Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Transkript

1 @ Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech funkcích, které mají velký význam, a přitom nejsou mezi elementární funkce zařazovány. Absolutní hodnota a Signum S absolutní hodnotou se setkáváme již od základní školy. Úkol: Vyslovte definici absolutní hodnoty čísla a R.

2 @216 Funkce absolutní hodnota y = x je funkce sudá, zdola omezená, v bodě 0 má minimum. Funkce signum y = sgn(x) je funkce lichá, zdola i shora omezená. Poznámka: Funkce absolutní hodnota je příkladem spojité funkce, která nemá v jednom bodě (v nule) derivaci. Funkce signum je příkladem nespojité funkce v bodě 0. V tomto bodě také nemá derivaci. Úkol: Podle zavedení funkce signum a absolutní hodnota víme, že platí x = sgn(x) x Platí také x = x sgn(x)? ano ne

3 @219 Funkce celá část je velmi důležitá a její důležitost v občanském životě v posledních letech stoupla (daně). Proto si o ní řekneme více. Úkol: V programovacích jazycích je zabudována funkce celá část, ale desetinná část většinou chybí. Je to proto, že ji lze snadno nahradit. Jak? {x} = [x] x {x} = x - [x] {x} = (x + [x])/2

4 @222 Zapište matematické zaokrouhlování na celá čísla pomocí funkce celá část. Matematické zaokrouhlování na celá čísla, je definováno: číslu, jehož desetinná část je menší než 0,5, se přiřadí nejbližší nižší celé číslo, v ostatních případech nejbližší vyšší celé číslo. Udělejme si několik pokusů a přičtěme ke zvolenému číslu 0,5. číslo úprava [úprava] 1,33 1,33 + 0,5 = 1,83 1 3,49 3,49 + 0,5 = 3,99 3 7,00 7,00 + 0,5 = 7,50 7-1,33-1,33 + 0,5 = -0, ,49-3,49 + 0,5 = -2, ,00-7,00 + 0,5 = -6,50-7 2,50 2,50 + 0,5 = 3,00 3 4,76 4,76 + 0,5 = 5,26 5 8,99 8,99 + 0,5 = 9,49 9-2,50-2,50 + 0,5 = -2, ,76-4,76 + 0,5 = -4, ,99-8,99 + 0,5 = -8,49-9 Naše pokusy ukazují, že čísla, jejichž desetinná část je menší než 0,5, nepřekročí při přičtení 0,5 vyšší celé číslo, zatímco číslo, jehož desetinná část je větší nebo rovna 0,5, toto vyšší celé číslo překročí. matematické zaokrouhlování na celá čísla je tedy dáno vzorcem: y = [x + 0,5] V zákonech o zdravotním a sociálním pojištění se praví, že vypočítaná hodnota se musí zaokrouhlit na celé koruny nahoru. Úkol: Jak vyjádřit zaokrouhlení na celé koruny nahoru, tj. má-li částka nenulovou desetinnou část, přiřadí se jí nejbližší vyšší celé číslo, jinak částka zůstane nezměněna? Příklad: 125,81 -> ,63 -> ,00 -> ,27 -> -658

5 @225 Správně Zvolený vzorec 10[x/10] zaokrouhluje čísla na celé desítky dolů 125,81 -> 10[12,581] = = ,63 -> 10[784,163] = = ,00 -> 10[40,8] = = ,27 -> 10[-65,827] = 10(-66) = -660 Úkol: Sestrojte vzorec na matematické zaokrouhlení čísel na celé desítky, tj 125,81 -> ,63 -> ,00 -> ,27 -> -660

6 @227 graf funkce y = 10[x/10 + 0,5] Úkol: V zákoně o dani z příjmů se praví, že základ daně se zaokrouhlí na tisíce korun nahoru. Sestrojte vzorec, který této úpravě odpovídá (do vzorce vkládáme koruny).

7 @214 Definice: Funkce zvaná absolutní hodnota je dána předpisem x x 0 f : y max( x, x) 0 x 0 x x 0 a značí se speciálním symbolem f: y = x Poznámka: V programovacích jazycích se obvykle značí Abs(x). Definice: Funkce zvaná signum (znaménko) je dána předpisem 1 x 0 f : y 0 x 0 1 x 0 a značí se speciálním symbolem f: y = sgn(x) Poznámka: Každé reálné číslo je buď kladné nebo nula anebo záporné. Je mu tedy jednoznačně přiřazeno jak znaménko tak absolutní hodnota. Úkol: Jak lze rozložit (zapsat) každé reálné číslo pomocí absolutní hodnoty a funkce signum?

8 @217 Platí také x = x sgn(x)? Kdo si to dobře rozmyslel, odpověděl ANO. Opravdu, buď je x = 0, pak vztah platí nebo je x 0 a pak x = sgn(x) łxł rovnost násobíme sgn(x) x sgn(x) = sgn 2 (x) x ale sgn 2 (x)=1 pro x 0 x sgn(x) = x Celá a desetinná část S reálnými čísly lze dělat ledacos. Například rozklady 3,1415 = 3 + 0, = 2 + 0,0-4,2358 = ,7642 na nejbližší nižší celé číslo a číslo desetinné. Definice: Každé reálné číslo lze rozepsat na součet dvou částí: na číslo celé a na číslo z intervalu <0; 1). Funkce celá část přiřazuje každému reálnému číslu nejbližší nižší celé číslo odpovídající popsanému rozkladu. Značí se f: y = [x] Funkce desetinná část přiřazuje každému reálnému číslu desetinné číslo z intervalu <0; 1) odpovídající popsanému rozkladu. Značí se g: y = {x} Poznámka: V programovacích jazycích se značí celá část Int(x). Poznámka: Každé reálné číslo můžeme zapsat ve tvaru x = [x] + {x} Poznámka: Důrazně opakujeme, že celá část je vždy nejbližší nižší celé číslo. To je nutné si uvědomit zvláště u záporných čísel. A) Definiční obor funkce: obou funkcí jsou všechna reálná čísla D f = R B) Obor hodnot funkce:

9 celá část množina všech celých čísel C desetinná část interval <0; 1) Úkol: Sestrojte graf obou funkcí.

10 @220 Bohužel, moc pozorní nejste. znovu promyslete

11 @223 Pokud jste napsali y = [x] + 1 dopustili jste se omylu. Vzorec perfektně funguje pro čísla s nenulovou desetinnou částí, ale v případě celých čísel dává chybné hodnoty (o jednotku vyšší). Správný vzorec pro zaokrouhlování částek v korunách na celé koruny nahoru je y = [x + 0,99] Úkol: Vzorec na zaokrouhlení čísel na celé desítky dolů, tj. příklad: 125,81 -> ,63 -> ,00 -> ,27 -> -600 je y = [10x]/10 y = 10[x/10]

12 @226 Vzorec na matematické zaokrouhlení čísel na celé desítky y = 10[x/10 + 0,5] 125,81 -> 10[13,081] = = ,63 -> 10[784,663] = = ,00 -> 10[41,4] = 10.41= ,27 -> 10[-66,327] = 10(-66) = -660 Úkol: Sestrojte graf funkce y = 10[x/10 + 0,5]

13 @215 Každé reálné číslo můžeme zapsat ve tvaru x = sgn(x) x A) Definiční obor funkce: obou funkcí jsou všechna reálná čísla D f = R B) Obor hodnot funkce: absolutní hodnota interval <0;+ ) signum tříbodová množina {-1; 0; 1} C) Průsečíky se souřadnými osami u obou funkcí je to pouze jeden bod a to počátek soustavy souřadnic D) Graf funkcí Úkol: Určete, zda jde o funkce symetrické či periodické? Jaké další vlastnosti mají tyto funkce?

14 @218 Ani jedna z funkcí není ani sudá ani lichá. Funkce desetinná část je periodická s periodou 1. Poznámka: Funkce celá část je v celých číslech nespojitá (nemá tam derivaci) a je neomezená. Funkce desetinná část je nespojitá funkce v celých číslech a je omezená shora i zdola. pokračování

15 @221 Správně Platí {x} = x - [x] a také [x] = x - {x}, což volně řečeno (pozor na záporná čísla) znamená, že funkce celá část uřízne z čísla jeho desetinnou část. Tu prostě zahodí. Matematické zaokrouhlování na celá čísla, je definováno: číslu, jehož desetinná část je menší než 0,5, se přiřadí nejbližší nižší celé číslo, v ostatních případech nejbližší vyšší celé číslo. Úkol: Zapište matematické zaokrouhlování na celá čísla pomocí funkce celá část.

16 @224 Bohužel, moc pozorní nejste. Zvolený vzorec [10x]/10 má tyto vlastnosti 125,81 -> [1258,1]/10 = 1258/10 = 125,8 7841,63 -> [78416,3]/10 = 78416/10 = 7841,6 408,00 -> [4080]/10 = 4080/10 = 408,0-658,27 - > [-6582,7]/10 = -6583/10 = -658,3 Vzorec uříznul setiny nikoli desítky. pokračování

17 @229 V zákoně o dani z příjmů se praví, že základ daně se zaokrouhlí na tisíce korun nahoru. Sestrojte vzorec, který této úpravě odpovídá (do vzorce vkládáme koruny). Hledaný vzorec má tvar y = 1000[x/ ,999] Poznámka: Všechny dosud sestavené vzorce pro zaokrouhlování nahoru, jsou pravdivé, pokud pracujeme s měnou (korunami), které dělíme nejvýše na setiny (haléře). Přesné vzorce platící vždy (s libovolným počtem desetinných míst) a v plném rozsahu pro zaokrouhlení nahoru jsou na jednotky y = - [-x] na desítky y = - 10[-x/10] na desetiny y = - [-10x]/10 KONEC LEKCE