Metody teorie spolehlivosti

Transkript

1 Metoy teorie spolehlivosti Historické metoy mpirické metoy Kalibrace Pravěpoobnostní metoy FOM úroveň II AKTNÍ úroveň III Kalibrace MTOD NÁVH. BODŮ Kalibrace MTODA DÍLČÍCH SOUČINITLŮ úroveň I

2 Nejistoty stavebních systémů Nejistoty Možnost popisu - Náhonosti - přirozená proměnlivost - Statistické nejistoty - neostatek at - Moelové nejistoty -Neurčitosti - nepřesnosti efinic - Hrubé chyby - liský činitel - Neznalosti - nové materiály a pomínky Nástroje - teorie pravěpoobnosti a fuzzy množin - matematická statistika Některé nejistoty je obtížné kvantifikovat

3 MZ PŮTAŽNOSTI elative requency 0.00 Density Plot (Shifte Lognormal) - [A1_79] iel strength [MPa]

4 Pravěpoobnostní metoa-úroveň III Zatížení - náhoné veličiny F Vlastnosti materiálů - náhoné veličiny f ozměry - náhoné veličiny a P f < Pf,t ; β > β t -1 ( f β = Φ N P ) Neostatky - neostatek representativních at umožňujících efinice příslušných teoretických moelů

5 Pravěpoobnost poruchy Záklaní veličiny: zatížení, vlastnosti materiálů, rozměry Funkce mezního stavu: g(), g() < 0 porucha, g() > 0příznivý stav Pravěpoobnost poruchy P f a spolehlivost P s P f = 1 P = Prob{ g( ) < 0} = ϕ s g( ) < 0 Neostatky: - efinice funkce g(x) - stanovení směrné honoty P target - efinice teoretických moelů pro - neostatečný zřetel k náslekům poruch ( )

6 Záklaní úloha teorie spolehlivosti 1 Zatížení známé, oolnost náhoná:, Inex spolehlivosti: β = ( ) / ϕ G ( x) Pravěpo. poruchy Spolehlivost β

7 Záklaní úloha teorie spolehlivosti Zatížení náhoné,, oolnost známá Inex spolehlivosti: β = ( ) / ϕ G x ( ) Spolehlivost Pravěpo. poruchy β

8 eserva spolehlivosti: G = - Inex spolehlivosti pro normální rozělení: =, = + G G ϕ G β = ( x) G G = 1/ ( + ) Pravěpo. poruchy Spolehlivost 0 β G G

9 Pravěpoobnost poruchy p f = P{ > } 1.0 ( ) ( ) p = ϕ x Φ x x f ϕ ( x) Gamma, Gumbel ϕ ( x) Lognormal, Normal ACTION SISTANC x

10 Metoy výpočtu Metoy výpočtu pravěpoobnosti P f : - exaktní analytická metoa (výjimečně) - numerické metoy integrace (pro malý počet záklaních veličin, MATLAB, MATHCAD) -přibližné metoy (MVFO, FOM, SOM, moments) -simulační metoy (přímé, hrubé, metoy Monte Carlo, importance a aaptive sampling) Softarové proukty využívají většinou přibližné metoy (FOM, SOM) a simulační metoy (Monte Carlo) - VaP (FOM, moments, irect Monte Carlo) - STUL (MVFO, FOM, SOM, Monte Carlo) -- COML (COMponent Liability) -- SSL (SStem Liability)

11 Metoa FOM (1) Transformace záklaních veličin na normované náhoné veličiny U () Transformace funkce mezního stavu g() na g U (U) () Aproximace funkce g U (U) tečnou v návrhovém boě U * (4) Pravěpoobnost poruchy P f = Φ( β), ke β je vzálenost návrhového bou U * o počátku. Vliv variability záklaních veličin i na pravěpoobnost poruchy vyjařují váhové součinitele (směrové kosiny tečné plochy) g( ) i i i =, i g( ) i ( i ) i i Aproximativní analytickou metou FOM lze zpřesnit nahrazením funkce g U (U) kvaratickou plochou v návrhovém boě U * (metoa SOM). = 1

12 Lineární funkce g(x) a inex spolehlivosti β Transformace záklaních veličin na normované normální proměnné U

13 Návrhový bo pole metoy FOM -úroveň II funkce mezního stavu návrhový bo β β β

14 Návrhový bo pole metoy FOM -úroveň II funkce mezního stavu návrhový bo β β β

15 Pravěpoobnost poruchy P f a inex spolehlivosti β β = Φ -1 N -1 ( P ) = Φ ( P f N s ) β

16 Příkla - železobetonová eska G + Q Oolnost L x h A s 1 b g ()= = M M = = ξ A s f y ( h - 1-0,5 A s f y /(b f c ) ) - ξ ( g +q) L / 8

17 Pravěpoobnostní moely Zatížení: normální, lognormální, gamma, Weibulovo, Gumbelovo Materiálové vlastnosti: normální, lognormální, Weibulovo Geometrické úaje: normální, lognormální Neostatek věrohoných at a nejenotnost teoretických moelů

18 Záklaní typy rozělení ozělení a označení ovnoměrné (a,b) Normální N(,) Lognormální obecné LN(,,) LN(,,x 0 ) Lognormální s olní mezí v nule LN(,) Gama Gama(,) Beta obecné Beta(,,,b) Beta(,,a,b) x x 0 ln(1 + c ) Hustota pravěpoobnosti Obor veličiny Parametry rozělení 1/(b a) a x b a b > a 1 1 x exp π x x0 c 1+ c exp ln π 1 x 1+ exp ln x ln(1 + ) π 1 λ k x k-1 exp(-λx) / Γ(k) ( x a) c 1 ( b x) B( c, )( b a) 1 c+ 1 Beta s olní mezí c 1 1 ( x) ( b x) v nule c+ 1 B( c, ) b Beta(,,) Beta(,,b) Gumbelovo Gum(,) exp(-exp(-c(x-x mo ))) ( ln(1 + ( ln(1 + c )) )) - x x 0 x < pro > 0, - < x x 0 pro < 0 x 0 = c c 0 x < = / 0 x < λ = / a x b 0 x b - x < x mo = 0,577 6 /π c = π /( 6) Průměr Směroatná ochylka Šikmost (a + b)/ (b a)/ x 0 + c c+c + k/λ k/λ / k k = ( /) a a + ( b - a) g( - c) b >a,, c 1 ( b - a) c cg + g c c + c c g = g = c c b >0 b c b g( - c),, c 1 c + cg + g c c c g = g = c c x mo + 0,577/c π /( 6c) 1,14

19 Parametry funkce náhoných veličin Funkce Z Průměr Z Směroatná ochylka Z Šikmost Z a+b a + b a pro a > 0, - pro a < 0 *) + ( ) 1/ + ( ) 8 Z + 1 *) 1 + ( ) 1/ 4 6 Z a + b + c a + b + c ( ) 1/ b a + Z b a ( ) 1/ + Z + - ( ) 1/ + Z *) ( ) 1/ + + ( ) 6 Z + + *) ( ) 1 + ( ) 1/ + ( ) Z + +

20 Metoa návrhových boů Pomínka g( i ) > 0 se nahrazuje g(x i ) = g(x 1, x, x,...) > 0 ke návrhový bo x i záklaní veličiny i se stanoví: pro libovolné rozělení Φ i (x i ) = Φ( i β) pro normální rozělení x i = i (1 i βv i ) pro lognormální rozělení x i =( i / (1+V i )) exp( i β ln(1+v i )) i exp( i βv i )

21 Normované součinitele i i Oolnost:Dominantní oolnost 0,8 Ostatní 0,=0,4 0,8 Zatížení: Dominantní zatížení 0,7 Ostatní 0,7= 0,4 0,7 Příkla: Pro funkci g() = a normální a, pomínka g(x 1, x, x,...) > 0 zní (1 βv ) (1 βv )> 0 Pro β =,8 (1,04V ) (1+,66V )> 0 Pro V = 0,1 a V = 0, vychází pomínka pro průměry > (1,8/0,7),6 i

22 Zjenoušené pravěpoobnostní pojetí spolehlivosti v urokóech Inex spolehlivosti G β = = G + Návrhové hon. = β, = β Váhové součinitele a aproximace v C = =

23 Metoa návrhových boů pro < pro, β + = β = β = β = = Váhové součinitele:, + = + =

24 Dílčí součinitele γ γ k k, = = β = β = p p u u β γ β + = = + = = k k, N 1990 pro ominantní: = 0,7; = 0,8 pro neominantní: = = 0,4

25 Dílčí součinitele pro oolnost p V V u = + = =,8 0,8 1 1,645 1 k β γ 0 0,05 0,1 0,15 0,0 γ 1,0 1,08 1,0 1,8 1,71

26 Dílčí součinitele pro stálé zatížení G G = γ G G k, G k = G γ G G G G G = = = 1 + 0, 7, 8 k G β G G 0 0,05 0,1 0,15 γ G 1,0 1,1 1,7 1,40

27 Dílčí součinitele spolehlivosti - úroveň I Zatížení - návrhové veličiny Vlastnosti materiálů - n. v. ozměry - náhoné veličiny F = γ F F k f = fk / γ f a = a ± a k ( F, f, a ) < ( F, f, a ) = β, = 08. β Neostatky - rozílné pravěpoobnosti poruchy nosných prvků z různých materiálů - neostatek representativních at

28 Návrhové honoty a DOMINANTNÍ VLIČIN P{ > } = Φ( + β) = Φ( 0, 7β) = Φ(, 66) = 0, 0091 P{ < } = Φ( β) = Φ( 0, 8β) = Φ(, 04) = 0, NDOMINANTNÍ VLIČIN P{ > } = Φ( + 0, 4 β) = Φ( 0, 8β) = Φ( 1, 064) = 0, 14 P{ < } = Φ( 0, 4 β) = Φ( 0, β) = Φ( 1, 16) = 0, 11

29 Oolnost v urokóech { } = /, a k M nom γ NV 199 a 1995 { } = 1 a k nom γ, NV 199 { γ } = 1 /, a NV 1994 γ k m nom

30 Závěry Metoa ílčích součinitelů je nejokonalejší operativní metoa navrhování Dosu je spolehlivost konstrukcí značně nevyrovnaná Pravěpoobnostní metoy vytvářejí přepoklay pro porovnávání a zobecnění Další kalibrace součinitelů materiálu a zatížení a alších prvků spolehlivosti je žáoucí Ve zvláštních přípaech je možno aplikovat pravěpoobnostní postupy přímo