MěřENÍ MODULU PRUžNOSTI V TAHU TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Teorie 1.1. Měření modulu pružnosti z protažení drátu. Pokud na drát působí síla ve směru jeho délky, drát se prodlouží. Je li tato jeho deformace pružná (drát se po uvolnění zpět vrátí do původního stavu, platí pro jeho prodloužení l vztah: (i) l = l 0F SE Kde S je obsah průřezu drátu E je modul pružnosti v tahu F je působící síla a l 0 je počáteční délka drátu. Dosadíme-li za vztahy pro relativní prodloužení ɛ a normálové napětí σ (ii) ε = l l 0 (iii) σ = F S Pak ze vztahů (i) (ii) a (iii) plyne pro E: (iv) E = σ ε = l 0F ls Při měření prodloužení drátu zrcátkovou metodou je drát natažen vodorovně, na jednom konci pevně upevněn a na druhém konci veden přes kladku se zrcátkem k poličce, připevněné na drátu, na kterou je možno přidávat závaží, která svou tíhou způsobí prodloužení drátu. V zrcátku se odráží stupnice, na kterou se díváme dalekohledem s ryskou. Otáčením kladky se zrcátko natáčí a jsou v něm vidět jiné dílky stupnice. Prodloužení l lze spočíst z úhlu pootočení zrcátka α a poloměru kladky r: (v) l = rα Z dílků, které vidíme na rysce dalekohledem přes zrcátko na stupnici úhel α vypočteme s pomocí aproximace tan α α jako (vi) α n n 0 2L kde L je vzdálenost stupnice od zrcátka. (vii) y = 1.2. měření modulu pružnosti z průhybu trámku. Trámek obdélníkového průřezu podepřeme na dvou místech dvěma břity a uprostřed mezi těmito břity působíme na trámek silou F, což spůsobí prohnutí y. Velikost průhybu je pak dána vzorcem: F l3 48EI p Kde I p je plošný moment setrvačnosti půřezu trámku a l je vzálenost mezi břity. Pro I p platí vztah: (viii) I p = ab3 12 Kde a je šířka b výška trámku. E pak z těchto vztahů můžeme vyjádřit jako: 1
2 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ (ix) E = F l3 4yab 3 2. Měření 2.1. Měření prodloužení drátu. Průměr drátu byl měřen a několika místech mikrometrem. Měření je zaznamenáno v tabulce 1. d = (0, 506 ± 0, 005)mm Chyba byla vypočtena jako směrodatná odchylka. Tabulka 1. Měření průměru drátu d [mm] 0,51 0,50 0,50 0,51 0,51 0,51 0,51 0,50 0,50 Délka drátu l 0 i vzdálenost zrcátko-stupnice L byla změřená pásovým měřidlem l 0 = (114, 2 ± 0, 2)cm L = (81, 8 ± 0, 2)cm Poloměr r kladky, na které je připevněno zrcátko byl měřen šuplerou (měření je zaznamenáno v tabulce2). r = (1, 925 ± 0, 002)cm Tabulka 2. Měření průměru kladky 2r [cm] 3,850 3,855 3,845 3,850 Na poličku určenou k přidávání závaží byla postupně přidávána závaží o hmotnosti 100g. Dílky zobrazené v zrcátku byly zaznamenány v tabulce 2 při každé hmotnosti při přidávání závaží i při jejich odebírání, aby byl ověřen předpoklad o pružnosti prodloužení. Jelikož se výsledky při zatěžování a odtěžování shodovaly v rámci chyby určení dílku zobrazeného v zrcátku, předpoklad o pružném prodloužení byl splněn. Chybu určení dílku zobrazeného v zrcátku odhaduji na 0,1cm (díky tloušt ce rysky v dalekohledu) hmotnost přidávaných závaží považuji za přesnou. Měření je zaznamenáno v tabulce 3. Na naměřená data byla fitována závislost f(x) = ax + b. Konstanty a a b byly určeny jako: a = 0.290 ± 0.006 b = 0.011 ± 0.005 Vztah mezi m (hmotnost přidávaného závaží) a l je l = m 4l 0g z toho pomocí zjištěné lineární regrese: πd 2 E E = 4l 0g πd 2 a z toho E = (1, 921 ± 0, 003)10 11 Pa
MěřENÍ MODULU PRUžNOSTI V TAHU 3 Tabulka 3. Měření prodloužení drátu hmotnost odečtené dílky l chyba l kg cm cm cm 0,0 15,2 0,000 0,0002 0,1 14,9 0,004 0,001 0,2 14,6 0,007 0,001 0,3 14,4 0,009 0,002 0,4 14,1 0,013 0,003 0,5 13,8 0,016 0,003 0,6 13,6 0,019 0,004 0,7 13,4 0,021 0,004 0,8 13,1 0,025 0,005 0,9 12,9 0,027 0,005 1,0 12,6 0,031 0,006 1,1 12,3 0,034 0,007 1,2 12,1 0,036 0,007 1,3 11,8 0,040 0,008 1,5 11,6 0,042 0,008 2.2. Měření průhybu trámku. Rozměry trámků byly měřeny mikrometrem. Vzdálenost mezi břity pak pásovým měřidlem. Touto metodou byl změřen modul pružnosti mosazi a oceli. Rozměry mosazného trámku: a m = (11, 84 ± 0, 04)mm (šířka) b m = (1, 98 ± 0, 01)mm (výška) Rozměry ocelového trámku: a o = (11, 92 ± 0, 06)mm (šířka) b o = (2, 969 ± 0, 004)mm(výška) Vzdálenost mezi břity: L = (41, 3 ± 0, 1)cm 2.2.1. Mosaz. Naměřené průhybů mosazného trámku jsou zaznamenány v tabulce 4. Chyba určení průhybu byla odhadnuta jako 0,1mm. Fitováním funkce f(x)=ax+b dostaneme konstanty: A = 0.01814 ± 0, 00005 B = 0.03 ± 0.01 Mezi průhybem y a hmotností závaží m je přímá úměra. pomocí (ix) a konstant úměrnosti z fitované funkce určíme E jako: E = gl3 4ab 3 A E mosazi = (1, 04 ± 0, 03)10 11 Pa
4 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Obrázek 1. Graf závislosti podloužení drátu na hmnotnosti zavěšeného závaží 2.2.2. Ocel. Naměřené hodnoty pro ocel jsou v tabulce 5. Hodnoty při zatěžování a odtěžování se v rámci chyby nelišily, tudíž bylo ověřeno, že deformace nebyla plastická. Fitováním lineární závislosti průhybu na hmotnosti závaží f(x)=a(x)+b dostaneme konstanty: A = 0.00265 ± 0, 00002 B = 0.03 ± 0.01 A z nich obdobně jako u mosazi spočteme E o celi: E oceli = (2, 1 ± 0, 2)10 11 Pa
MěřENÍ MODULU PRUžNOSTI V TAHU 5 Tabulka 4. Měření průhybu mosazného trámku hmotnost naměřená výchylka g mm 10 0,1 30 0,5 60 1,05 110 2,0 130 2,35 140 2,5 160 2,9 210 3,8 230 4,1 240 4,3 270 4,9 310 5,6 320 5,8 360 6,5 390 7,0 410 7,4 420 7,6 Tabulka 5. Měření průhybu ocelového trámku hmotnost naměřená výchylka g mm 0 0,00 100 0,20 200 0,50 300 0,80 400 1,00 500 1,30 600 1,55 700 1,80 800 2,10 900 2,35 1000 2,60 1100 2,90 1200 3,15
6 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Obrázek 2. Graf závislosti průhybu mosazného trámku na hmnotnosti zavěšeného závaží
MěřENÍ MODULU PRUžNOSTI V TAHU 7 Obrázek 3. Graf závislosti průhybu ocelového trámku na hmnotnosti zavěšeného závaží
8 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 3. Diskuse Tabelovaná hodnota modulu pružnosti dle [1] pro ocel je 2, 1 10 11 Pa a pro mosaz 1, 0 10 11 Pa. Hodnoty, které se mi podařilo naměřit z průhybu trámku, se v rámci chyby shodují s tabelovanými hodnotami. U měření modulu pružnosti oceli z protažení drátu tomu tak není, což je způsobeno nejspíš tím, že je drát vyroben z jiného druhu oceli. U měření prodloužení drátu byla velkým zdrojem chyby neostrost rysky pro odečítání dílků na stupnici. Též délka drátu l 0 a vzdálenost stupnice od zrcátka vnáší do měření velkou nepřesnost, nebot není jasně určená hranice, odkud kam se délka má měřit(kde je místo na kladce, kde je přítlačná síla drátu na kladku největší). 4. Závěr Z protažení drátu a průhybu trámku byly namereny hodnoty modulu pružnosti v tahu oceli a mosazi. Modul pružnosti v tahu oceli: E = (1, 921 ± 0, 003)10 11 Pa (z protažení drátu) E oceli = (2, 1 ± 0, 2)10 11 Pa (z průhybu trámku) Modul pružnosti v tahu mosazi: E mosazi = (1, 04 ± 0, 03)10 11 Pa 5. Literatura [1] Matematické, fyzikální a chemické tabulky, J. Mikulčák a kol., Prometheus, Praha, 2009 [2] Fyzikální praktikum 1: Studijní text k úloze IX: http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 109.pdf