Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pružnost a plastcta II 3. ročník bakalářského stua oc. Ing. Martn Krejsa, Ph.D. Katera stavební mechanky

2 Moely položí

3 Záklaové konstrukce Záklaové konstrukce zajšťují: přenesení tíhy vrchní stavby o položí (půního tělesa), zachování kontaktního napětí v záklaové spáře a v položí v přípustných mezích, seání celého objektu v přípustných mezích. 3.fast.vsb.cz

4 Záklaové konstrukce, pokračování Nejběžnější typy záklaových konstrukcí: záklaové patky, záklaové pásy, záklaové esky, záklaové rošty, ploty. Položí je těleso s velm složtým vlastnostm (problematka mechanky zemn). Pro statcké výpočty se zpravla užívá zjenoušených moelů položí..fast.vsb.cz

5 Záklaové konstrukce, pokračování V kontaktní spáře se často počítá pouze s normálovým napětím, smykové napětí se zanebává. Vazba mez záklaovou konstrukcí a položím je jenostranná, nemůže ze vznkat napětí tahové. Úlohy nterakce (spolupůsobení) záklaových konstrukcí s položím se také označují jako kontaktní úlohy. 5.fast.vsb.cz

6 Tuhý nosník (patka) na pružném poklau Přepoklay řešení: nosník (těleso) je ostatečně tuhý, průběh kontaktního napětí mez nosníkem a položím je lneární, kontaktní napětí je tlakové, přípaně se řeší s vyloučením tahu. A bl P M P 6M σ, ± ± A W bl bl W bl 6 P l p, σ, b ± 6M l Uveené řešení je zjenoušené (přblžné), neostatečně zohleňuje nterakc konstrukce s položím. 6.fast.vsb.cz

7 Interakce nosníku s položím Nosník není zpravla ostatečně tuhý a kontaktní napětí není lneární. Kromě rovnovážných pomínek se na kontaktu uplatňují také pomínky eformační. ( y), Pro řešení nterakce konstrukce s položím se uplatňují různé moely položí, které reálné chování záklaové konstrukce a položí vžy o určté míry ealzují. 7.fast.vsb.cz

8 Wnklerův moel položí Přepokláá, že reakce položí je přímo úměrná zatlačení nosníku (esky, záklau, konstrukce) o položí. (, y ) z 8 p (, y ) Platí: p(,y ) C (,y ) p(,y) C (,y) reakce položí [knm-] součntel stlačtelnost položí [knm-3] průhyb nosníku (konstrukce) [m].fast.vsb.cz

9 Wnklerův moel položí, analytcké řešení Wnklerův moel je jenoparametrcký moel. Lze jej znázornt jako soubor pružn samostatně působících na kontaktu záklau a položí. Tam, ke kontakt není, tj. mmo zákla, se pružny smulující položí neeformují, což neopovíá realtě. Wnklerův moel se pro svou jenouchost přes zjevná zjenoušení a neostatky v pra často používá. q(,y) q(,y) p (,y) 9.fast.vsb.cz

10 Součntel stlačtelnost poklau C Zemna Stav Součntel stlačtelnost C [kn/m 3 ] Písky Písky a štěrky Hlnté půy kyprý, neuleželý násyp trochu uležené -5 mírně uležené 5-3 střeně uležené 3-75 obře až velm obře uležené 75-5 promočené -3 vlhké -5 suché 6-8 velm suché.fast.vsb.cz

11 Pasternakův moel Pasternakův moel ostraňuje některé neostatky Wnklerova moelu. Kromě normálových sl uvažuje v položí se smykovým slam. Nespojté zaboření objektu pole Wnklera je u Pasternakova moelu nahrazeno průhybovou kotlnou..fast.vsb.cz

12 Pasternakův moel, pokračování Pasternakův moel je vojparametrcký a lépe opovíá realtě. Platí: p (,y) C ( ),y C y p(,y) reakce položí [knm - ] C součntel poajnost poklau [knm -3 ] C součntel přenášení smykových sl [knm - ] (,y) průhyb nosníku (konstrukce) [m].fast.vsb.cz

13 Pružný poloprostor Pružný poloprostor je pružné těleso ohrančené rovnou (povrchem poloprostoru). Pružný poloprostor je jenou z možných ealzací položí stavebních konstrukcí. Pružný poloprostor se zpravla považuje za homogenní a zotropní. 3.fast.vsb.cz

14 Pružný poloprostor, pokračování Zatížení poloprostoru slou, která působí kolmo k povrchu poloprostoru řešl Joseph Valentn Boussnesq. Pro složky napětí ovol: σ z 3P π z R 3 5 R z r σ r P π R R μ 3zr ( R z) 5 σ ϕ P π ( μ) z R 3 R ( R z) σ ϕ τ rz 3P π z r 5 R σ ϕ.fast.vsb.cz

15 Pružný poloprostor, pokračování Pro složky posuvů u ve směru r bylo ovozeno: P zr u πe 3 R () r ( μ) ( μ) R r ( R z) Pro složky posuvů ve směru osy z platí: ( z) ( μ) ( μ) P z πe R R 3 pro z (povrch) je: u ( P μ μ ) ( P μ ) πer πer 5.fast.vsb.cz

16 Pružný poloprostor, pokračování Průběh složek napětí σ r a σ z v řezu veeném paprskem síly pro μ,5: 6.fast.vsb.cz

17 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka Pro bo M ležící v lbovolné hloubce z po vrcholem obélníka na povrchu s rovnoměrným zatížením byly pro výpočet složky napětí σ z a posunutí pro z ovozeny ntegrací násleující vztahy : 7.fast.vsb.cz zl l l y L z l l z l z l L z l l π p σ y y y z arctan ( ) y y y l s l l l s l l E π μ p ln ln l l y s z l l z s L y

18 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka Vztahy pro výpočet složky napětí σ z a posunutí pro z lze využít pro boy ležící mmo vrchol skutečné zatěžovací obélníkové plochy. Je přtom nutno át příslušný bo o vrcholu vou, přípaně čtyř zatěžovacích ploch. 8.fast.vsb.cz

19 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka, příkla Čtvercová zatěžovací plocha: průběh σ z pro z l/ a z l poél osy zatížení pro μ,5. 9.fast.vsb.cz

20 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka, příkla Čtvercová zatěžovací plocha, μ,5, průběh na povrchu poél osy a okraje zatížení..fast.vsb.cz

21 Pružný poloprostor, centrcky zatížený okonale tuhý zákla Průběh napětí σ z a průhyb na povrchu pružného poloprostoru po tuhým záklaem:.fast.vsb.cz

22 Pružný poloprostor, centrcky zatížený okonale tuhý zákla, pokračování Př zatížení slou P kruhového záklau o poloměru a lze průhyb vyjářt vztahem: ( μ ) P Ea Př zatížení slou P čtvercového záklau o straně l a je pak průhyb án vztahem:, 88 ( μ ) El P.fast.vsb.cz

23 Wnklerův moel položí, analytcké řešení nosníku na pružném položí Dferencální rovnce ohybové čáry prutu: M M q c Pro V q c b... šířka nosníku, C... součntel stlačtelnost poklau Pro ( ) C b ( ) q( ) M V 3.fast.vsb.cz M ( ) q( ) p ( ) q( ) p( ) b q( ) C b ( ) konst. ( ) je C b ( ) q( ) ( ) C b ( ) q( ) a b z q( ) p ( ) p( ) b l konst.

24 Wnklerův moel položí, analytcké řešení nosníku na pružném položí Rovnce ( ) C b ( ) q( ) je lneární, nehomogenní ferencální rovnce. řáu. Její analytcké řešení je známo pro nosníky nekonečné, polonekonečné pro nosníky konečné élky. Tato řešení jsou použtelná pro relatvně malou skupnu úloh. Uveenou rovnc lze řešt fleblněj také metoou sítí..fast.vsb.cz

25 3 3 3 V M V Δ Wnklerův moel položí, řešení metoou sítí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q k q b C 6 Δ Rovnc lze převést na řešení lneárních rovnc s pomocí ferenčních vztahů: Př určení pak lze stanovt složky vntřních sl: 5.fast.vsb.cz Δ Δ Δ M M Δ

26 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí Dferencální rovnce ohybové q čáry prutu: M a b M V V q c konst. z p ( ) p( ) b l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pro q c q p q p b q C C b b... šířka nosníku, C, C... součntelé poklau Pro ( ) C ( ) C ( ) C ( ) C konst. je ( ) b q( ) 6.fast.vsb.cz ( ) b q( ) ( )

27 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí Rovnce ( ) C ( ) C je lneární nehomogenní ferencální rovncí. řáu. Uveenou rovnc lze řešt metoou sítí. ( ) b q( ) 7.fast.vsb.cz

28 Pasternakův moel položí, řešení nosníku metoou sítí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q k k q b C C 8.fast.vsb.cz V M V Δ 6 Δ Rovnc lze převést na řešení lneárních rovnc s pomocí ferenčních vztahů: Př určení pak lze stanovt složky vntřních sl: Δ Δ Δ M M Δ

29 Pasternakův moel položí, řešení nosníku metoou sítí ( ) q k k Δ Δ 6 lze s využtím ferenčních vztahů: 9.fast.vsb.cz ( ) ( ) ( ) ( ) q k k Rovnc Δ Δ Δ 6 Δ upravt na tvar:

30 Pasternakův moel položí, řešení nosníku metoou sítí Na okrajích nosníků musí být splněny okrajové pomínky, stejně jako př řešení nosníku s Wnklerovým moelem položí. Jejch formulace vee k rozepsání čtyř rovnc. U Pasternakova moelu se eformuje položí mmo nosník. Bue ze platt rovnce: p(, y) C (, y) C y Pro kažý bo ležící mmo nosník j lze nahrat lneární rovncí: C C Δ Řešením soustavy lneárních rovnc jsou posutí, která umožňují stanovt složky vntřních sl nosníku a reakce položí. 3.fast.vsb.cz

31 Zaání příklau: nosník na pružném poklau Statcké schéma: F kn l 6 m Nosník élky 6 m s moulem pružnost v tahu a tlaku E GPa h,5 m a obélníkovém průřezu h,5 m a b, m je zatěžován slou F kn v polovně rozpětí. Řez pásem Nosník je uložen na pružném b m poklau s moulem stlačtelnost poklau C 36 MN/m 3. 3.fast.vsb.cz

32 Příkla: nosník na pružném poklau, Wnklerův moel, řešení metoou sítí Nosník lze rozělt např. na n 6 ílků o šířce Δ m: ( ) V 3.fast.vsb.cz Přípravný výpočet: k C.b 3,6. kn/m Okrajové pomínky: Na okrajích nosníku v boech a 6 platí: ( ) M ( ) V ( ) M

33 Rovnc Příkla: nosník na pružném poklau, Wnklerův moel, řešení metoou sítí ( ) k ( ) q( ) lze upravt na tvar: 6 Δ k q Konkrétně: Δ m 7 3 5, 5, 833, , 3, 6, 833 q, fast.vsb.cz k k q 6 5

34 Příkla: nosník na pružném poklau, Wnklerův moel, řešení metoou sítí Rozepsání ferenčních rovnc pro boy až 6 nosníku: Bo :,78 Bo : 3 5,78 Bo : Bo 3: Bo : Bo 5: 3 6,78 q , 3, ,78 3 5, Bo 6:, fast.vsb.cz

35 Příkla: nosník na pružném poklau, sestavení a řešení lneárních rovnc bo PS,78 -,,,,,,, -, 5,78 -,,,,,,, -, 6,78 -,,,,, 3,, -, 6,78 -,,,,8,,, -, 6,78 -,,, 5,,,, -, 5,78 -,, 6,,,,, -,,78, Kořeny [m],37e-3 3,695E-3 5,8963E-3 7,E-3 3 5,8963E-3 3,695E-3 5,37E fast.vsb.cz

36 Příkla: nosník na pružném poklau, výpočet reakcí a složek vntřních sl F kn Q Q Q Δ m Δ Δ Δ Δ Δ l 6 m (, y) C ( y) p ( ) p(, y) b p, p k reakce položí [kn/m] Q p Δ reakce v uzlech..5 [kn] R z F p l F Q 6 Q Δ p reakce v krajních uzlech a 6 [kn] 36.fast.vsb.cz

37 Příkla: nosník na pružném poklau, výpočet reakcí a složek vntřních sl F kn Q Q Q Δ m Δ Δ Δ Δ Δ l 6 m. pole ferenčních vztahů M Δ V Δ 3. pole prncpů statky M Q j ( ) F j Q j l > l V Q 37.fast.vsb.cz j j F l >

38 Příkla: nosník na pružném poklau, výpočet reakcí a složek vntřních sl Numercky: p [kn/m] Reakce Q [kn] Q [m] [m] p 9,69 Q,735,5, p 33, Q 33,,, p,658 Q,658,, p 3 59,999 Q 3 59,999 3, 3, p,658 Q,658,, p 5 33, Q 5 33, 5, 5, p 6 9,69 Q 6,735 5,75 6, Σ, Pole prncpů statky Pomocí ferenčních vztahů M [knm] V L [kn] V P [kn] M [knm] V [kn] M, V, M 8,59 V 9,336 M 76,8 V 63,8676 M 3 56,86 V 3 5, -5, M 76,8 V -63,8676 M 5 8,59 V 5-9,336 M, V, M,735 V 9,336 M 8,67 V 63,8676 M 3 55,677 V 3, M 8,67 V -63,8676 M 5,735 V 5-9,336 M 6, V 6, M 6, V 6, 38.fast.vsb.cz

39 Příkla: nosník na pružném poklau, průběh posunutí a reakcí Grafcky: 39.fast.vsb.cz

40 Příkla: nosník na pružném poklau, průběh složek vntřních sl.fast.vsb.cz

41 Wnklerův moel položí, jné metoy řešení Interakce nosníku a jných konstrukcí s Wnklerovým moelem položí nebo s jným moely položí je řeštelná také: slovou metoou, obecnou eformační metoou, smíšenou metoou Žemočknova metoa, metoou konečných prvků..fast.vsb.cz

42 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Pops výpočetního moelu: z ( ) ( 3 ) ( 5 6) ( 7 8) ( 9 )( )( 3 ) Δ l 6 m 6 voorovných prutů (oboustranně monoltcky přpojené) 7 svslých prutů (pravostranně kloubově přpojené).fast.vsb.cz

43 Příkla: nosník na Wnklerově položí, prncp řešení ODM Δ Δ Δ Δ p p p l b A b A l E C l EA F N b C F b C F Síla F ve svslých prutech: 3.fast.vsb.cz Δ b p F Δ b p F na okrajích C p v ODM:

44 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Globální matce tuhost voorovných prutů: Konkrétní vstupní úaje: l Δ m A bh,5 m I b h 3, m E GPa.fast.vsb.cz

45 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Globální matce tuhost svslých prutů: Konkrétní vstupní úaje: l E m C 36 MPa A b Δ I m Δ m A b,5 m (pro výpočet není potřeba) 5.fast.vsb.cz

46 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Celková matce tuhost nosníku: Zatěžovací vektor nosníku: { } T F 6.fast.vsb.cz

47 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Výslený průhyb nosníku 7.fast.vsb.cz

48 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Výslené honoty pootočení nosníku

49 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Výslené honoty reakcí v položí [kn] (síly ve svslých prutech)

50 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Výslené honoty posouvajících sl nosníku [kn] 5.fast.vsb.cz

51 Příkla: nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Výslené honoty ohybových momentů nosníku [knm] 5.fast.vsb.cz

52 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa Obecně zatížený nosník na pružném položí Rozělení nosníku na ílky a nahrazení položí kyvným pruty 5.fast.vsb.cz

53 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Výpočtový moel - záklaní statcky a polohově určtá konstrukce Neznámé síly X nahrazují spojtou reakc položí p 53.fast.vsb.cz

54 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Poloha vetknutého okraje nosníku je ána neznámým poklesem a pootočením ϕ Úloha je smíšená řeší se slově a eformačně. Obsahuje n neznámých sl a vě neznámá přetvoření. Sestaví se n rovnc, a to n eformačních pomínek a pomínky slové (rovnovážné). 5.fast.vsb.cz

55 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Deformační pomínky: 55.fast.vsb.cz n n n nn n n n n n n X X X X X X X X X δ ϕ δ δ δ δ ϕ δ δ δ δ ϕ δ δ δ ke: p n δ obecně: p k n k k δ ( ) p k n k... průhyb nosníku (položí) o síly X k δ... průhyb nosníku v -tém zatěžovacím stavu o síly X

56 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Slové (rovnovážné) pomínky: n m X P k k n X m k P k k Řešením n rovnc jsou síly X až X n a přetvoření a ϕ, které stav nosníku a poloprostoru jenoznačně efnují. 56.fast.vsb.cz