moel vysoká stáří betonu, poku pře vnesením zatížení neoje k výrazné ztrátě vlhkosti z betonu. Tento přepokla je splněn u masivních betonových prvků ve vlhkém prostřeí. U štíhlých prvků zabuovaných v suchém prostřeí tento moel nahonocuje velikost otvarování, poku je zatížení vneseno louho po začátku vysychání. Tento neostatek by bylo možno ostranit pouze poku by bylo celkové otvarování možno rozělit o složek záklaního otvarování a otvarování vyvolaného vysycháním. Nástup účinků otvarování se v čase opožďuje se zvětšováním rozměrů betonového prvku a s rostoucí relativní vlhkosti okolního prostřeí. Deformace o smrštění (nebo rozpínání) se vypočte jako ε ( )= ε β ( ), (3) ke ε cs0 je záklaní součinitel smršťování, β s (t-t s ) časová funkce popisující vývoj smršťování v čase, t s stáří betonu v okamžiku počátku vysychání. Uveená časová funkce splňuje záklaní princip ifúzní teorie. Doba potřebná k vyschnutí na určitou průměrnou honotu v průřezu je přímo úměrná ruhé mocnině charakteristického rozměru prvku. Její honota se také asymptoticky blíží konečné honotě. Poobně jako u otvarování, smršťování nezávisí na pevnosti betonu jako takové, ale spíše na velikosti voního součinitele a obsahu cementu. Známý vztah mezi těmito veličinami však nabízí jenouchý a praktický způsob, jak ohanout smršťování z pevnosti betonu. Časová funkce je efinována tak, že její asymptotická honota není v tlustých průřezech osažena ani po louhé obě vysychání (třicet let). Přepokla existence konečné honoty smrštění, nezávislé na velikosti prvku, je s největší pravěpoobností teoreticky správný. Protože však v praxi její osažení může u masivních prvků trvat i stovky let, je rozumné pro praktické výpočty uvažovat, že konečná honota smrštění závisí na velikosti prvku. Je také třeba připomenout, že časově závislá funkce je značně nejistá pro průřezy s charakteristickým rozměrem větším než 500 mm. Je to áno neostatečnou experimentální znalostí smršťování masivních průřezů při louhých obách vysychání. Velikost betonového prvku neovlivňuje celkovou konečnou velikost smrštění, ale pouze průběh smršťování v čase. R EVIZE PŘEDPISU CEB-FIP M ODEL CODE 1990 Z ROKU 1999 Moel byl publikován v bulletinu fib Structural Concrete [4]. Primárním účelem revize bylo vylepšení preikčního moelu pro vysokopevnostní betony a rozšíření platnosti moelu na betony vysokohonotné. Aktualizovaný moel otvarování byl publikován již v přepisu Eurocoe 2 [5]. Je velice blízký moelu CEB-FIP Moel Coe 1990, ale oproti půvonímu přibyla trojice na pevnosti závislých součinitelů. V tomto článku na něj bueme okazovat jako na moel MC90(99). Zásaní změnu přestavuje moel smršťování. Celkové smrštění je rozěleno na složky autogenního smrštění a smrštění vyvolaného vysycháním. Poajnost při otvarování [10-6 ] Poajnost při otvarování [10-6 ] 1a Doba trvání zatížení [] 1b Doba trvání zatížení [] 58

Rozšířený moel je platný jak pro betony obvyklých pevností, tak pro vysokohonotné betony až o válcové pevnosti v tlaku 120 MPa. Do moelu MC90 byla oplněna trojice součinitelů. Tyto součinitele jsou funkcemi průměrné válcové pevnosti betonu; součinitele α 1 a α 2 ovlivňují záklaní součinitel otvarování, ke součinitel α 2 má význam faktoru ovlivňujícího záklaní otvarování a součin α 1 a α 2 je vyjářením faktoru ovlivňujícího otvarování způsobené vysycháním. Součinitel α 3 ovlivňuje honoty časově závislé funkce. Změněno je stanovení záklaního součinitele otvarování, obzvláště je změna patrná pro betony velmi vysokých pevností. Reukce je oproti moelu MC90 asi 11 až 18 % pro beton s průměrnou válcovou pevností 55 MPa a asi 15 až 23 % pro beton s průměrnou válcovou pevností 65 MPa. Změna časově závislé funkce je mírná, s rostoucí pevností betonu se lehce zvyšuje rychlost účinků otvarování v čase. V moelu MC90(99) je celkové smrštění rozěleno na složku autogenního smrštění a složku smrštění vyvolanou vysycháním. Díky tomuto přístupu bylo možné formulovat moel, který je platný jak pro betony obvyklých pevností, tak pro betony vysokopevnostní až o průměrné válcové pevnosti 120 MPa. Celková eformace při smrštění se vypočte jako ε ( )= ε ()+ ε ( ), (4) ke ε ε ( )= ε ( )= ε ( ) β () ( ) β β ( ) (5a,5b) ke ε cs (t,t s ) je celková eformace při smrštění v čase t, ε cas (t) autogenní smrštění v čase t, ε cs (t,t s ) smrštění vyvolané vysycháním v čase t, ε cas0 (f cm ) záklaní součinitel autogenního smršťování, β as (t) časově závislá funkce autogenního smršťování, ε cs0 (f cm ) záklaní součinitel smršťování vyvolaného vysycháním, β RH součinitel beroucí o úvahy relativní vlhkost prostřeí při smršťování vyvolaném vysycháním, β s (t-t s ) časově závislá funkce pro smršťování vyvolané vysycháním, t s je stáří betonu v okamžiku počátku vysychání. M ODEL B3 Tento moel není založen na stejných principech jako přechozí moely zmíněné v tomto článku; jeho formulace je unikátní a poměrně komplexní. Moel B3 vyžauje znalost více parametrů a proveení více výpočtů než moely přechozí. Preikční moel B3 [6], [7] a [8] je poslení variantou v řaě preikčních meto pro otvarování a smršťování, vyvinutých profesorem Bažantem a jeho spolupracovníky [9], [10], [11] Smrštění [10-6 ] Smrštění [10-6 ] 2a Doba vysychání [] 2b Doba vysychání [] Smrštění [10-6 ] Začátek vysychání Vysychání Autogenní Smrštění [10-6 ] Začátek vysychání Autogenní Vysychání 3a Stáří betonu [] 3b Stáří betonu [] 59

a [12] na Northwestern University. Jeho použití je omezeno na oblast provozních napětí (nebo o přibližně 0,45 f cm, ke f cm je průměrná válcová pevnost ve stáří betonu 28 ní). Pro konstantní napětí působící o okamžiku t ε ( )= ( ʹ)σ + ε ( )+αδ (), (6) ke ε(t) je poměrné přetvoření, J(t,t ) funkce poajnosti = eformace (otvarování plus pružná) v čase t způsobená jenotkovým jenoosým napětím, působícím o okamžiku t, σ jenoosé napětí, ε sh (t) eformace o smrštění (záporná honota při zmenšení objemu), ΔT(t) změna teploty oproti referenční honotě v čase t, α součinitel teplotní roztažnosti. Důležitou vlastností moelu B3 pro otvarování je to, že funkce poajnosti je složena ze složky okamžité pružné oezvy, složky funkce poajnosti pro záklaní otvarování a alší složky funkce poajnosti pro otvarování vyvolané vysycháním. Funkce poajnosti při otvarování se zapíše jako ( ʹ)= + ( ʹ)+ ( ʹ ), (7) ke q 1 je okamžitá eformace vyvolaná jenotkovým napětím, C 0 (t, t ) funkce poajnosti záklaního otvarování (otvarování při konstantním obsahu vlhkosti, bez transportu vlhkosti materiálem), C (t, t, t 0 ) alší funkce poajnosti pro otvarování způsobené současným vysycháním, t stáří betonu, t stáří betonu v okamžiku vnesení zatížení, t 0 stáří betonu v okamžiku počátku vysychání. Na rozíl o moelu MC90, poajnost při otvarování se v moelu B3 nepřibližuje konečné honotě, ale s časem roste nae všechny meze. Funkce poajnosti pro otvarování způsobené vysycháním obsahuje konečnou honotu, protože je vztažena k procesu výměny vlhkosti mezi betonem a okolní prostřeím, který ustane po osažení rovnovážného stavu. Moel B3 bere v úvahu přímo vliv materiálového složení betonu. Kromě vstupních parametrů, uvažovaných i v přechozích zmíněných moelech, jsou brány o úvahy obsah cementu, honota voního součinitele, poměr cementu a kameniva a obsah voy. Moel B3 je považován za velmi sofistikovaný, ale občas trochu těžkopáný, právě kvůli potřebné znalosti mnoha parametrů, které často nejsou v počátcích návrhu projektantovi ostupné. Výpočetní náročnost moelu je také poměrně vysoká, naštěstí je jeho softwarová implementace snaná. Přímo v popisu moelu je obsažen vztah pro výpočet funkce poajnosti záklaního otvarování jako funkce rychlosti otvarování. Průměrné smrštění v průřezu se vypočte le násleujícího vztahu: ε ( )= ε ( ), (8) ke ε sh je konečné smrštění, k RH faktor závislý na relativní vlhkosti, S(t) časová závislost. N EJISTOTY V PREDIKCI DOTVAROVÁNÍ A SMRŠŤOVÁNÍ Důležitou a bohužel často opomíjenou vlastností preikčních moelů pro otvarování a smršťování je přepokláaná chyba preikce. a smršťování jsou jeny z nejvíce nejistých mechanických vlastností betonu. Teoretické moely preikují pouze nejvýraznější tenence, vypozorované z ostupných experimentálních at. V kažé jenotlivé konkrétní preikci může být vliv libovolného vstupního parametru nahonocen nebo pohonocen. Poajnost při otvarování a eformace o smrštění proto můžeme považovat za náhoné proměnné. Proto je vele jejich stření honoty ůležitým parametrem i jejich rozptyl. Rozptyl honot může být charakterizován variačním součinitelem preikce (poměr směroatné ochylky a stření honoty). Doložené honoty variačního součinitele pro moely otvarování a smršťování CEB- FIP Moel Coe 1990 a B3 jsou uveeny v tab. 1. Stojí jistě za zmínku, že menší honota variačního součinitele ještě nutně neznamená, že je jeen moel přesnější než ruhý a naopak. Závisí totiž na rozsahu experimentálního souboru at, z něhož byl moel ovozen a ajustován a z něhož byl také vypočten variační součinitel. Honoty variačního součinitele v tab. 1 reprezentují stření honoty variačních součinitelů vypočtených na záklaě všech proveených experimentů během celé oby zatížení a vysychání. Charakterizují průměrnou chybu preikční metoy [2] pro moel MC90 a variační součinitel BP [9] pro moel B3. P OROVNÁNÍ MODELŮ DOTVAROVÁNÍ A SMRŠŤOVÁNÍ Přestavované materiálové moely byly porobeny parametrické stuii, zahrnující několik charakteristických souborů pomínek a poté porovnány. Porovnání výsleků otvarování je ůležité hlavně mezi moelem CEB-FIP Moel Coe 1990 a moelem B3. Moel MC90(99) je velice blízký formulaci moelu MC90. Obecně lze říci, že shoa mezi jenotlivými moely je ostatečně obrá, poku jsou vstupní parametry v rozsahu běžných laboratorních honot. Na ruhou stranu zase platí, že největší rozíly mezi moely se vyskytují v oblastech chybějících experimentálních měření a jakákoli preikce má proto nutně charakter extrapolace. Jená se přeevším o betony vysokých pevností, vysychání mohutných prvků a velmi louhé oby zatěžování. Vliv vysoké pevnosti betonu je zachycen na obr. 1. Křivky vykazují obrou shou pro betony běžných pevností, ale rozíly se výrazně zvyšují u betonů vysokých pevností. Při louhých obách zatěžování je rozíl velmi výrazný, poku je bráno v úvahu vysychání masivních prvků. Dlouhoobý rozíl je o něco menší u menších konstrukčních prvků a při vyšší vlhkosti okolního prostřeí. Moel B3 obecně souhlasí s ostatními moely až o oby trvání zatížení 100 až 1 000. Při elších obách zatěžování se rozíl neustále zvětšuje, protože v moelu B3 pokračuje otvarování o nekonečna, kežto u ostatních moelů se křivky otvarování asymptoticky blíží konečné honotě. Z křivek otvarování, lišících se okamžikem vnesení zatížení, se á také vypozorovat, že stáří betonu při vnesení zatížení má u moelu B3 větší vliv na otvarování. Tab. 1 Variační součinitel [%] Tab. 1 Coeficient of variation [%] Poajnost moelu CEB-FIP MC90 20 35 Moel B3 23 34 60

Literatura: [1] RILEM, TC107. (1995). Guielines for characterizing concrete creep an shrinkage in structural esign coes or recommenations. Materials an Structures, V28(1), str. 52 55 [2] Muller H. S., Hilsorf H. K.: (1990). Bulletin information no. 199 Evaluation of the time epenent behavior of concrete: summary report on the work of General Task Group 9. Lausanne: Comité Euro-International u Béton (CEB) [3] CEB (1993). CEB-FIP moel coe 1990: esign coe. Lonon: Telfor. [4] fib (1999). Structural concrete: textbook on behaviour, esign an performance: upate knowlege of the CEB/FIP moel coe 1990. Vol. 2, Basis of esign. Lausanne: International Feeration for Structural Concrete (fib) [5] [pren 1992-1-1] Eurocoe 2: Design of concrete structures Part 1-1: General rules an rules for builings, (1999) [6] Bažant Z. P., Baweja S.: (1995a). Creep an Shrinkage preiction moel for analysis an esign of concrete structures Moel B3. Materials an Structures, V28(7), str. 357 365 [7] Bažant Z. P., Baweja S.: (1995b). Justification an refinements of moel B3 for concrete creep an shrinkage 1. statistics an sensitivity. Materials an Structures, V28(7), str. 415 430 [8] Bažant Z. P., Baweja S.: (1995c). Justification an refinements of moel B3 for concrete creep an shrinkage 2. Upating an theoretical basis. Materials an Structures, V28(8), str. 488 495 [9] Bažant Z. P., Panula L.: (1978). Practical preiction of time-epenent eformations of concrete Parts I IV. Materials an Structures 11, str. 307 316, str. 317 328, str. 415 424, str. 424 434 [10] Bažant Z. P., Panula L.: (1979). Practical preiction of time-epenent eformations of concrete Parts V VI. Materials an Structures 12, str. 169 174, str. 176 183 [11] Bažant Z. P., Kim J.-K., Panula L., Xi Y.: (1991). Improve preiction moel for time-epenent eformations of concrete: Part I II. Materials an Structures, 24, str. 327 345; str. 409 442 [12] Bažant Z. P., Kim J.-K., Panula L., Xi Y.: (1992). Improve preiction moel for time-epenent eformations of concrete: Part III VI. Materials an Structures, 25, str. 21 28, str. 84 94, str. 163 169, str. 219 223 Příklay preikce smršťovacích křivek jsou znázorněny v obr. 2. Je viět velmi obrá shoa vývoje smršťování u betonů běžných pevností, zatímco u betonů vysokopevnostních se objeví výrazná ochylka u moelu MC90(99), který bere v úvahu autogenní smršťování, zatímco ostatní moely uvažují smršťování jako ěj způsobený primárně ztrátou vlhkosti betonu. Tento rozíl se zvětšuje, poku se snižuje význam smršťování způsobeného vysycháním a klesá i jeho rychlost (tj. u masivních prvků ve vlhkém prostřeí). pole moelu MC90(99) je zobrazeno v obr. 3. Složky autogenního smršťování a smršťování způsobeného vysycháním jsou zobrazeny oěleně pro beton běžné pevnosti a vysokopevnostní beton. Je zajímavé, že celkové smrštění po semesáti letech je přibližně stejné jak pro beton běžné pevnosti, tak pro vysokopevnostní. Pro výpočet složky smršťování způsobené vysycháním používá moel MC90(99) velmi poobný přístup jako starší MC90. Pro autogenní smršťování byl u tohoto moelu vyvinut nový postup. Tato práce vznikla za finanční popory Grantové agentury České republiky, projekt č.: 103/06/1474. Text článku byl posouzen oborným lektorem. Ing. Omar Rorigo Bacarreza Jan Zatloukal e-mail: jan.zatloukal@fsv.cvut.cz Prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. e-mail: petr.konvalinka@fsv.cvut.cz všichni: ČVUT Fakulta stavební Katera mechaniky Thákurova 7, 166 29 Praha 6 Statika štíhlých ŽB sloupů s návrhem na požární oolnost Statické výpočty a hospoárné navrhování železobetonových sloupů pole evropských norem EN 1992-1-1 vee na materiálově a geometricky nelineární výpočet s teorií II. řáu. Referenční software RIB BEST splňuje nejen tyto náročné požaavky, ale nově rozšiřuje svoje aplikační spektrum o navrhování sloupů pro mimořáné návrhové situace, seizmicitu nebo požár. Požární oolnost běžných sloupů lze stanarně ověřit např. tabelární metoou. Pro neztužené a štíhlé sloupy nabízí BEST funkční rozšíření o návrh zónovou metoou ve smyslu normy EN 1992-1-2. Více porobností se ozvíte na: www.rib.cz RIB stavební software s.r.o. Zelený pruh 1560/99 CZ-140 00 Praha 4 telefon: +420 241 442 078 telefax: +420 241 442 085 e-mail: info@rib.cz 61