0 / Pro koho je tato kniha Tato kniha je volným pokračováním úspěšné knihy Matematika pro trojkaře, ovšem nikoliv pro maturanty, ale pro páťáky (čtvrťáky) mířící na víceletá gymnázia. Cvičebnice matematiky 5. třídy i konkrétní reálné testy přijímacích zkoušek lze v knihkupectvích či na webu snadno najít. V čem je naše knížka jiná? Nechtěli jsme udělat jen knihu na jedno použití (něco nadřít k přímačkám ). V každé kapitole se snažíme zopakovat ZÁKLADY, tj. co žák musí umět a ukázat to podstatné. Upozornit, na co si dát pozor, co se musí chápat. Není toho naštěstí moc. K tomuto opakování slouží ZÁKLADNÍ PŘÍKLADY. NAVÍC ale v každé kapitole přidáváme ROZŠIŘUJÍCÍ PŘÍKLADY podporující matematické uvažování (často ryze neškolní), protože jsme přesvědčení o tom, že jako jsou v češtině nejúspěšnější žáci, kteří sami hodně čtou, tak v matematice jsou to žáci, které zajímají matematické problémy, způsob jejich řešení, normální zdravá logika. Že zkrátka poctivě počítat nějaké cvičebnice určitě výsledky žáka zlepší, ale není to komplexní příprava. Za cennější považujeme naočkování matematikou. Zvláště bavíme-li se o nadanější půlce populace mířící na víceletá gymnázia jsou rozvíjející příklady potřeba. 7
Kniha obsahuje látku páťáků dle platného celorepublikového Rámcového vzdělávacího programu, ale rozšířenou o: 1) typizované úlohy a problémy používané gymnázii v přijímacích testech, 2) o látku často na lepších základních školách probíranou dopředu, 3) o příklady jaksi neškolní rozvíjející. Byli bychom rádi, kdyby u rozšiřujících a těžších příkladů provedl následně náhled výsledků tatínek, maminka, babička či dědeček. Ani ne tak z důvodu samotné kontroly, ale jaksi diskuse nad problémem posouvá matematické chápání dítěte zase dál. Knihu dělíme do 15 kapitol a tohoto úvodu. Každý příklad je vždy jasně označen buď ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD či ROZŠIŘUJÍCÍ PŘÍKLAD. Řešení se snažíme dělat podrobnější tak, aby ho pochopil každý jen trochu snaživý čtenář. A zatím každá naše kniha má v úvodu matematický příklad, takže: Rodina v Africe má 5 dětí. První se jmenuju Nana, druhé Nene, třetí Nini, čtvrté Nono. Jakpak se jmenuje to páté? Nunu? Ale vůbec ne, může jít o naprosto lib ovolné jméno, třeba Charles. 8
1 / Číslo a číselná osa Asi nejlepší bude, když si nejprve řekneme, co je to číslo? Číslo používáme pro vyjádření nějakého množství nebo pořadí. Množství může mít formu vzdálenosti, velikosti, uběhlého času, počtu nějakých jednotek (třeba oveček) a podobně. 9
Obr. 1.1 Na prvním obrázku je pět oveček. Na druhém tři. Pět je víc. Jinak jsou obrázky skoro stejné. Naše (arabské) číslice všichni známe: 5 nebo 3. Obr. 1.2 Kdyby se na naše ovečky koukal nějaký inteligentní Marťan poznal by, že na prvním obrázku je oveček víc. Zato kdyby se stejný Marťan díval na naše čísla (5; 3), nepoznal by nic. Protože čísla jsou abstraktní. Lidé se museli dohodnout, jakou číslicí budou jaké počty označovat. Nebo spíš některá čísla se ukázala jako praktická a dobře vytvořená a lidé je začali používat. Něco podobného jako abeceda. Proč když chcete popsat vrčení, popíšete to (abstraktními) znaky vrr a ne třeba β α? Je to jen zvyk. 10
Čísla jsou navíc strašně praktická. Jak popsat 456 oveček? To by byla hrozná otrava to kreslit. Ale Obr. 1.3 Různé civilizace používaly různý typ číslic. Mayská kultura třeba takováto: Obr. 1.4 Dost podobné Mayským číslicím je počítání piv v hospodě. Obr. 1.5 11
ZÁKLADY Povinnou látkou žáků základních škol jsou římské číslice: 1 = I 2 = II 3 = III 4 = IV 5 = V 6 = VI 7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X 50 = L 100 = C 500 = D 1000 = M Jejich nevýhodou je jakási nepraktičnost, devítku popisují jako -1 + 10, devadesát XC (-10 + 100), devět set CM (-100 + 1000). Vlastně kdykoli máme napsat římskými číslicemi číslo obsahující arabskou číslici 4 nebo 9, měli bychom zpozornět, protože budeme muset uplatnit pravidlo pro odečítání. K tomu se zpravidla používají jen římské číslice I, X a C, přičemž číslici I klademe většinou jen před V nebo X. Arabské číslo 99 tak píšeme jako XCIX nikoli IC, 999 přepíšeme jako CMXCIX a ne IM. A to bez ohledu na to, co se nám zdá jednodušší. Jinak tak obtížná nejsou, jen si musíme pamatovat další písmena. Pro lepší orientaci v jednotlivých znacích si můžeme zapamatovat větu: Ivan Vede Xenii Lesní Cestou Do Města. Budeme tak mít přehled o všech znacích římských číslic i jejich pořadí od nejnižší k nejvyšší. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Velmi těžko se s těmito čísly ale sčítá, odečítá a podobně. I některá jednoduchá čísla zapsaná římskými číslicemi jsou velmi dlouhá. Učíme se je víceméně z úcty k římské říši a naší historii. ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD 1.1 Napiš v římských číslicích rok svého narození a rok narození svého tatínka. Například pokud jste s tátou narozeni 2004 a 1972, pak římsky zapsáno by to bylo MMIV (2004) a MCMLXXII (1972). 12
ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD 1.2 Co se v historii stalo v listopadu roku MDCXX? M je 1000, D 500, C 100 to máme 1600 a ještě dvě desítky k tomu. 1620. Rok bitvy na Bílé hoře. ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD 1.3 Jak by vypadalo u Mayů číslo 27 (pokud vycházíme z obrázku 1.4 a nic víc o těchto číslech nevíme)? Obr. 1.6 Ve skutečnosti Mayové měli čísla daleko propracovanější, počítali v dvacítkové soustavě a pracovali se sumami třeba stovek milionů. A znali nulu! Jejich pozorování Měsíce, pohybu Země a dalších planet byla daleko přesnější než u tehdejších Evropanů, stejně jako jejich měření času. 27 by napsali ve skutečnosti obr. 1.7 jakožto jedna dvacítka + sedm k tomu. Třeba 446 by napsali 13
Obr. 1.8 tedy jako jedna čtyřstovka (20 20) + dvě dvacítky a dole máme tu šestku. Mayové tedy psali řády čísel jakoby nad sebe (ne vedle sebe jako my) a používali jinou číselnou soustavu (my máme desítkovou, oni dvacítkovou). Krom toho měli pochopitelně i jiné značky pro číslice. ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD 1.4 Kolik piv je na lístku, viz obr. 1.5? 18. ROZŠIŘUJÍCÍ PŘÍKLAD 1.5 Vytvoř vlastní číslice (písmena, značky či jiný způsob), tak aby se z nich daly jednoznačně konstruovat čísla od jedné do tisíce. Ukaž to tátovi či dědečkovi, zda tvá čísla pochopí, mají logiku a dá se každé číslo sestrojit i přečíst. ROZŠIŘUJÍCÍ PŘÍKLAD 1.6 Jak by Mayové napsali 5005? 14
Tohle je hodně těžké. Budou to tři čísla nad sebou, neboť jedna vrstva nám u mayských číslic stačí od 1-20. Dvě vrstvy jsou do 400 (20 20) a tři vrstvy do 8000 (20 20 20). Kolik čtyřstovek použijeme? Dvanáct, protože 12 400 = 4800 a další čtyřstovka se nám už do 5005 nevejde. Pak použijeme deset dvacítek a máme 5000 (12 400 + 10 20) a pak už jen těch pět. Obr. 1.9 Tak jsme si snad trochu utvořili představu o číslu. Co je ale číselná osa? ZÁKLADY Číselná osa je taková čára, která využívá toho, že čísla označují nějaké množství. A když ta větší množství budeme umísťovat na čáru vpravo, kdežto ta malá vlevo dokážeme každé číslo podle velikosti přesně umístit. Obr. 1.10 ZÁKLADNÍ PŘÍKLAD 1.7 Výška Honzíka je 1,4 metru, jeho bratrovi Markovi je už 19,5 roku. Vyznač tyto hodnoty na číselné osy na obrázku. 15