FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

Transkript

1 FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční obor funkce f. Poznámka: Definiční obor zapisujeme D(f). Funkci zapisujeme y = f(x). Proměnnou x nazýváme nezávisle proměnná (argument), proměnnou y nazýváme závisle proměnná. Poznámka k definici funkce: Protože známe pojem zobrazení (Zobrazení množiny A do množiny B je předpis, který každému prvku a A jednoznačně přiřadí nějaký prvek b B) můžeme funkci, jak jsme ji definovali, chápat jako speciální případ zobrazení, ve kterém A = D, D R a B = R. pomocí zobrazení Funkcí se nazývá každé zobrazení f množiny D do množiny R. Množinu D nazýváme definiční obor funkce f a značíme ji D(f). Poznámka : O funkci se obvykle hovoří i tehdy, když D je libovolná množina, tj. reálná čísla přiřazujeme i jiným prvkům než jsou reálná čísla. Budeme-li mít dánu funkci f, v níž je číslu x 0 z jejího definičního oboru přiřazeno číslo y 0, zapíšeme tento fakt f ( x 0 ) = y0. f x 0 budeme nazývat hodnota funkce f v bodě x 0 nebo hodnota funkce f přiřazená číslu x 0. Místo termínu hodnota funkce budeme používat také termín funkční hodnota. x 0 D f se nazývá argument funkce f. Číslo ( ) Číslo ( ) Způsoby zadání funkce K jednoznačnému zadání funkce je třeba stanovit: 1. definiční obor funkce D(f) 2. funkční předpis, tj. pravidlo, podle kterého je ke každému číslu D( f ) funkční hodnota y = f ( x). x přiřazena jednoznačně Podle formy funkčního předpisu rozlišujeme tyto základní způsoby zadání funkce f : a) analytické zadání funkční předpis je dán vzorcem, tj. rovnicí tvaru y = f ( x) toto je nejčastější způsob zadání b) grafické zadání funkční předpis je dán grafem funkce. Ke grafu někdy připisujeme písmeno, jímž je funkce označena c) zadání výčtem (tabelární zadání) funkční předpis je určen výčtem (zpravidla tabulkou) můžeme použít jen pro funkce, jejichž definičním oborem je konečná množina Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 1

2 Graf funkce Graf funkce f ve zvolené soustavě souřadnic Oxy v rovině je množina všech bodů x, y D f y = f x. X [, kde x ( ) a ( ) Kdyby některému x bylo přiřazeno více než jedno y, nejednalo by se o funkci. Na obr. je uveden graf funkce h, jejímž definičním oborem je množina R. (Přesněji řečeno, na obrázku je pouze část grafu, neboť naše nákresna je omezená.) Prázdná kolečka ( o ) v obrázku označují, že příslušné body do grafu funkce h nepatří, plné kolečko ( ) vyznačuje, že odpovídající bod do grafu funkce patří. Návod, jak lze poznat, zda nějaká množina bodů v soustavě souřadnic Oxy je či není grafem funkce : Protne-li každá přímka rovnoběžná s osou y danou množinu bodů nejvýše v jednom bodě, pak je tato množina grafem funkce. Existuje-li mezi přímkami rovnoběžnými s osou y taková, která protne danou množinu bodů aspoň ve dvou bodech ( ), pak jde o množinu, která není grafem funkce y = f(x). Definiční obor funkce Pro definiční obor funkce s používáme symbol D(s). Příklad určení definičního oboru funkce s ( ): Definiční obor funkce s je množina všech x R, kterým je přiřazeno takové y R, že y = s(x). Tuto množinu můžeme určit tak, že sestrojíme kolmé průměty obrazů všech uspořádaných dvojic, patřících do grafu funkce s, do osy x. Definičním oborem funkce s je tedy sjednocení intervalů : D(s) = 3, 1 ( 1, 5 Dohoda Pokud při zadání funkce neuvedeme definiční obor, budeme mít vždy na mysli funkci, jejíž definiční obor je maximální možný, tedy množina všech reálných čísel, pro která má příslušný funkční předpis smysl. Takto je třeba chápat úlohy, v nichž bude uloženo určit definiční obor dané funkce. Obor hodnot funkce Obor hodnot funkce f je množina všech y R, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru funkce f tak, že y = f(x). Pro obor hodnot funkce f používáme symbol H(f). Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 2

3 Příklad určení oboru hodnot funkce s ( ): Poznámka Funkce značíme malými písmeny: f, g, h... Definiční obor funkce značíme: D(f), D(g), D(h)... Obor hodnot funkce značíme: H(f), H(g), H(h)... Obor hodnot funkce s je množina všech y R, ke kterým existuje aspoň jedno x D( s) takové, že y = s(x). Tuto množinu můžeme určit tak, že sestrojíme kolmé průměty obrazů všech uspořádaných dvojic, patřících do grafu funkce s, do osy y. Oborem hodnot funkce s je tedy sjednocení intervalů: H(s) = 2, 1 1, 5) Základní vlastnosti funkcí Rostoucí a klesající funkce Neklesající funkce. Funkce f se nazývá rostoucí na A ( ), právě když pro všechna x1,x2 A platí: Je-li x 1 < x2, pak f ( x1 ) < f ( x 2 ). Funkce f se nazývá klesající na A ( ), právě když pro všechna x1,x2 Je-li x 1 < x2, pak f ( x ) > f ( ). 1 x 2 na A, právě když pro všechna x1,x2 Je-li x 1 < x2, pak f ( x ) f ( ). 1 x 2 Nerostoucí funkce na A, právě když pro všechna x1,x2 Je-li x 1 < x2, pak f ( x ) f ( ). 1 x 2. Funkce f se nazývá neklesající. Funkce f se nazývá nerostoucí Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 3

4 Řekneme-li, že funkce f je rostoucí (klesající,...), aniž dodáme, na které množině, myslíme tím, že je rostoucí (klesající,...) na celém D(f). Názvy rostoucí, klesající, nerostoucí a neklesající shrnujeme pod jedním názvem monotónní. Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají ryze monotónní. Prostá funkce Platí věta: Je-li funkce rostoucí nebo klesající, pak je prostá.. Funkce f se nazývá prostá na množině A ( ), právě když pro všechna x1,x2 Je-li x1 x2, pak f ( x1 ) f ( x 2 ) Řekneme-li, že funkce f je prostá, myslíme tím, že je prostá na celém definičním oboru funkce. Pozor! Věta: Je-li funkce prostá, pak je rostoucí nebo klesající neplatí. Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, právě když zároveň platí 1. Pro každé x D( f ), je také x D( f ). D f f x = f x. 2. Pro každé x ( ), je ( ) ( ) K bodu [ x, f ( x) bod B' [ x, f ( x) B je bodem souměrně sdruženým podle osy y. Z toho plyne, že graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, právě když zároveň platí 1. Pro každé x D( f ), je také x D( f ). D f f x = f x. 2. Pro každé x ( ), je ( ) ( ) K bodu [ x, f ( x) souřadnic bod B' [ x, f ( x) B je bodem souměrně sdruženým podle počátku soustavy. Z toho plyne, že graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic Oxy. Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 4

5 Zdola omezená funkce. Funkce f se nazývá zdola omezená na A, právě když existuje číslo d takové, že pro všechna x A je f ( x) d. Shora omezená funkce. Funkce f se nazývá shora omezená na A, právě když existuje číslo h takové, že pro všechna x A je f ( x) h. Omezená funkce. Funkce f se nazývá omezená na A, právě když je zdola omezená a zároveň shora omezená. Maximum funkce, a A, b A f má v bodě a maximum, právě když pro všechna x A je ( x) f ( a) Minimum funkce, a A, b A f má v bodě b minimum, právě když pro všechna x A je ( x) f ( b) Ostré maximum funkce. Říkáme, že funkce f.. Říkáme, že funkce f., a A, b A. Říkáme, že funkce f má v bodě a ostré maximum, právě když pro všechna A f x < f a. Ostré minimum funkce x je ( ) ( ), a A, b A. Říkáme, že funkce f má v bodě b ostré minimum, právě když pro všechna A f x > f b. Minima a maxima funkce nazýváme souhrnně extrémy funkce. x je ( ) ( ) Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 5

6 Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k Z platí následující podmínky: a) je-li funkce definována v bodě x, pak je také definována v bodech ( x + kp) ; D f f x = f x + kp. b) pro všechna x ( ) platí: ( ) ( ) Příklad grafu periodické funkce: Funkce pojem, vlastnosti, graf... Strana 6